上课正方体、三棱锥的内切球和外接球和棱切球的问题

1、正方体正方体的内切、外接、棱切球的内切、外接、棱切球球的截面的形状圆面圆面球的概念球面被经过球心的平面截得的圆叫做球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆大圆不过球心的截面截得的圆叫做球的不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆小圆中截面中截面内切球的直径等于正方体的棱长。内切球的直径等于正方体的棱长。正方体的内切球正方体的内切球ABCDD1C1B1A1O中截面中截面棱切球的直径等于正方棱切球的直径等于正方体体的面对角线的面对角线。.正方体的棱切球正方体的棱切球ABCDD1C1B1A1OA1AC1CO对角面对角面外接球的直径等于正方体的体对角线。外接球的直径等于正方体的体对角线。正方体的外接球正方体的外

2、接球1例例2、正三棱锥的高为、正三棱锥的高为 1，底面边长为，底面边长为 。求棱锥的。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。全面积和它的内切球的表面积。62过侧棱过侧棱AB与球心与球心O作截面作截面( 如图如图 )在正三棱锥中，在正三棱锥中，BE 是正是正BCD的高，的高，O1 是正是正BCD的中心，且的中心，且AE 为斜高为斜高62BC 21 EO3AE 且且 26243362213S 全全9 26 3解法解法1：O1ABEO CD作作 OF AE 于于 FF设内切球半径为设内切球半径为 r，则，则 OA = 1 r Rt AFO Rt AO1E 312rr 26 r 6258S球球 1624

3、331V2BCDA 26r 6258S球球OAB CD设球的半径为设球的半径为 r，则，则 VA- BCD = VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD32 全全Sr31 r3223 解法解法2：例例2、正三棱锥的高为、正三棱锥的高为 1，底面边长为，底面边长为 。求棱锥的。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。全面积和它的内切球的表面积。62内切球内切球全全多面体多面体rS31V 注意：割补法，注意：割补法，PAO1DEO 例例3 求棱长为求棱长为 a 的正四面体的正四面体 P ABC 的外接球的表面积的外接球的表面积过侧棱过侧棱 PA PA 和球心和球心 O O

4、作截面作截面则则截球得大圆，截正四面体得截球得大圆，截正四面体得PADPAD，如图所示，如图所示, ,G连连 AO AO 延长交延长交 PD PD 于于 G G则则 OG PD，且，且 OO1 = OG Rt PGO Rt PO1D aRaaR633623 aR46 a23a63a362a23S 表表解法解法1：球的内切、外接问题5、体积分割是求内切球半径的通用做法。、体积分割是求内切球半径的通用做法。1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。、正多面体的内切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。正四面体的三个球正四面体的三个球一个正四面体有一个外接球，一个内切球和一个与各棱都相切的球。那么这三个球的球心及半径与正四面体有何关系呢？为了研究这些关系，我们利用正四面体的外接正方体较为方便。 正四