菱形折叠机械臂优劣分析与优化方案

1、菱形折叠机械臂 优劣分析与优化方案FTC Ring it up作者： 段泽明性别： 男所在学校：北京市第十二中学所在班级：高二（1）班指导教师姓名：樊建先准考证号：0866本人郑重声明：所呈交的数学应用论文是本人在指导教师指导下独立进行研究的成果，除文中已经注明引用的内容外，本文不含其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。 论文作者签名：2014年3月29日 First Technology challenge（FTC） Ring it up 菱形折叠机械臂优劣分析及优化方案北京市第十二中学段泽明一、问题背景Ring it up（

2、把它举起来！）是2012-2013年第一科技挑战赛的命题，在这个比赛中，学生组建自己的团队，搭建自己的机器人，完成比赛中颇具挑战性的任务。而这一年更是设立了将目标物抬升约2至3倍自身高度的任务。为了完成任务，参赛队伍设计了不同的机械臂完成任务，有简单的手臂式、厚重的滑轨式，但采用最多的还是菱形折叠机械臂。如何才能最大限度地发挥它的功效？于是我展开了研究。研究之前首先对比赛内容有所了解。比赛规则简介：1、机器人尺寸不得大于长45.7cm×宽45.7cm×高45.7cm的立方体 2、比赛过程中，从场地四周取圆环（不得多于2个），然后将其悬挂于场地中央的架子上，挂于第三层（最高）

3、得15分、二层10分、一层5分（最低）、地板1分。 3、对问题研究有意义的圆环有两种：普通圆环红色18个，蓝色18个，被放置在圆环分配器上。其重量大约是0.88盎司（25克）。加重圆环外形与普通圆环一样，有6个红色和6个蓝色的加重圆环其重量大约是2.64盎司（75克）。 4、一层高度15×2.54cm=38.1cm，二层高度27×2.54cm=68.58cm,三层高度39×2.54cm=99.06cmn=2L二、问题分析首先是这种机械臂的几何构型，右图为该种机械臂示意图。由于折叠的需要，机械臂在设计时保证菱形的一边垂直水平面。定义：菱形边长为l，每l长度的材料质量

4、为m，提升过程中最下部杆与水平面夹角为，级数（菱形个数）n（nN*）。参数范围：由于材料宽度等原因(-70°60°)、底盘具有一定厚度，且有其他方面限制，L30cm以上参数足以详细描述机械臂的各项性能提出问题：利用几何关系推导参数关于高度的参数方程，进行受力分析，得出受力关于另外两个参数的方程，依据实际情况，提出对结构强度要求最小的方案。并通过实验模拟验证猜想。分析在假设下的空间需求。三、模型的建立、计算与分析(考虑到实际意义，计算结果保留了2位小数)一、首先是对于假设下的，级数n长度l与最大高度的关系。L对每个菱形，其对高度的贡献与l和有关。且=/3取最大值，因此易得h=

5、l+lsin/3由于对于每一级上式均成立，因此对于给定的n0 有 H=l*n0+l*n0*sin/3因此n、l关于最大高度H的参数方程为H=l*n0+l*n0*sin/3=l*n0（1+(3)/2）同时，易得水平宽度d=nlcos材料总长度（3n+1）l根据需求H100cm，由，l=(H/n)/(1+（3）/2)n=1时，l=53.59cm,l总=4l，l30cm超长n=2时，l=26.79cm l总=7l因此，若使机械臂耗材最少，则：定义：￥为耗材总长度，且使￥最小，由、可得￥=（3n+1）(100/n)/(1+（3）/2)但由于连接过程中会有材料损耗，若考虑损耗则l=l+l0(l0与宽度有

6、关l0=d/2;d为定值)因此，更具实际意义的￥=（3n+1）【(100/n)/(1+（3）/2)+2.54】 展开后得￥=300/(1+（3）/2) +(100/n)/(1+（3）/2)+ 7.62n+2.54 设￥是关于n的连续函数，则可依据均值不等式：Y300/(1+（3）/2) +2.54+2203.73cm 当且仅当7.62n=(100/n)/(1+（3）/2)时等号成立而此时n=2.65不符合实际则n=2时￥（2）=205.34cm n=3时￥（3）=204.03cm就节省材料而言，最节省材料的方案是取n=3考虑￥（2）￥（3），因此，节省材料方面的方案可以取n=2或n=3.二、受

7、力分析以下内容会用到物理学知识1、共点力的平衡；2力矩平衡。由于n取更多时与前面的类似，以下内容就以n=2时为例，进行分析。已知：菱形边长为l，每l长度的材料质量为m，提升过程中最下部杆与水平面夹角为，级数（菱形个数）n=2设1为供给A点的力矩，2为供给B点的力矩，K1（矢量）为A点受链接处的支持力，K2（矢量）为B点受链接处的支持力，规定竖直向上为正方向。1234567对每根杆逐个分析，若以B点为主动轮，则有：1=02=8mgLcosK1=-3/2 mgK2=17/2 mg同样的，若以A点为主动轮，得出：1=8mgLcos2=0K1=13/2 mgK2=1/2 mg观察发现1+2=8mgLc

8、os，K1+ K2=7mg，因此猜想上式成立，于是：对以A、B同时为主动轮进行受力分析。分析过程中有可以得到以下方程：1=5mgLcos+NLcos2=0.5mgLcos+FLcosK1=3.5mg+NK2=mg+F分析过程中推出N=2.5mg-F移项整理（N、F均为矢量）K1+K2=7mg1+2=8mgLcos因此，猜想成立，即悬臂静止于某一位置时AB两点提供力矩总量一定，所受支持一定。根据1+2=8mgLcos可知当cos=1时，力矩达到最大值m=8mgL，此时对结构强度要求最高。接下来将对如何减小结构强度需求进行探究。拼接中运用了下图的链接方法：电机供给A处转轴力矩，A带动BC，BC带动

9、整根杆转动。发动机带动转轴提供力矩的时候，也会受到力（BC以A为转轴带动整个杆运动）ACBAB=AC=R，则若提供大小力矩，就有2F*R=定义F1=1/R=(5mgLcos+NLcos)/R F2=2/R=(0.5mgLcos+FLcos)/R &=Max（K1，K2，F1，F2）受力分析过程中曾经得到以下式子1=5mgLcos+NLcos2=0.5mgLcos+FLcosK1=3.5mg+NK2=mg+FN=2.5mg-F对上述进行整理得到F1= (7.5mg-F)L/RF2=(0.5mg +F)L/RK1=6mg-FK2=mg+F取R=2.54cm、L= 26.79cm、L/R=1

10、0.5由于结构强度需求取决于受力最强的时刻，因此：取mg为1个单位长度,F为自变量，则可绘制函数f(x)=10.5*(7.5-x)g(x)=10.5*(0.5+x)h(x)=6-xq(x)=1+x利用几何画板绘制上述四条直线可得&取min时即f(x)=g(x)10.5*(7.5-x)=10.5*(0.5+x)此时x=4F1=F2=10.5*4mg=42mg1=2= 4mgLcos结论：菱形折叠机械臂对于转轴部分的结构要求极高，这一点无法避免，但还是有方案可以在一定程度上减小损耗 ，这个方案为：在AB两处安装相同转速的电机，提供相同大小的力矩，相比于单电机提升，对结构强度的需求可以减为原

11、来的一半。三、空间需求机械臂在展开与收缩过程中会占用大量空间，因此空间需求也是一个需要讨论的重要问题。实际应用中这种机械臂的用法是将两个相同的机械臂并排放置，中间有一定宽度，因此讨论空间需求时只需要讨论运动过程中扫过的面积即可。求解面积前需要对其扫过面积有大致的了解，因此利用几何画板和如下的方法大体描述扫过的面积：首先绘出机械臂的几何构型，由于几何画板不能跟踪线段扫过的面积，因此可以在线段上密集地取许多许多点，跟踪点走过的线，可以代替直线扫过的面积。有取值范围(-70°60°)，若范围为（-90°90°）则扫过区域为两个相同的四分之一圆与矩形的面积，但对

12、于上述取值范围，其扫过区域取决于许多线段，十分复杂，其形状如下：绘制结果如右图所示（以l为一个单位长度）：将轮廓上线段方向出现突变的线段标出（突变线段和与其位置有关的线段已标出，如右图）黄线以上部分超出限制部分，不需要计量。右图区域的面积十分复杂，可以分成4部分求解，整体的面积可等效替换为黑色、红色、蓝色、紫色部分。对四部分分别求解：黑色：可视为一个R=2l的四分之一圆弧外加a=l，b=2l的矩形，因此S黑=4l229+2l2.=89 l2+2l2红色：近似为菱形一半，因此:S红=l2sin30/2蓝色：三角形：S=l2sin140°紫色:L2(40/360)= L2/9所以S总：=

13、（89+2+ sin30/2+ sin140°）l2，对于假设一下的l，S总=4259.57cm2分析数据，可发现机械臂扫过面积很大，因此，在方案设计阶段，应该充分利用其收缩时占据空间极小的优点，并将其置于车的前缘，在不超长的前提下，可以防止其占据过多空间。总结：有了上述三点，我得到了该类型机械臂的最佳设计方案：菱形折叠机械臂为两级（n=2），l略大于26.79cm（材料长度不能随意取值）动力系统应该由两个相同转速的电机提供相同大小的力矩。多齿轮同时带动机械臂，避免力矩过大。机械臂应置于全局的边缘，避免占据太多空间。四、模型的讨论与结论的支撑上述讨论是建立在l可以随意取值的基础上的，

14、但在实际搭建过程中，零件尺寸并不满足这个假设，零件对应的l是某个数的倍数，因此实际应用时可能会出现偏差，但这个数很小，所以此时的l与随意取得l差别不大。对于第一个问题下的技术讨论：比赛过程中，采用这个种类的机械臂的车辆，大多采用两级折叠、部分采用三级折叠，且不存在更多级数的设计，一方面可能是加工难度限制导致了上述结果，而另一方面，这一现象对于模型的正确性提供了一定的支持。第二个问题中没有讨论材料宽度对结构强度的贡献，是因为比赛时的材料宽度是确定的，无法改变，即便讨论也没有实际的意义。问题的结论也有一定的实际现象支持，在次年的比赛中，我们采用了这一类型的机械臂，测试时发现A、B点处的齿轮总是脱扣

15、，杆上出现明显划痕。对于机械臂在某个角度受力最大的讨论，我特地做了实际验证，下面为实验数据（测试所用机械臂为纸质的模拟机械臂）角度°-120304553力1.741.901.571.270.80大体趋势符合余弦函数。由F=/R=(1+2)/R=8mgLcos/R得到F/cos=8mgL/R是一个常数，因此F应该与cos呈线性关系，对数据进行处理得到下表：（注：上文中的蓝线没有实际意义）数据表明F确实与cos呈线性关系，因此猜想得到了验证。上文仅对菱形折叠机械臂的具体数据进行了分析，接下来会将这种机械臂与简单的手臂式与厚重的滑轨式机械臂进行比较。从受力上分析菱形折叠机械臂受力与滑轨式机械臂相似，但滑轨式机械臂自身过于沉重，是否能抬升也是问题。在没装电机时与简单的手臂式效果更好，但菱形折叠机械臂的臂上不用安装电机，但简单的手臂式机械臂的每个关节上需安装电机，由于电机较重提供了太多力矩，故实