333---111比例式

1、333-111：比例式PART 1：主題探索窗探索一：比與比值比比比與比值的的的概念：，例兩個數 a 與 b，a 比 b 就記作： a：b ，它的比值為： a b如 3：4 的比值為 3 。（其中 a 稱為這個比的 前項 ，b 稱為這4個比的 後項 。 因為分母不可為 0 ，所以我們限制： b ¹ 000 。）範例 1某 班 有男 生 24 人， 女 生 16 人，那麼 男 生人 數與 女生人 數 的比是 。它的比值為 。 解：男生人數：女生人數24：16（3：2）；它的比值為 3 。2練習 1（承上題）男生人數與全班人數的比是 。它的比值為 。探索二二二：兩個比相等的意義：如果兩個

2、比的比值相等，那麼它們就是相等的比 。例如：24：18 4 ，12：9 4 ，8：6 4 ，4：3 4 ，；這些比3333的比值都等於 4 ，所以它們都是相等的比，因此我們就說 24：31812：98：64：3（比值都是 4 ）。3比的化簡：（m ¹ 000，a：bma：mb a ： b ）mm因為一個比的比值是一個分數（或整數），而分數（或整數）經過約分或擴分後，與原來分數（或整數）的值仍然相等，所 以一個比的前項與後項同乘以（或同除以）一個不為 0 的數之 後，比值是不變的。最簡整數比：當 a：b 的比值（ a ）為最簡分數時，我們就稱 a：b 為最簡整b數比；一般來說，我們都會

3、將比化為最簡整數比，將比值化為最簡分數（或整數）。範例 2下列的比中，哪些與 20：24 相等？(A)100：120(B)30：36(C)5：6(D) 5 ：1 (E)1： 665解：20：24 的比值為 5 ，6且 100：12030：365：6 5 ：11： 6 （比值都是 5 ）656(A)、(B)、(C)、(D)、(E)皆為正確答案。練習 2下列的比中，哪些與 4：9 不不不相等？(A)20：45(B)40：90(C)16：81(D)12：27(E)2：3探索三：比比比例式比例式：當兩個比 a：b 與 c：d（b ¹ 0，d ¹ 0）的比值相等時，即 a = c 時

4、，bd我們就說這兩個比相等，寫成 a：bc：d。這樣的等式通常就叫做比例式，其中 a、d 稱為這一個比例式的外項，b、c 稱為 這一個比例式的內項。外項乘積積積內項乘積積積：如果 a：bc：d（b ¹ 0，d ¹ 0），則 a = c ，利用交叉相乘可以bd得到 adbc，也就是這個比例式中的外項乘積內項乘積。反之，如果 adbc，則 a：bc：d。範例 3如果 x：22：3，那麼 x？解：x：22：33x224，x 4 。3練習 3設 a、b 均不為 0，若 2a3b，求 a：b 的比值？範例 4ABC 中， AC ： BC 5：6， AD 為 BC 邊上的高， BE 為

5、 AC 邊上的高，請問 AD ： BE ？解：ABC 面積 AC × BE BC × AD ，所以 AC × BE BC × AD ，22因此 AD ： BE AC ： BC 5：6。練習 4小真對阿寶說：我的這種筆比較貴喔！買 3 枝這種筆的價格，可以買你那種筆 10 枝。請問小真的筆與阿寶的筆各一枝的價格比是多 少？範例 5地球上陸地與海洋的面積比是 29：71，如果地球表面的面積是510,000,000 平方公里，請問陸地面積是多少平方公里？解一：因為陸地面積佔地球表面積的所以陸地面積510,000,000×29 ，10029 147,9

6、00,000（平方公里）。100解二：因為陸地面積：海洋面積29：71，所以陸地面積：地球表面積29：(2971)29：100，假設陸地面積是 x 平方公里， 則 29：100x：510,000,000，100x（510,000,000）（29）所以 x（5,100,000）（29）147,900,000（平方公里）。練習 5民國 92 年四月，國內爆發 SARS 感染問題，阿明班上為了做好 SARS的預防工作，使用清水 10 公升與漂白水 500c.c.混合液進行班級消 毒。阿明回家後告訴媽媽，媽媽也想做家庭的消毒工作，所以她拿寶 特瓶裝入 1250c.c.的清水，再加入漂白水 100c.c

7、.混合後使用，阿明說：這樣清水太少，要再多加一些！請問應該再多加幾 c.c.的水才恰當？探索四：比比比的其他重要性質反比性質：若 a：bc：d，則 b：ad：c例如：若 a：b5：2，則 b：a2：5。更比性質：若 a：bc：d，則 a：cb：d例如：若 a：b5：2，則 a：5b：2。合比性質：若 a：bc：d，則（ab）：b（cd）：d例如：若 a：b5：2，則（ab）：b（52）：27：2。分比性質：若 a：bc：d，則（ab）：b（cd）：d例如：若 a：b5：2，則（ab）：b（52）：23：2。外項乘積內項乘積：如果 a：bc：d（b ¹ 0，d ¹ 0），因為

8、更比性質可得 a：cb：d，所以 a = b ，我們可設此比值為一個分數 r（r ¹ 0），即 a = b = rcdcdìa = cr（r ¹ 0），利用交叉相乘可以得到 íîb = dr（r ¹ 0）。ìa = cr當我們知道 a：bc：d 時，我們常常假設 íîb = dr（r ¹ 0），並用來解決一些日常生活中的問題。範例 6如果（甲的年齡）：（乙的年齡）15：12，請問：(1)甲的年齡一定是 15 歲，乙的年齡一定是 12 歲嗎？ (2)甲與乙的年齡可能分別為 5 歲與 4 歲嗎？ (

9、3)你能確知甲與乙的年齡各是多少歲嗎？解：(1)不一定。(2)可能。 (3)不能確定。練習 6設 x：y3：7 且 3xy6，求（x1）：（y1）的比值。探索五五五：繁分數繁分數：在 a 中，當 a 或 b 是分數時， a 就稱為繁分數。bb繁分數的計算：1我們可利用 a a÷b 來計算繁分數。例如： 2 就稱為繁分數。b231而 2 1 ÷ 2 1 × 3 3 。2233224b【速記法】：若 a、b、c、d 均為分數，則 a bc 。【口訣： 外 × 外 】內 × 內dadc範例 7計算下列各繁分數：(1)7 9 310(2)7.26100

10、解：(1)7 9 7 ÷3 7 × 10 70 。3910932710(2)7.27.2 1 7.2 ×100 720 120。610061001× 66練習 7計算下列各繁分數：(1)2 9 1 35(2)6 7 1.6PART 2：學習檢測站一一一、選擇題：1. （）5 分 20 秒與 20 秒的比值為何？ ()26()16()6()8。2. （）如下頁圖，將長方形分成八塊大小相同的正方形，則斜線 面積與原長方形面積的比值為？() 5() 3() 7() 5。16816185 9 3625553. （）計算繁分數 45？ ()25()36()

11、7;94()不能計算。2 14. （）計算繁分數 3 ？ () 14() 9() 13() 9。131.591495. （）在3：5 3 中，何者敘述錯誤？ ()3 是前項() 355是比值()5 是比例中項()比值沒有單位。6. （）一個工程，甲獨作 12 天完工，乙獨作 18 天完工，求甲、乙兩人一天工作量的比？ ()2：3()3：2()6：5 ()4：3。7. （）班上有 45 人，其中有 20 位女生，求男生人數與全班人數的比值是多少？ () 4() 5() 1() 4。99958. （）甲、乙兩人共有 240 元，甲比乙多 160 元，求甲：乙？()5：1()6：5()6：1()7：

12、5。9. （）哪個選項的比值是相等的？ ()3：4 與 2 ： 1()3：5 與 2 6 ：3 532761()0.3：1.2 與1 2：6 ()8：11 與 9：12 。10. （）鹿港鎮與秀水鄉的距離是 12km，在某張彰化縣地圖上的長度是 2cm，求這張地圖的比例尺是多少？ ()1：6()1：6000 ()1：600000()1：6000000。11. （）哪個式子不符合比的意義？ ()3 公尺：1.6 公里()2公斤：8 台斤()8 光年：5 天()2 1 元：8 元。412. （）小學城文具店 100 元可買 20 支鉛筆，90 元可買 6 枝原子 筆，則一支原子筆與一支鉛筆價格的比

13、為何？ ()4：8()1：3()3：1()9：10。二二二、填充題3 31. 計算繁分數 7 。3.62. 甲的 3 倍等於乙的 5 倍，則甲：乙 ： 。3. 投票率是實際投票人數與選民人數的比值，某市有投票資格選民 有 450000 人，在某次市長選舉中共有 324000 人投票，則投票率 約為 。4. 若 a 1 、b0.25，則（a2b2）：（a2b2）的比值為 。25. 若甲數的 3 倍等於乙數的 0.25 倍，則甲：乙的比值 。 三三三、計算題1. 4x3（x2）0，則（x5）：（4x3）的比值？2. 已知 MP3 的價格是 CD 隨身聽的 2 倍，如 MP3 購買的數量是 CD 隨

14、身聽的 3 倍，則 MP3 與 CD 隨身聽的花費比為何？3. 設 a：b 的比值是 5，則（a4b）：（a2b）的比值為何？1 14. 計算繁分數 4 ？2.25PART 3:高手競技場1. （）下列四個敘述甲與乙關係的選項中，哪一個與其他三個不 同？【91年第一次基本學測】(A)甲是乙的 b a(B)甲：乙a：b(C)甲的a倍等於乙的b倍(D)甲：乙的比值為 b a2. （）若a：b2：3，則下列哪一個式子是錯誤的？【92年第一次基本學測】(A) a ： b 2：355(B) a b23(C)2a3b(D)a：2b：33. （）下列哪一個選項，其比值與5：8的比值相等？【93年第二次基本學

15、測】 (A)(53)：(83) (B)(1÷5)：(1÷8)(C)(51)：(81)(D)(5×3)：(8×3)4. （）有甲、乙兩個完全相同的杯子，各裝不同量的水，若把甲杯中 1 的水倒進乙杯，則兩杯的水位等高。設甲杯原來的水量為a5，乙杯原來的水量為b，求 b ？【91年第一次基本學測】a(A) 1(B) 3(C) 4(D) 5。55545. （）下表是創創和守守比賽投籃球的記錄表。若以命中率(投進球數與投球次數的比值)來比較投球成績的好壞，得知他們的 成績一樣好，則下列x與y的關係哪一項是錯誤的？【91年第二次基本學測】(A)xy10 (B)xy4

16、5 (C)x：y20：10 (D)x：4520：306. （）若x：y2：1，且2xy20，則(x1)：(y1)之比值 為何？【93年第一次基本學測】(A) 1(B)2(C) 7(D) 5。2577. （）下圖為7個正方形紙板緊密地拼成長方形ABCD的方式。求AB : AD = ？【95年第二次基本學測】(A)12：19(B)21：13(C) 2 ：1 (D)( 5 1)：2。8. （）兩個罐子裝有相同重量的酒精溶液，其中水與酒精的重量 比分別為3：1和 1：1，若將這兩罐溶液全倒入一個較大的容器 中且沒有溢出，則後來所得的混合液中，水與酒精的重量比為何？【92年第二次基本學測】(A)2：1(

17、B)3：2(C)4：1(D)5：3。9. （）某次籃球比賽，創創投10球進7球，守守投20球進14球， 下列哪一個敘述是錯誤的？【90年第一次基本學測】 (A)創創命中數與投籃數的比為7：10(B)守守命中數與投籃數的比值為 1420(C)因為7：107×2：10×214：20，故兩人命中率相同(D)因為創創只投進7球，而守守投進14球，所以守守的命中率較 高。10. （）某校一年級與二年級的學生人數比為3：2，已知一年級的 學生中，有40視力良好，二年級的學生中，有30視力良好。 請問一、二年級所有學生中有多少比例的學生視力良好？【92年第一次基本學測】(A)18(B)3

18、6(C)57(D)70。11. （）如圖，ABCD為一矩形，過D作直線L與 AC 平行後，再分別 自A、C作直線與L垂直，垂足為E、F。若圖中兩塊斜線部分的面 積和為a，ABC的面積為b，則a：b？【91年第一次基本學測】(A)1：1(B)1： 2(C)1： 3(D)1：212. （）某校有 2 的學生參加大隊接力比賽，有 1 的學生參加大會5 4舞表演，有 1 的學生前兩項活動都有參加。下列何者可用來表示8該校學生中參加大隊接力比賽卻沒有參加大會舞表演的比例？【92年第一次基本學測】(A)1 1 (B) 2 1 (C)1 1 (D) 2 1 。4 5 48 5 813. （）下圖為一正六邊形

19、ABCDEF，P、Q分別是 AF 、 BC 的中點。若連接 PQ ，則四邊形APQB面積占此正六邊形面積的幾分之幾？【94年第二次基本學測】(A)5 (B)6 (C)7 (D) 11 。24 2424 4814. （）如下圖(一)， AB 為一個不等臂的蹺蹺板，O為支點，距離地面30公分，A點在地面上，且 AO ：OB 2：1。今守守與不化蟲 分別坐在A、B兩端，使得蹺蹺板成水平狀態，如下圖(二)所示。 則兩圖中B點與地面的高度相差多少公分？【93年第二次基本學測】(A)10(B)15(C)25(D)30。15. （）已知甲、乙兩正數均不等於1，下列有關甲與乙關係的敘 述中，哪一個與其他三個不

20、同？【93年第二次基本學測】(A)甲 3 ÷乙(B)甲÷乙 344(C)甲是乙的 3 倍(D)乙是甲的 4 倍4316. （）圖為小美影印資料時剩下張數和時間的關係圖。利用圖中所提供的數據，推估小美在9：00時影印的情形是下列哪一種？【93年第一次基本學測】(A)來不及印完(B)剛好印完 (C)提前一分鐘印完(D)提前半分鐘印完17. 如下圖，將長方形分成六塊大小相同的正方形，則灰色區域面積 與原長方形面積的比值為何？【93年第一次基本學測】(A)4(B)64(C)75(D)7。1212PART 4：資源補給庫1. 真好高中去年高三學生共有 500 人，去年升大學的升學率是

21、 80%，今年高三學生比去年多了 40 人，如果想提高升學率到 90%，則今年應比去年多考上多少人？2. 職業棒球比賽的投手防禦率公式如下：（自責失分：投手局數） 的比值再乘以 9。如果旅美球星王建民在一場比賽中主投 7 1 局，3自責失分 2 分，則該場比賽防禦率是多少？（四捨五入求至小數 第二位）3. 長方形的長、寬比是 2：3，若有一正方形的周長和此長方形相等， 則此長方形和正方形的面積比是多少？4. 小晨晨參加幼兒爬行比賽，如果去和返的時間比為 3：5，平均速 率是每分鐘 6 公尺，則小晨晨去和返的速率各是多少公尺？í5. 若 a0，且 ìx - y - a = 0

22、î3x - 2 y - 5a = 0，求 x：y 之值。6. 設 x、y 為正整數，且（2xy6）：（3xy5）2：5，請以數對列出 x、y 的所有解。本單元參考解答PART 1：主題探索窗練習 1：24：40（3：5）；它的比值為 3 。5練習 2：(C)、(E)。練習 3：a：b3：2 比值為 3 。2練習 4：10：3。練習 5：750c.c.。í練習 6：x：y3：7，可設 ìx = 3r ，î y = 7r又3xy63(3r)7r6，2r6，r3，ìx = 3r = 9íî y = 7r = 21 (x1)：(y1

23、)10：22，比值為 5 。11練習 7：(1)5(2)3615 。28PART 2：學習檢測站一一一、選擇題：1. 答案：()詳解：5 分 20 秒：20 秒16：116。故選()2. 答案：()詳解：3.5：835：80 7 。故選()163. 答案：()詳解： 5 ÷ 4 5 × 5 25 。故選()9594364. 答案：()詳解： 2 1 ÷1 1 7 × 2 14 。323395. 答案：()詳解：5 是後項。故選()6. 答案：()詳解： 1 ： 1 3 ：2 3：2。故選()121836367. 答案：()詳解：452025，25：45 25 5 。故選()4598. 答案：()詳解：（240160）÷2200甲24020040乙200：405：1。故選()9. 答案：()詳解：() 3 4 () 3 120 () 1 1 () 8 9 。故選()4310. 答案：()5161441112詳解：12km1200000cm2cm：12000001：600000。故選()11. 答案：()詳解：(