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1、4、二元函数的极值、最值10极值定义 P208 为极大值 为极小值驻点 极值点，需判别设 、 、f< 0A < 0极大值A > 0极小值> 0非极值=0不定例1、 求的极值解： ， ， ， ，令 得驻点 ，在 ， 非极值 ， 为 极值点又 为极小值例2、求在闭区域D：， 的最大，最小值。解： ，令 （在D内） 在D的内部函数只有一个驻点 ，在边界 ， 在 ，在， 得： ，即 ，为驻点 比较 ， ，得最大值 ，最小值在实际问题中要求最大，最小值往往带有附加条件，即对函数的自变量除了限制在函数的定义域内外，还有其他的附加条件，这些条件由函数的各自变量之间的一些方程来表示。例

2、3、 求原点到曲线的最大距离此题即在条件下求的最小值问题20条件极值、拉格朗日乘数法 在实际问题中可根据题意来确定最值而不需判别 求在条件下, 的极值 令 称为目标函数,为拉格朗日常数 解得的为可能的极值点例1、求曲面到平面的最短距离解法一、曲面上任一点（x，y，z）到平面的距离 设得： 驻点唯一 解法二、曲面在任一点的切平面法矢量 平面x+y-4z=1的法矢量当时，即得：, 在点处切平面平行已知平面 点到平面距离最短，例2、在曲面位于第一卦限部分上求一点，使该点的切平面与三个坐标面围成的四面体的体积最小。 曲面位于第一卦限部分上任一点（x，y，z）处的平面方程为： 即 ， 四面体体积故令 由

3、 得： 驻点唯一 为所求点。例3、在第一象限内，过椭圆曲线上任一点作椭圆的切线，求诸切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值。解：在第一象限内曲线上任一点（x，y）处的切线方程为： 切线与两坐标轴的截距分别为若要使S最小，只要最大故设 由 得： 驻点唯一 例4、P212例5.325.33第六章 多元函数的积分10二重积分 1、定义 P225 2、性质 P226其中表示平面区域D的面积 , ，表D的面积 3、几何意义 ， ，则表示以为顶，以D为底的曲顶柱体体积。 4、二重积分在直角坐标下的计算法设用平面截立体得如图<1>所示的曲边梯形其面积 例1、计算二重积分其中D由曲线直线及轴所围成。解：首先画出积分区域D例2、将二重积分化为累次积分，其中D为： (1) 抛物线 及 所围成解： 交点 (2) 圆，所围 (3)，所围， 例3、计算,0y1110 例4、P228，例6.1，6.2，6.3 例5、，则1解：0 例6、2 0例7、交换积分次序 例8、P231例6.5例6.6，6.7(1)，6.8，6.9，6.105、二重积分在极坐标下计算方法例9、计算D： 解： 例10、D：由， 所围。解：例11、 D由 ,及轴所围。得交点 例12、P238例6.136.

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