屈婉玲版离散数学课后习题答案4

1、第十章部分课后习题参考答案4.判断下列集合对所给的二元运算是否封闭：(1)整数集合Z和普通的减法运算。封闭，不满足交换律和结合律，无零元和单位元(2)非零整数集合力和普通的除法运算。不封闭(3)全体nn实矩阵集合(R)和矩阵加法及乘法运算，其中启2。封闭均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律；加法单位元是零矩阵，无零元；乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；(4)全体nn实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中e2。不封闭(5)正实数集合R-和0运算，其中0运算定义为：炉工b三R-,=at-ab不封闭因为1111111R(6)n曰Z+nZ=nzIzE©eZ关于普通的加法和乘法运算

2、。封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律加法单位元是0,无零元；乘法无单位元(n1),零元是0;n1单位元是1A=3冏，自n三2匚运算定义如下：va,bEA,a=b=t封闭不满足交换律，满足结合律，(8) S=(雹-1|星史Z+关于普通的加法和乘法运算。封闭均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律(9) S=0,1,S是关于普通的加法和乘法运算。加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律(10) S=x|x=卅,S关于普通的加法和乘法运算。加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律5.对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。见上题7.设*为Z上的二元运算x,

3、yZX*Y=min(ky)，即x和y之中较小的数.(1)求4*6,7*3。4.3(2)*在Z上是否适合交换律，结合律，和幕等律满足交换律，结合律，和幕等律(3)求*运算的单位元，零元及Z中所有可逆元素的逆元。单位元无，零元1,所有元素无逆元8.SQQQ为有理数集，*为$上的二元运算，B<a,b>,<x,y>S有<a,b>*<x,y>=<axay+b>(1) *运算在S上是否可交换，可结合是否为幕等的不可交换：<x,y>*<a,b>=<xaxb+y><a,b>*<x,y>可结合

4、：(<a,b>*<x,y>)*<c,d>=<ax,ay+b>*<c,d>=<axcaxd+(ay+b)><a,b>*(<x,y>*<c,d>)=<a,b>*<xc,xd+y>=<axca(xd+y)+b>(<a,b>*<x,y>)*<c,d>=<a,b>*(<x,y>*<c,d>)不是幕等的(2) *运算是否有单位元，零元如果有请指出，并求S中所有可逆元素的逆元设<a,b&g

5、t;1l单位元，炉<x,y>£S,<a,b>*<x,y>=<x,y>*<a,b>=<x,y>贝U<ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<x,y>解的<a,b>=<1,0>,即为单位。设<a,b>ll零元，v<x,y>cS,<a,b>*<x,y>=<x,y>*<a,b>=<a,b>贝U<ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<a,b>无

6、解。即无零元。r<x,y>三S,设<a,b>1l它的逆元<a,b>*<x,y>=<x,y>*<a,b>=<1,0><ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<1,0>a=1/x,b=-y/x所以当x 0时,x,y(a)交换律，结合律，幕等律都满足，零元为a,没有单位元；(b)满足交换律和结合律，不满足幕等律，单位元为a,没有零元a1a,b1b满足交换律，不满足幕等律，不满足结合律a(bb)aab,(ab)babaa(bb)(ab)b没有单位元，没有零元(d)不满足交换律，满足结

7、合律和幕等律没有单位元，没有零元(2)求每个运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元。见上16.设V=N,+,->,其中+,分别代表普通加法与乘法，对下面给定的每个集合确定它是否构成V的子代数，为什么(1)Si=2n|nEZJ是(2)与=加+不是加法不封闭(3)及=-1,0,1不是，加法不封闭第十一章部分课后习题参考答案8.设 S=0, 1, 2, 3,为模4乘法，即"x,yCS,x®y=(xy)mod4问S,I8是否构成群为什么解：(1)x,yS,x0y=(xy)mod4S向是S上的代数运算。x,y,zCS设xy=4k+r0r3(x二.y)：-.z=(xy)mod

8、4)二；,=-z=(rz)mod4=(4kz+rz)mod4=(4k+r)z)mod4=(xyz)mod4同理x(y,z)=(xyz)mod4所以，(x-二y)"z=x4(y=z),结合律成立。(3) xS,(x31)=(1®x)=x所以1是单位元。(4)111,313,0和2没有逆元所以，S,吁不构成群9.设Z为整数集合，在Z上定义二元运算。如下："x,y6Z,xoy=x+y-2问Z关于o运算能否构成群为什么解：(1)x,yZ,xoy=x+y-2Z,o是Z上的代数运算。x,y,zZ,(xoy)oz=(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4同理(

9、xoy)oz=xo(yoz)结合律成立。(3)设e是单位元，xZ,xoe=eox=x1Px+e-2=e+x-2=x,e=2(4) xZ,设x的逆元是y,xoy=yox=e,即x+y-2=y+x-2=2,所以，x1y4x所以Z,o构成群10101010,一11.设G=,，证明G关于矩阵乘法构成一个群.01010101解：(1)x,yG,易知xyCG乘法是Z上的代数运算。(2)矩阵乘法满足结合律1 0设'0是单位元，01(4)每个矩阵的逆元都是自己。所以G关于矩阵乘法构成一个群14 .设G为群，且存在aCG,使得G=OkIkCZ证明：G是交换群。证明：x,yCG,设xak,yal,xyak

10、alaklalkalakyx所以，G是交换群17 .设G为群，证明e为G中唯一的幕等元。证明:设e0G也是号等兀，则e0e0,即e°eOe,由消去律知eoe18 .设G为群，a,b,cCG,证明IabcI=IbcaI=IcabI证明：先证设(abc)ke(bca)ke设(abc)ke,则(abc)(abc)(abc)(abc)e，即a(bca)(bca)(bca)(bca)a1e左边同乘a1,右边同乘a得k1(bca)(bca)(bca)(bca)(bac)aeae反过来，设(bac)ke,则(abc)ke.由元素阶的定义知，IabcI=IbcaI,同理IbcaI=IcabI19 .

11、证明：偶数阶群G必含2阶元。证明：设群G不含2阶元，aG,当ae时，a是一阶元，当ae时，a至少是3阶元,因为群G时有限阶的，所以a是有限阶的，设a是k阶的，则a1也是k阶的，所以高于3阶的元成对出现的,G不含2阶元，G含唯一的1阶元e，这与群G是偶数阶的矛盾。所以，偶数阶群G必含2阶元20 .设G为非Abel群，证明G中存在非单位元a和b,awb,ab=ba.证明：先证明G含至少含3阶元。若G只含1阶元，则G=e,G为Abel群矛盾；若G除了1阶元e外,其余元a均为2阶元，则a2e，a1aa,bG,a1a,b1b,(ab)1ab,所以aba1b1(ba)1ba,与G为Abel群矛盾；所以，G

12、含至少含一个3阶元，设为a，则aa2，且a2aaa2。令ba2的证。21 .设G是Mn(R)h的加法群，nZ判断下述子集是否构成子群。( 1)全体对称矩阵是子群( 2)全体对角矩阵是子群( 3)全体行列式大于等于0的矩阵.不是子群( 4)全体上(下)三角矩阵。是子群22.设G为群，a是G中给定元素，a的正规化子N(a)表示G中与a可交换的元素构成的集合，即N(a)=xIxGAxa=ax证明N(a)构成G的子群。证明：ea=ae,eN(a)x,yN(a),则axxa,ayyaa(xy)(ax)y(xa)yx(ay)x(ya)(xy)a,所以xyN(a)由axxa，得x1axx1x1xax1,x1

13、aeeax1，即x1aax1，所以x1N(a)所以N(a)构成G的子群31.设1是群G1到G2的同态，2是G2到G3的同态，证明12是G1到G3的同态。证明：有已知1是Gi到G2的函数，2是G2到G3的函数，则1-2是G到Q的函数。a,bG1,(12)(ab)2(1(ab)2(1(a)1(b)(2(1(a)(2(1(b)(12)(a)(12)(b)所以：1,2是G1到G3的同态。33.证明循环群一定是阿贝尔群，说明阿贝尔群是否一定为循环群，并证明你的结论。证明：设G是循环群，令G=<a>,x,yG,令xak,yal,那么xyakalaklalkalakyx,G是阿贝尔群克莱因四元群,Ge,a,b,cabcabcecbceabae是交换群，但不是循环群，因为e是一阶元，a,b,c是二阶元36.设,是5元置换，且123451234