18动态分布滞后(ADL)

1、第 5 章 动态回归与误差修正模型 本章假定变量具有平稳性，第 6 章将把误差修正模型的应用向非平稳变量扩展。5.1 均衡与误差修正机制均衡指一种状态。达到均衡时将不存在破坏均衡的内在机制。这里只考虑平稳的均衡状态，即当系统受到干扰后会偏离均衡点，而内在均衡机制将努力使系统重新回到均衡状态。下面通过一个例子说明系统均衡概念。以两个地区某种商品的价格为例，假设地区 A 中该商品物价由于某种原因上升时，该商品就会通过批发商从价格低的 B 地区向价格高的 A 地区流动。从而使批发商从中获利。这种活动将直接导致该商品在 B 地区的需求增加，从而使该商品在 B 地区的价格上涨。从 A 地区看，由于增加了

2、该商品的供给，则导致价格下降，反过来的情形也是一样，从而使两各地区的该商品价格越来越接近。用该两个地区的价格数据绘制一张平面图，价格 A = 价格 B 的直线表示此问题的均衡状态。如上所述，当价格离开这条直线后，市场机制这只无形的“手”就会把偏离均衡点的状态重新拉回到均衡状态。随着时间推移，无论价格怎样变化，两个地区的价格都保持一致。若两个变量 xt , yt永远处于均衡状态，则偏差为零。然而由于各种因素的影响，xt , yt并不是永远处于均衡位置上，从而使 ut 0，称 ut为非均衡误差。当系统偏离均衡点时，平均来说，系统将在下一期移向均衡点。这是一个动态均衡过程。本期非均衡误差 ut是 y

3、t下一期取值的重要解释变量。当 ut 0 时，说明 yt相对于 xt取值高出均衡位置。平均来说，变量 yt在 T+1 期的取值 yt+1将有所回落。所以说 ut = f (yt , xt ) 具有一种误差修正机制。当然这种均衡不意味着一定是 1 比 1 的关系。例如中国宏观消费比问题。 5.2 “一般到特殊”建模法分布滞后模型：如果回归模型中不仅包括解释变量的本期值，而且包括解释变量的滞后（过去）值，则这种回归模型称为分布滞后模型。例 yt = 0 + + ut , ut IID (0, 2 ) (5.1)niitix0上述模型的一个明显问题是 xt与 xt -1 , xt-2, , xt -

4、 n 高度相关，从而使 j的 OLS 估计值很不准确。实际上对于分布滞后模型，这并不是一个严重问题，因为人们的注意力并不在单个回归系数上，而是在这些回归系数的和式，上。通过这个和式可以了解当 xt变化时，对 yt 产nii0生的长期影响。尽管对每个j 估计得不很准确，但这些估计值的和却是相当精确的。看下式 Var() = + 2, (5.2)nii0nii0)(Varniikki010),(Cov若 xt - i与 xt - k , (i k) 是正相关的（实际中常常如此） ，则（5.2）式中的协方差项通常是负的。当这些项的值很大（绝对值）且为负时，Var() 比 小，甚至比每个 Var(ni

5、i0nii0)(Var) 还小。i分布滞后模型中的解释变量存在高度相关，克服高度相关的一个方法是在等号右侧加一个被解释变量的滞后项（回顾第 2 章的可逆性） 。动态模型(自回归模型)：如果在回归模型的解释变量中包括被解释变量的一个或几个滞后值，则称这种回归模型为动态模型(或自回归模型)。例 yt = 0 + 1 yt-1 + 1 xt + ut 动态分布滞后模型：如果在分布滞后模型中包括被解释变量的若干个滞后值作解释变量，则称之为动态分布滞后模型或自回归分布滞后模型。例 yt = 0 + + ut , ut IID (0, 2 ) (5.3)miitiy1niijtjipjx01用 ADL (

6、m, n, p) 表示，其中 m 是自回归阶数，n 是分布滞后阶数，p 是外生变量个数。对ADL (m, n, p) 模型可采用 OLS 法估计，参数估计量是有偏的，但具有一致性。以简单自回归模型 yt = yt-1 + ut , 1, ut IID(0, 2) , (5.5)为例， 的 OLS 估计量计算公式是 = . (5.6)TttTtttyyy22121把 (5.5) 式代入 (5.6) 式得 = TttTtTttttyuyy22122121 = +. (5.7)TttTtttyuy22121yt-1与 ut是相关的。上式右侧第二项的期望不为零。所以，用 OLS 法得到的回归系数估计量

7、是有偏估计量。若对 (5.7) 式右侧第二项的分子分母分别除以（T-1） （样本容量）并求概率极限， = += (5.8)limpTTttTTtttTyTuyT2211211) 1(limp) 1(limp可见也是一致估计量。 最常见的是 ADL (1, 1) 和 ADL (2, 2) 模型， yt = 0 + 1 yt-1 + 0 xt + 1 xt-1 + ut , ut IID (0, 2 ), (5.9)和 yt = 0 + 1 yt-1 + 2 yt-2 + 0 xt + 1 xt-1 + 2 xt-2 + ut , ut IID (0, 2 ) 对于 ADL (1, 1) 模型 (

8、5.9)，xt和 yt的长期关系是 yt = +xt = 0 + 1 xt , (5.10)1011101上式称作静态模型，参数称作静态参数或长期参数。长期参数描述变量之间的均衡关系。动态模型 (5.9) 中的参数称作动态参数或短期参数。短期参数描述变量通向均衡状态过程中的非均衡关系。通过对0 , 0 和 1 施加约束条件，从 ADL 模型（5.9）可以得到许多特殊的经济模型。下面以 9 种约束条件为例，给出特定模型如下：（1）当 1 = 1 0 成立，摸型（5.9）变为 yt = 0 0 xt + ut . (5.11)这是一个静态回归模型。（2）当 0= 1= 0 时，由模型（5.9）得

9、yt = 0 + 1 yt-1 + ut . (5.12)这是一阶自回归模型。（3）当 1 0 = 0 时，则有 yt = 0 + 1 xt-1 + ut . (5.13)xt-1是 yt的超前指示变量。此模型称为前导模型。（4）当约束条件是 1 ，1 - 0 时， （5.9）式变为 yt = 0 + 0 xt + ut . (5.14)这是一个一阶差分模型。当 xt与 yt为对数形式时，上述模型为增长率模型。（5）若 1 = 0 成立，模型（5.9）则变为一阶分布滞后模型。 yt = 0 + 0 xt + 1 xt - 1 + ut . (5.15) (6) 取 1 0，则模型（5.9）变为

10、标准的局部调整模型（偏调整模型） 。 yt = 0 + 1 yt -1 + 0 xt + ut. (5.16) (7) 当 0 0 时，由模型（5.9）得 yt = 0 + 1 yt -1 + 1 xt -1 + ut . (5.17)模型中只有变量的滞后值作解释变量，yt的值仅依靠滞后信息。这种模型称为“盲始”模型。（8）给定 1 - 1 ，模型（5.9）化简为 yt = 0 + 1 ( yt-1 - xt-1 ) + 0 xt + ut (5.18)此模型称为比例响应模型。解释变量为 xt与 ( yt-1- xt-1)。以上所列举的例子说明实际上许多有特殊经济意义的模型都是由一个一般的 A

11、DL 模型化简得到的。这种建立模型的方法是首先从一个包括了尽可能多解释变量的“一般”ADL 模型开始，通过检验回归系数的约束条件逐步剔除那些无显著性变量，压缩模型规模， （在这个过程中要始终保持模型随机误差项的非自相关性。 ）最终得到一个简化（或“特殊” ）的模型。这种方法称为“一般到特殊”建模法。也称作亨德里（Hendry）建模法。关于检验约束条件是否成立的方法将在 5.4 节讨论。在 1.5 节中曾讨论，模型若丢失重要解释变量将导致回归系数的 OLS 估计量丧失无偏性和一致性。 “一般到特殊”建模法的主要优点是能够把由于选择变量所带来的设定误差减到最小。因为在初始模型中包括了许多变量，所以

12、不会使回归系数的 OLS 估计量存在丢失变量误差。虽然因为在初始模型中包括了许多非重要解释变量，从而使回归参数估计量缺乏有效性，但随着检验约束条件的继续，那些非重要的解释变量被逐步剔除掉，从而使估计量缺乏有效性的问题得到解决。5.3 误差修正模型（ECM）误差修正模型由 Sargan 1964 年提出，最初用于存储模型。1977 年由 Hendry-Anderson 和Davidson 完善。 ECM 模型由 ADL (m, n, p) 模型变换而来。 下面通过 ADL (1, 1) 模型推导简单的 ECM模型。有 yt = 0 + 1 yt-1 + 0 xt + 1 xt-1 + ut ,

13、1 1, ut IID (0, 2 ), (5.25)其中 ut应不存在自相关和异方差。如果这个条件不能满足，可通过增加 xt和 yt的滞后项或加入新的变量从而使 ut满足要求。从上式两侧同时减 yt-1，在右侧同时加减 0 xt -1得， yt = 0 + 0 xt + (1 -1) yt-1 + (0 + 1) xt-1 + ut (5.26)上式右侧第三、四项合并， yt = 0 + 0 xt + (1 - 1 ) ( yt-1 - k1 xt-1) + ut (5.28)其中 k1 = (0 + 1) / (1 - 1 )。在上述变换中没有破坏恒等关系，所以不会影响模型对样本数据的解释

14、能力，也不会改变 OLS 估计量的性质。 上式称为 ECM 模型，(1 -1) ( yt-1- k1 xt-1) 称为误差修正项。( yt -1- k1 xt -1) 表示前一期的非均衡误差，由 (5.25) 式知，若 yt平稳，必有 1，所以非均衡误差项的系数 (1 -1) 必为负。说明误差修正项对 yt有一个反向修正作用。当前一期 yt，即 yt-1相对于均衡点取值过高（低）时，通过误差修正项的反向修正作用，使本期 yt减小（增加） ，yt 向均衡位置移动。(1 -1) 表示误差修正项对 yt的调节速度。进一步变换 (5.28) 式 yt = 0 xt + (1- 1 ) ( yt-1 -

15、 k0 - k1 xt-1) + ut (5.29)其中 k0 = 0 / (1 - 1 )。( yt -1 - k0 - k1 xt 1 ) 是 xt和 yt的常期关系，yt = 0 xt + (1- 1 ) () 是 xt和 yt的短期关系。(10) 当约束条件 1 + 0 + 1 成立时，模型（5.29）变为 yt = xt + (1 - yt-1 - k0 - xt-1 + ut ， (5.31这是一个 k1 = 1 的特殊误差修正模型。ECM 模型有如下特点： 上述模型中的 yt， xt 和非均衡误差项都是平稳的。应用最小二乘法估计模型时，参数估计量都具有优良的渐进特性。在第 6 章

16、可以看到，即使变量是非平稳的，只要存在协整关系，误差修正模型也不会存在虚假回归问题。 误差修正模型中既有描述变量长期关系的参数，又有描述变量短期关系的参数；既可研究经济问题的静态（长期）特征又可研究其动态（短期）特征。 误差修正模型中的变量不存在多重共线性问题。 ut是非自相关的。如果 ut是自相关的，可在模型中加入yt和xt的足够多滞后项，从而消除 ut的自相关。同时相应加大误差修正项的滞后期。 建模过程中允许根据 t 检验和 F 检验剔除 ECM 模型中的差分变量。在 ECM 模型中剔除差分变量，相当于在原 ADL 模型中施加一个约束条件。例如剔除差分变量 xt，相当于在原 ADL(1,

17、1) 模型中施加约束条件，0 = 0。 在非均衡误差项中剔除任何滞后变量都是危险的，这将影响长期关系的表达。 ECM 模型中的 k0 , k1未知，ECM 模型不能直接被估计。估计方法是 若变量为平稳变量或者为非平稳变量但存在长期均衡关系，可以把误差修正项的括号打开，对模型直接用OLS 法估计。先估计长期均衡关系，然后把估计的非均衡误差作为误差修正项代入 ECM 模型，并估计该模型。5.4 动态模型的若干检验方法在用“一般到特殊”方法建立模型时的，首先应对初始模型（即对回归参数不加任何约束的动态分布滞后模型）的随机误差项进行异方差和自相关检验。对模型的其他检验都应建立在随机误差项是一个白噪声序

18、列的基础之上。在检验约束条件是否成立的过程中逐步剔除不显著变量，化简模型，同时还要保持模型随机误差项的非自相关性和同方差性不被破坏。在这个过程中要用到许多统计量。下面介绍一些常用的检验方法。1 F 检验把样本数据取对数后建立回归模型，随机误差项一般不会存在异方差。对于随机误差项的一阶自相关检验可用 DW 统计量完成。对于 ADL 模型（5.9） ，约束条件（5） ， （6） ， （7）和（10） ，即 1 = 0，1 0，0 0 和 1 + 0 + 1 - 1 = 0（见 5.2 和 5.3 节）的是否成立可用 t 检验完成。如果 t 统计量的绝对值大于临界值，则相应约束条件不成立，相应解释变

19、量不能轻易地从模型中剔除掉。否则接受相应约束条件，从模型中剔除相应解释变量。对于联合线性约束条件（1） ， （2） ， （3）和（4） （见 5.2 节）可用 F 检验完成。假定模型误差项服从正态分布，共有 m 个线性约束条件，则所用统计量是 F = (5.45),)/(/ )(kTSSEmSSESSEuur其中 SSEr 表示施加约束条件后估计模型的残差平方和，SSEu 表示未施加约束条件的估计模型的残差平方和，m 表示约束条件个数，T 表示样本容量，k 表示未加约束的模型中被估参数的个数。在零假设“约束条件真实”条件下， F F( m , T k )因为两个模型都是用 OLS 法估计的，所

20、以可把被解释变量的总平方和（SST）分解为回归平方和 (SSR) 与误差平方和（SSE）两部分。对于不加约束的模型有 SST = SSRu + SSEu .对于施加约束条件的模型有， SST = SSRr + SSEr .如果约束条件成立，那么在施加约束条件下求到的 SSEr 不会比不加约束条件的 SSEu大很多，用样本计算的 F 值不会很大。若 F 值小于临界值，则约束条件是可接受的（真实的） 。否则应该拒绝零假设。注意，F 检验的零假设是 m 个约束条件同时为零，备择假设是 m 个约束条件不同时为零。所以拒绝零假设并不排除有部分约束条件为零。应利用 t 检验进一步对每一个参数进行显著性判别

21、。比如对 ADL 模型（5.9）检验联合约束条件 1 = 1 = 0，则（5.9）式为无约束模型，(5.11) 式为约束模型。 yt = 0 + 1 yt-1 + 0 xt + 1 xt-1 + ut , ut IID (0, 2 ), （无约束模型） (5.9) yt = 0 0 xt + ut . （约束模型） (5.11)用 SSEu和 SSEr分别表示对（5.9）和（5.11）式进行 OLS 估计得到的 SSE，F 统计量按下式计算 F = ,)4/(2/ )(TSSESSESSEuur其中 2 表示约束条件个数，T 表示样本容量，4 表示无约束模型（5.9）中被估参数个数。 判别规则

22、是， 若 F F (2, T - 4)，则接受两个约束条件， 若 F F (2, T - 4)，则拒绝两个约束条件同时成立。2 似然比（LR）检验 以上介绍的 t 检验和 F 检验只适用于对线性约束条件的检验。对于 5.2 节中的约束条件（9） ，1 0 + 1 0，则无法用 t 或 F 检验完成。下面介绍三种常用的检验方法，即似然比（LR）检验，沃尔德（W）检验和拉格朗日（lagrange）乘数（LM）检验。这三种检验所用统计量都是利用极大似然估计法计算的。LR 检验由内曼皮尔逊（Neyman-Pearson 1928）提出，只适用于对线性约束的检验。W 检验和 LM 检验既适用于对线性约束

23、条件的检验，也适用于对非线性约束条件的检验。首先介绍 LR 检验。LR 检验的基本思路是如果约束条件成立则相应约束模型与非约束模型的极大似然函数值应该是近似相等的。用 log L(,) = -log 2- (5.53)22T222te表示非约束模型的极大似然函数。其中和分别是对 （参数集合） ， 的极大似然估2计。用 log L(,) = -log 2- (5.54)22T222te表示约束模型的极大似然函数。其中和分别是对 和 2 的极大似然估计。定义似然2比（LR）统计量为 LR = - 2 log L(, ) - log L(, ) (5.55)22中括号内是两个似然函数之比（似然比检验

24、由此而得名） 。在零假设约束条件成立条件下 LR m) (5.56)其中 m 表示约束条件个数。用样本计算 LR 统计量。判别规则是， 若 LR 2 (m) , 则拒绝零假设，约束条件不成立。再看前面的例子， （5.9）式为无约束模型。 （5.11）式为约束模型。 yt = 0 + 1 yt-1 + 0 xt + 1 xt-1 + ut , ut IID (0, 2 ), （无约束模型） (5.9) yt = 0 0 xt + ut . （约束模型） (5.11)约束条件为 1 = 1 = 0。在零假设成立条件下， LR 2(2) .LR 统计量只适用于对线性约束条件的检验。对非线性约束条件应

25、该采用如下两种检验方法。3 W 检验（见书，EViews 中有） W 检验的优点是只需估计无约束模型。当约束模型的估计很困难时，此方法尤其适用。W 检验由沃尔德（Wald 1943）提出，适用于线性与非线性约束条件的检验。W 检验的原理是测量无约束估计量与约束估计量之间的距离。先举一个简单例子。比如对模型 yt = 1 x 1t + 2 x2 t + 3 x3 t + vt , (5.46)检验线性约束条件 2 = 3是否成立。W 检验只需对无约束模型(5.46)进行估计，因为对约束估计量和来说，必然有-= 0。如果约束条件成立，则无约束估计量-应该近232323似为零。如果约束条件不成立，则

26、无约束估计量-应该显著地不为零。关键是要找到一个23准则，从而判断什么是显著地不为零。首先需要知道（-）的抽样分布。依据经典回归的假定条件， （-）服从均值为2323（2 - 3） ，方差为 Var(-) 的正态分布。通常 Var(-) 是未知的，使用的是 Var(2323-) 的样本估计量，定义 W 统计量为，23 W = N(0, 1)(Var)(3232在约束条件成立条件下，W 渐近服从 N(0, 1) 分布。假定若干约束条件是以联合检验的形式给出，f( ) = 0, (5.57)其中 f() 表示由约束条件组成的列向量。用表示施加约束条件后对参数集合 1, 2, , k 的估计。若把

27、代入上式，则上式一定成立。当把无约束估计值代入上式时，通常上式不会成立。W 统计量定义如下， W = f() Var( f() ) -1 f() (5.58)其中 f() 是用代替 后的 f( ) 表达式，Var(f() 是 f() 的估计的方差协方差矩阵。计算公式如下： Var(f() = () (Var() ) () (5.59)(f)(f其中表示 f() 用无约束估计量 代替后的偏导数矩阵，其中第 i 行第 j 列位置上)(f的元素表示第 i 个约束条对第 j 个无约束估计量的偏导数值。Var() 是的估计的方差协方差矩阵。在约束条件成立条件下，W = f() Var( f() ) 1

28、f() 渐近服从 m) 分布。 W = f() Var( f() ) -1 f() m) 其中 m 表示被检验的约束条件的个数，判别规则是， 若 W 2 (m) ，则拒绝零假设，约束条件不成立。举一个非线性约束的例子如下。假定对模型yt = 1 xt1 +2 xt2 +3 xt3 + ut （5.46）检验约束条件 1 2 = 3 是否成立。用和分别表示 ， 和 的非约束,123估计量。, 和 既可以是极大似然估计量，也可以是最小二乘估计量。因为对于本例 123f() 只含有一个约束条件，所以改用 f() 表示，有 f () = - (5.60)123 = ( ) = ( -1 ), (5.6

29、1)(f1)(f2)(f3)(f21 Var() =, (5.62)(Var)(Cov)(Cov)(Cov)(Var)(Cov)Cov)(Cov)(Var332313222131211和 Var(f() = ( -1) Var( ,21)112根据（5.58）式，W 统计量的具体表达式是， W = . (5.63)1)() 1()(12122321Var在零假设 1 2 = 3 成立条件下，W 统计量近似服从 (1) 分布。作业 1：台湾制造业生产函数，Lnyt = 1 +2 Lnx t 1 + 3 Lnx t 2 + ut的估计结果以及三个回归系数估计量的方差协方差矩阵如下， = -8.4

30、+ 0.67 Lnxt1 + 1.18 Lnxt2 tLny (4.4) (3.9) R2 = 0.89, F = 48.45, DW=1.3用 W 统计量检验2/3 = 0.5 是否成立（ = 0.05） 。 4 LM 乘数检验（见书，EViews 中有） （LR、W、LM 统计量的比较） 。 与 W 检验不同的是拉格朗日（Lagrange）乘数（LM）检验只需估计约束模型。所以当施加约束条件后模型形式变得简单时，更适用于这种检验。LM 检验是由艾奇逊西尔维（Aitchison-Silvey 1960）提出的。LM 检验另一种表达式是由拉奥（Rao 1948）提出的，称为得分检验。首先给出非

31、约束模型的对数似然函数 logL( , ) . (5.64)对于非约束极大似然估计量j必然有 = 0, j (5.65)jLlog若约束条件成立，则施加约束条件下 j的极大似然估计量 应与不施加约束条件下j的极j大似然估计量j非常接近。也就是说 logL/应近似为零。LM 检验的原理是如果 jlogL/ 显著地不为零，则约束条件不成立。LM 统计量定义为j LM = () (I( (5.66)Llog1)(Llog其中（logL/）是以（logL/j）为元素组成的列向量，同时用替换了j 。I() 称为j信息矩阵，其逆矩阵是的方差协方差矩阵。在约束条件成立条件下，LM 近似服从 2(m) j分布

32、。 LM 2(m) ,其中 m 表示约束条件个数。假定有两个约束条件 f1() = 0 和 f2() = 0。为求这两个约束条件下的对数似然函数（5.64）的极大似然估计量，应按拉格朗日乘数法则建立如下函数， logL* = logL + 1 f1 () + 2 f2 () , (5.67)其中1，2为拉格朗日乘数，求解约束极值问题应对所有的 j 都满足 logL*/ j = 0, 即= + 1 + 2 = 0, j (5.68)jLlog*jLlogjf)(1jf)(2由上式得 = - 1 - 2, j (5.69)jLlogjf)(1jf)(2当上式中的j 用代替后，如果显著地不为零，则约

33、束条件不成立。根据上式，只有当1,j2不为零时，logL/j 才显著地不为零。所以判别规则是如果 1，2 显著地不为零，则拒绝约束条件。因为（5.69）式是 logL/的函数，所以称其为拉格朗日乘数统计量。j 对于线性回归模型，通常并不是按（5.66）式，而是通过一个辅助回归式计算 LM 统计量的值。LM 统计量与辅助回归式的可决系数 R 2 有直接联系，而辅助回归式的形式直接与被检验的约束条件有关。LM 检验的实际步骤如下： (1) 确定 LM 辅助回归式的因变量。用 OLS 法估计约束模型，计算残差序列，并把tu tu 作为 LM 辅助回归式的因变量。tu (2) 确定 LM 辅助回归式的

34、解释变量。例如非约束模型如下式, yt = 0 + 1 x1t + 2 x2 t + + k xk t + ut . (5.70)把上式改写成如下形式ut = yt - 0 - 1 x1t - 2 x2 t - - k xk t . (5.71)则 LM 辅助回归式中的解释变量按如下形式确定。-, j = 0, 1, , k.jtu对于非约束模型（5.70） ，LM 辅助回归式中的解释变量是 1, x1t , x2t , , xk t 。第一个解释变量1 表明常数项应包括在 LM 辅助回归式中。 (3) 建立 LM 辅助回归式如下 = + 1 x1t + 2 x2 t + + k xk t +

35、 vt , (5.72)tu 其中由第一步得到。tu (4) 用 OLS 法估计上式并计算可决系数 R 2。(5) 用第四步得到的 R2计算 LM 统计量的值。 LM = T R 2,其中 T 表示样本容量。由于上式计算的 LM 的值与（5.66）定义的 LM 的值相等（证明略） 。在零假设成立前提下，T R 2 服从 m 个自由度的 2(m) 分布， LM = T R 2 2(m)其中 m 表示约束条件个数。判别规则是， 若 LM 2 (m) , 则拒绝零假设，约束条件不成立。以模型（5.46）为例介绍用 LM 辅助回归方法检验约束条件 2 + 3 = 1。 （5.50）式为约束模型。 yt

36、 = 1 x 1t + 2 x2 t + 3 x3 t + vt , (5.46)检验约束 2 + 3 是否成立。当施加约束 + 时，上式变为， yt = 1 x1t + 2 x2 t + (1 - ) x3 t + vt , (5.47)上式相对于（5.46）式为约束模型。若对（5.46）和（5.47）进行 OLS 估计，则会发现所得结果相同。 =x1t +x2 t +x3 t (5.48)ty 123于是遇到参数不可识别问题。除非 2 和 3 存在准确的关系 2 + 3 = 1，否则无法知道是3对 3 的估计还是对（1- 2）的估计。即便 2 + 3 = 1 真的成立，实际中也很难有 +

37、23= 1 成立。为避免参数的不可识别性，可利用约束最小二乘法（RLS）进行估计。从（5.47）式两侧减去 x3 t 得， yt - x3 t = x1t + x2 t - 2 x3 t + vt (5.49)令 yt* = yt - x3 t，x2 t* = x2 t - x3 t，上式变为， yt* = 1 x1t + 2 x2 t* + vt , (5.50)第一步，用 OLS 法估计（5.50）式，并把得到的残差序列 作为 LM 辅助回归的因变量。tv 变换（5.46）式得 vt = yt - 1 x1 t - 2 x2 t - 3 x3 t .根据第二步，LM 辅助回归解释变量是 x

38、1t, x2 t 和 x3 t。根据第三步，LM 辅助回归式是 = x1t +x2 t + x3 t tv 123（原式中没有0，所以上式中没有常数项。 ）计算可决系数 R 2。则 LM = T R 2 2(1) .例：（file: nonli12）对台湾制造业生产函数 = -8.4 + 0.67 Lnxt1 + 1.18 Lnxt2 tLny (4.4) (3.9) R2 = 0.89, F = 48.45, DW=1.3, T=15用 LM 统计量检验3 = 0 是否成立。 (1) 用 OLS 法估计约束模型，计算残差序列， tu Lnyt = 2.16 + 1.24 Lnxt1 + tu

39、 (4.9) (17.6) R2 = 0.96, F = 312并把作为 LM 辅助回归式的因变量。tu (2) 确定 LM 辅助回归式的解释变量。例如非约束模型如下式, Lnyt = 1 + 2 Ln x1t + 3 Lnx2 t + ut (29)把上式改写成如下形式ut = Lnyt - 1 - 2 Lnx1t - 3 Lnx2 t (30)则 LM 辅助回归式中的解释变量按如下形式确定。-, j = 1, 2, 3jtu对于非约束模型（30） ，LM 辅助回归式中的解释变量是 1, Lnx1t , Lnx2t。第一个解释变量 1 表明常数项应包括在 LM 辅助回归式中。 (3) 建立

40、LM 辅助回归式如下 = + 1 Ln x1t + 2 Ln x2 t + vt , (31)tu 其中由第一步得到。tu (4) 用 OLS 法估计上式并计算可决系数 R 2。 = -10.67 - 0.67 Lnxt1 + 1.18 Lnxt2 (32)tu (-3.9) (-3.7) (3.9) R2 = 0.89, F = 48.45, DW=1.3 (5) 用第四步得到的 R2计算 LM 统计量的值。 LM = T R 2 = 0.8915 = 13.35 2(1) = 3.8原假设3 = 0 不成立。 例：自相关 BG 检验属于 LM 检验。以 2 元线性回归模型，检验是否存在 1

41、 阶自相关为例，约束模型和非约束模型分别是 yt = 0 +1 x1t + 2 x2 t + ut （约束模型， = 0） (33) yt = 0 +1 x1t + 2 x2 t + ut, ut = ut-1 + vt (34)即 yt = 0 +1 x1t + 2 x2 t + ut-1 + vt （非约束模型） (35)用 OLS 法估计（33）式，得到作为 LM 辅助回归式的因变量。由非约束模型（35）知 LMtu 辅助回归式的解释变量是 1，x1t，x2t，ut-1，所以 LM 辅助回归式是 = + 1 x1t + 2 x2 t + 3 -1 + vt (5.72)tu tu 上式正

42、是自相关 BG 检验式。从中提取 R 2计算统计量。对 LR，W 和 LM 检验方法的选择应以做实际计算时的难易程度而定。一般来说 W 和 LM检验应优于 LR 检验，因为 W 和 LM 检验只需要估计一个模型即可，而 LR 检验需估计约束与非约束两个模型。对 W 和 LM 检验方法的选择应以约束模型与非约束模型哪个更容易估计而定。应该注意，即使三种检验方法都可使用，它们的计算结果通常也是不相同的。因为三个统计量只是渐近相同，对于线性回归模型，在小样本条件下有如下关系成立。 LM LR W. (5.73)上式说明只有当 LM 检验的结果为拒绝零假设（约束条件不成立）或者 W 检验的结果为接受零

43、假设（约束条件成立）时，三种检验的结论才是一致的。所以实际中，三种检验方法有可能得出相互不一致的结论。另外只有当用参数的样本估计值计算的约束条件完全成立时，即把参数估计值代入约束条件能准确成立时， （5.73）式中的三个统计量才有完全相等的关系。当对数似然函数中只含有一个参数 时，LM, LR 和 W 三种检验的关系可用图 5.1 表示。和 分别表示无约束和约束估计量。LR 检验是对纵向距离 log L(- log L( 的测量，)W 检验则是对水平距离 () 的测量，而 LM 检验计算的是当= 时，对数似然函数的斜率。因为这三个统计量都是渐近地服从(m) 分布，所以当样本比较小且约束条件为线

44、性时，用 F 检验要比用上述三种检验更可靠。图 5.1 LR, W 和 LM 检验5自相关的 LM 检验（见书，EViews 中有）DW 统计量只适用于一阶自相关检验，而对于高阶自相关检验并不适用。利用 LM 统计量可建立一个适用性更强的自相关检验方法，既可检验一阶自相关，也可检验高阶自相关。考虑两种误差过程的模型。AR(n) 模型 ut = 1 ut-1 + + n ut - n + wt (5.74)和 MA(n) 模型。 ut = vt + 1 vt-1 + + n vt - n (5.75)其中 wt 和 vt 为白噪声过程，ut是如下模型 yt = Xt + ut , (5.76)中

45、的随机误差项。模型（5.76）的解释变量 Xt中也可包含 yt的滞后项。零假设定义为 1 = 2 = = n = 0这表明 ut不存在自相关。建立 LM 辅助回归式 = 1+ + n+ Xt , (5.77)tu 1tuntu上式中的 是（5.76）式中 ut的估计值。定义tu LM = T R 2 2(n)其中 T 表示样本容量，R 2是（5.77）式中的确定系数。在零假设成立条件下，LM 统计量近似服从 2(n) 分布。其中 n 表示（5.77）式中的最大滞后期。如果零假设成立， （5.77）式中的tu i , i = 1, 2, , n 近似等于零。R 2 的值应很小。从而导致 LM 统

46、计量的值很小，小于临界值。6异方差的 HT 检验（EViews 中无） 此方法由伯伦奇帕甘（Brensch-Pagan 1979）提出。在经济时间序列中常见的异方差形式有如下几种 u2 = 2 Xt = 2 (0 + 1 x1 t + 2 x2 t + ) (5.78) u2 = 2 ( Xt ) 2 = 2 (02 + 12 x1 t2 + 22 x2 t2 + +), jijtitjixx和 u2 = 2exp ( Xt ) 2 = 2 exp (02 + 12 x1 t2 + 22 x2 t2 +), jijtitjixx其中 u2 是误差项 ut 的方差， 是系数向量，Xt 是与 ut

47、方差变化有关的变量向量。通常Xt是由模型 yt = Xt + ut 中的解释变量的子集所构成。Xt中也可包含 yt的滞后变量。误差项的同方差性等于零假设 H0: 1 = 2 = = n = 0如果 H0成立，u2 = k 2 (k 是常量)，ut具有同方差性。对于（5.78）形式的异方差可通过如下辅助回归做 LM 检验 = 0 + 1 x1t + 2 x2 t + + n x n t , (5.79)22tu其中是原回归模型 yt = xt + ut 的标准误差。LM 统计量定义如下， HT = T R 2 2(n)其中 R 2是（5.79）式的可决系数。在零假设成立条件下，HT 统计量渐近服

48、从 2(n) 分布。其中 n 表示（5.79）式中解释变量个数。由回归函数（5.79）分析，如果零假设成立，可决系数R 2 的值应很小。当 R 2 的值很大时，说明 ut2 中存在有规律的变化成分。7条件异方差的 ARCH 检验（见书，EViews 中有）8White 检验（EViews 中有）White 检验由 H. White 1980 年提出。Goldfeld-Quandt 检验必须先把数据按解释变量的值从小到大排序。Glejser 检验通常要试拟合多个回归式。White 检验不需要对观测值排序，也不依赖于随机误差项服从正态分布，它是通过一个辅助回归式构造 2 统计量进行异方差检验。Wh

49、ite 检验的具体步骤如下。以二元回归模型为例，yt = 0 +1 xt1 +2 xt2 + ut (5.9)首先对上式进行 OLS 回归，求残差。tu 做如下辅助回归式，= 0 +1 xt1 +2 xt2 + 3 xt12 +4 xt22 + 5 xt1 xt2 + vt (5.10)2tu即用对原回归式中的各解释变量、解释变量的平方项、交叉积项进行 OLS 回归。注意，上2tu式中要保留常数项。求辅助回归式(5.10)的可决系数 R2。White 检验的零假设和备择假设是 H0: (5.9)式中的 ut不存在异方差， H1: (5.9)式中的 ut存在异方差在不存在异方差假设条件下统计量

50、T R 2 2(5) (5.11)其中 T 表示样本容量，R2是辅助回归式(5.10)的 OLS 估计式的可决系数。自由度 5 表示辅助回归式(5.10)中解释变量项数（注意，不包括常数项） 。判别规则是若 T R 2 2 (5), 接受 H0 （ut 具有同方差）若 T R 2 2 (5), 拒绝 H0 （ut 具有异方差）9. 正态分布的 JB 检验（见书，Eviews 中有） 。在实际分析中，可用 JB 统计量检验一组数据的正态分布性。在给出 JB 统计量定义之前先给出偏度和峭度的定义。偏度（S）是描述变量分布对称性的一个统计量。定义如下 S = . (5.81)313)(11syyTT

51、tt其中 T 表示样本容量，表示 yt的均值，s 表示 yt的标准差。由公式知若分布是以为对称的，yy则 S = 0。当分布为右偏倚时，S 0；反之，S 0。对于正态分布，S = 0。峰度（K） ，亦称峭度，是描述分布的两侧尾部“薄” 、 “厚”的一个统计量。定义为， K = . (5.82)414)(11syyTTtt其中 T，和 s 的定义如前。正态分布的峭度等于 3。如果一个分布的两侧尾部比正态分布的y两侧尾部“厚” ，则该分布的峭度 K 3；反之，K 3。检验正态分布性的 JB（Jarque-Bera）统计量定义如下， JB = S 2 + (K 3 )2 2(2) , (5.83)6

52、nT 41若用一般时间序列数据计算上式，取 n = 0。若用回归式的残差序列计算上式，则 n 表示回归式中解释变量个数。S 表示偏度，K 表示峭度。假设是H0：变量服从正态分布；H1：变量不服从正态分布。根据计算结果， 若 JB 2 (2)，接受该分布服从正态分布， 若 JB 2 (2)，拒绝该分布服从正态分布，其中 表示检验水平。正态分布 JB 检验的 EViews 输出结果（零假设是随机变量服从正态分布，file:stochas1）因为 JB = 3.88 20.95(2) = 5.99，所以上述分布不是正态分布。10. 赤池信息准则和施瓦茨准则（见书，EViews 中有）确定动态分布滞后

53、（ADL）模型最大滞后期的方法除了用前面介绍的 F 统计量外，也可采用赤池（Akaike）信息准则和施瓦茨（Schwartz）准则。赤池信息准则（AIC）定义如下。 AIC = log+, (5.84)TuTtt12Tk2其中是 ADL 估计模型的残差平方和，k 是模型中解释变量的个数，T 是样本容量。上Tttu12式右侧第一项随着 k 的增大变小。第二项则随着 k 的增大变大。随着 k 的变化，AIC 有极小值存在。使用 AIC 准则的方法是通过连续增加解释变量个数直到 AIC 取得极小值，从而确定最优 k 值。EViews 3.0 的计算公式是AIC = -2+TLlogTk2施瓦茨准则（

54、SC）定义如下。 SC = log+, (5.85)TuTtt12TTlogk其中，k，T 定义如前。与 AIC 准则类似，SC 准则也随 k 的变化有极小值存在。使用Tttu12SC 准则的方法与 AIC 准则相类似。EViews 3.0 的计算公式是SC =-2+TLlogTTlogk注意，AIC 和 SC 准则并不是比较模型不同设定优劣的最明确统计量，但是与其他判别方法相结合，这两个准则可用来确定 ADL 模型的最大滞后期 k。300400500600700100200300400500600Shenzhen stock深圳股市收盘价综合指数序列（1999.1.4-2001.10.15,

55、 file:stock3）以上两个输出结果中的 SZ 表示深圳股市收盘价综合指数序列。因为第二个输出结果中的赤池信息准则和施瓦茨准则值都比第一个输出结果中的相应值小，所以建立三阶动态自回归模型没有必要。检验参数约束条件是否成立的 EViews 操作：在当前回归估计结果窗口中点击 View 键，选择 Coefficient Tests 功能，会看到 3 种关于参数约束的检验方法。 （1）Wald-Coefficient Restrictions（参数约束的 Wald 检验）,（2）Omitted Variables -Likelihood Ratio（是否已丢失变量的似然比检验）,（3）Redu

56、ndant Variables-Likelihood Ratio（是否含有多余参数的似然比检验） 。（1）Wald-Coefficient Restrictions（参数约束的 Wald 检验）以工作文件（file: nonli12）为例，对台湾制造业生产函数 = -8.4 + 0.67 Lnxt1 + 1.18 Lnxt2 tLny (4.4) (3.9) R2 = 0.89, F = 48.45, DW=1.3检验1/2 = 0.5 是否成立。应选择方法（1）参数约束的 Wald 检验。注意，相应的命令应该是 c(2)/c(3)=0.5概率大于 0.05，说明统计量落在了零假设的接收域。结

57、论是接受原假设（约束条件成立） 。（2）Omitted Variables -Likelihood Ratio（是否已丢失变量的似然比检验）做 Omitted Variables -Likelihood Ratio（是否已丢失变量的似然比检验）检验时，意味着把当前的回归结果当作是约束模型，在随后弹出的对话框中应列写在回归方程中拟新加入的解释变量名。（3）Redundant Variables-Likelihood Ratio（是否含有多余参数的似然比检验） 。做 Redundant Variables-Likelihood Ratio（是否含有多余参数的似然比检验）检验时，意味着把当前的回归结

58、果当作是非约束模型，在随后弹出的对话框中应列写从现在的回归方程中拟删除的解释变量名。Residual Tests（模型残差的检验） 。在当前回归估计结果窗口中点击 View 键，选择 Residual Tests 功能，会看到 7 种关于检验残差的方法。（1）Correlogram-Q-statistics（相关图与偏相关图，Q 检验） ，（2）Correlogram-Squared Residuals（残差平方序列的相关图与偏相关图） ，（3）Histogram-Normality Test（残差的直方图与分布正态性检验） ，（4）Serial Correlation LM Test（序列相

59、关 LM 检验） ，（5）ARCH LM Test（自回归条件异方差 LM 检验） ，（6）White Heteroskedasticity (no cross terms)（White 异方差检验（不含交叉项） ） ，（7）White Heteroskedasticity (cross terms)（White 异方差检验（含交叉项） ） 。在 Q 统计量的定义中， Q = T (T+2) (31)KkkkTr12如果估计的自相关系数 rk是用平方的残差值序列计算的，那么 Q 统计量考察的是残差序列中是否存在 ARCH、GARCH 过程。Q 统计量渐近服从2( K - p - q) 分布。检

60、验方法与所用临界值与上述检验是否为白噪声过程的 Q 统计量相同。这时的零假设是残差序列中不存在 ARCH、GARCH 过程。备择假设是存在ARCH、GARCH 过程。下图是对日元兑美元汇率 AR (2)模型中平方的残差值序列的 1-10 期的 Q 统计量计算结果。以 k = 10 为例，因为 Q(10) = 277.99 F (k,T-2k) 拒绝 H0（回归系数有显著性变化） 若 F F(1, 40) = 7.31)2/()(/)(2121kTSSESSEkSSESSESSET38/ )76. 337. 4(2/)76. 337. 4(26.14所以两个年度 21 省市的农业生产发生了很大变