三重积分的柱坐标计算法与球坐标计算法

1、§13-5 三重积分的柱坐标计算法与球坐标计算法1.柱坐标计算法 当积分区域在直角坐标系中向某个坐标平面的垂直投影是圆或圆的一部分时，时常采用柱坐标计算三重积分。读者从图13-26中看出，点的柱坐标实际上是它到坐标平面上垂足的平面极坐标与点的竖坐标的组合。图13-26图13-27根据定理13-5和二重积分的极坐标计算法，可得下面关于三重积分的柱坐标计算法。定理13-6 在定理13-5的假设条件下，则有 (13-28)其中是在坐标平面上的垂直投影（图13-27）。例17 求三重积分，其中是由球面的上半球面与抛物面围成的区域（图13-28）。解 题中球面与抛物面的柱坐标方程依次为与。它们

2、围成的区域在坐标平面上的垂直投影为圆。根据式（13-28），2.球坐标计算法 当积分区域是球体或球体的一部分时，时常采用球坐标计算三重积分。如图13-29，点的球坐标与直角坐标的关系为图13-29其中，。对于以原点为球心且以为半径的球面上的简单封闭曲线，自原点发出且与相交的射线环绕一周所构成的空间区域（图13-30），称为由封闭曲线张成的顶点在原点的立体角。若用表示所包围的那部分球面面积，则这个立体角的大小规定为特别，单位球面上封闭曲线张成的立体角的大小为（即围成的球面面积）。对于空间中的有界闭区域，首先用下面的三族曲面将划分成许多小区域：通过轴作一族半平面；以原点为顶点且以轴为中心轴作一族圆

3、锥面；以原点为球心作一族同心球面。图13-31中表示出这些小区域中的一个。它在单位球面上的中心投影的面积为（中心投影边界曲线张成的立体角的大小）因此，那个小区域的底面的面积为。当的直径很小时，把它看成长方体（合理假设），则它的体积为。现在，设有函数在有界闭区域上连续，则它在上的三重积分为把上面最后的三重积分化为累次积分（三次积分），假定自原点发出且通过区域的内点的每一条射线与区域的边界曲面的交点不多于两个。如图13-32，自原点发出的射线与区域相交时，穿入点到原点的距离记为，而穿出点到原点的距离记为；这样的射线同时也穿过区域在单位球面上的中心投影。于是有 （13-29）例18 用球坐标计算法，

4、重新计算例17中的三重积分。解 见图13-33，当时，；当时，。根据式（13-29），有3.选读 三重积分的柱坐标计算法与球坐标计算法，实际上是下面这种变量替换的一般方法的特殊情形。下面的变量替换方法是二重积分的变量替换方法（定理13-3）在三重积分中的类比。设函数在有界闭区域上连续。若有一对一的正则变换将有界闭区域变换成，则 （13-30）其中雅可比行列式为正时取“”，为负时取“”。例19 计算三重积分其中为椭球体：。解 作广义球坐标变换，则它的雅可比行列式为根据式（13-30），则有习题与阅读1利用适当的方法，计算下面的三重积分：，为抛物面和平面围成的闭区域；，为半球面和抛物面围成的闭区域

5、；，为圆锥面和平面围成的闭区域；，；，为两球体和的公共部分；，；，；，。答案：；。2根据的体积，求由曲面围成的立体的体积。分析与解答：不妨认为，则图形含在第一、三、六、八挂限，根据图形对称性，所求体积为【为含在第一挂限的部分】用球坐标变换，则曲面方程变为因此，3设为连续函数。求函数的导数。答案：。 4求三重积分(其中为非负整数)。答案：当中至少有一个为奇数时，；当都为偶数时， 。5求由曲面包围的立体的体积。分析与解答 由曲面方程看出，曲面包围的立体处在坐标平面的正侧一方，并且分别关于坐标平面与对称。因此，它的体积是它含在第一卦限部分的体积的4倍，即。令（广义球坐标变换）则6.阅读【矩与质心（重

6、心）】 对于空间中的n个质点组成的质点组（它们的质量依次记为），若它们到某平面或某直线或某点的距离依次为，则称为该质点组对那个平面或那条直线或那个点的级矩。零级矩就是质点组的总质量而对平面的级矩又称为静矩；级矩又称为惯性矩或转动惯量。上述质点组质心（或重心）的坐标为这里用到的是质点组对坐标平面的静矩（1级矩），不过其中质点的坐标不是它到相应坐标平面的距离，但它们的绝对值是它到相应坐标平面的距离。上述质点组对坐标平面的惯性矩（即转动惯量）依次为而对坐标轴的惯性矩（即转动惯量）依次为还有对原点的惯性矩为以上关于质点组的矩概念用不到积分（因为它们的分布式离散的），而要研究质量连续分布的“矩概念”时，就要用积分替代上面的各个和数。譬如，设有某种物质连续地分布在空间某有界闭区域上，其分布密度为，则它的质心（重心）坐标为其中（总质量）。而它对坐标平面的惯性矩依次为以及它对坐标轴的惯性矩依次为最后，还有它对原点的惯性矩为读者在做有关的习题时，只要套用有关的公式就可以了。例 设有某种物质均匀地分布在由球面与圆锥面