中考数学专题：平行四边形在二次函数中的综合问题(解析版)

1、专题31 平行四边形在二次函数中的综合问题1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2mxn经过点A(3，0)、B(0，3)，点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t(1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式(2)若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求ABM的面积(3)是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)抛物线的解析式是.直线AB的解析式是.(2) .（3）P点的横坐标是或.【解析】解：(1)把A（3，0）B（0，-3）代入，得解得所以抛物线的解

2、析式是.设直线AB的解析式是,把A（3，0）B（0，）代入,得解得所以直线AB的解析式是.(2)设点P的坐标是（）,则M（,）,因为在第四象限，所以PM=，当PM最长时，此时=.（3）若存在，则可能是：P在第四象限：平行四边形OBMP ,PM=OB=3， PM最长时，所以不可能.P在第一象限平行四边形OBPM： PM=OB=3，解得，（舍去），所以P点的横坐标是.P在第三象限平行四边形OBPM：PM=OB=3，解得（舍去），所以P点的横坐标是.所以P点的横坐标是或.2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+3经过A（3，0）、B（1，0）两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一

3、个动点（不与A、D重合）（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如图1，过点P作PEy轴于点E求PAE面积S的最大值；（3）如图2，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由【答案】（1）抛物线的解析式为yx22x+3，顶点D的坐标为（1，4）；（2）PAE面积S的最大值是94；（3）点Q的坐标为（2+7，274）【解析】解：（1）抛物线yax2+bx+3经过A（3，0）、B（1，0）两点，9a3b+3=0a+b+3=0 ，得a=1b=2，抛物线解析式为yx22x+3（x+1）2+4，抛物线的顶点坐标为（1，4），即该抛物线的解

4、析式为yx22x+3，顶点D的坐标为（1，4）；（2）设直线AD的函数解析式为ykx+m，3k+m=0k+m=4，得k=2m=6，直线AD的函数解析式为y2x+6，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），设点P的坐标为（p，2p+6），SPAEp(2p+6)2（p+32）2+94，3p1，当p32时，SPAE取得最大值，此时SPAE94，即PAE面积S的最大值是94；（3）抛物线上存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形，四边形OAPQ为平行四边形，点Q在抛物线上，OAPQ，点A（3，0），OA3，PQ3，直线AD为y2x+6，点P在线段AD上，点Q在抛物线yx22x+3上，设点P的坐标

5、为（p，2p+6），点Q（q，q22q+3），qp=32p+6=q22q+3，解得，p=5+7q=2+7或p=57q=27（舍去），当q2+7时，q22q+3274，即点Q的坐标为（2+7，274）3、如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点，且B点的坐标为(3，0)，经过A点的直线交抛物线于点D (2， 3).（1）求抛物线的解析式和直线AD的解析式；（2）过x轴上的点E (a，0) 作直线EFAD，交抛物线于点F，是否存在实数a，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由.【答案】（1） y=-x2+2x+3；y=x+1；（2）a

6、的值为-3或【解析】解：（1）把点B和D的坐标代入抛物线y=-x2+bx+c得： 解得：b=2，c=3，抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；当y=0时，-x2+2x+3=0，解得：x=3，或x=-1，B（3，0），A（-1，0）；设直线AD的解析式为y=kx+a，把A和D的坐标代入得： 解得：k=1，a=1，直线AD的解析式为y=x+1； （2）分两种情况：当a-1时，DFAE且DF=AE，则F点即为（0，3），AE=-1-a=2，a=-3；当a-1时，显然F应在x轴下方，EFAD且EF=AD，设F （a-3，-3），由-（a-3）2+2（a-3）+3=-3，解得：a=；综上所述，满足条件的

7、a的值为-3或4、如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的函数表达式为y=421x2+1621x+4抛物线W与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线l经过C、D两点(1)求A、B两点的坐标及直线l的函数表达式(2)将抛物线W沿x轴向右平移得到抛物线W，设抛物线W的对称轴与直线l交于点F，当ACF为直角三角形时，求点F的坐标，并直接写出此时抛物线W的函数表达式(3)如图2，连接AC，CB，将ACD沿x轴向右平移m个单位（0m5），得到ACD设AC交直线l于点M，CD交CB于点N，连接CC，MN求四边形CMNC的面积（用含m的代数式表示）【答案】（

8、1）点A坐标为（3，0），点B的坐标为（7，0），y=2x+4；(2) 点F的坐标为（5，6），y=421x2+4021x；(3) 四边形CMNC的面积为45m2.【解析】（1）当y0时，421x2162140，解得x13，x27，点A坐标为（3，0），点B的坐标为（7，0）b2a16212×(421)抛物线w的对称轴为直线x2，点D坐标为（2，0）当x0时，y4，点C的坐标为（0，4）设直线l的表达式为ykxb，b=42k+b=0解得k=-2b=4直线l的解析式为y2x4；(2)抛物线w向右平移，只有一种情况符合要求，即FAC90°，如图.此时抛物线w的对称轴与x轴的交点

9、为G，1290°2390°，13，tan1tan3，FGAG=AOCO设点F的坐标为（xF，2xF4）， (2xF4)xF(3)34，解得xF5，2xF46，点F的坐标为（5，6），此时抛物线w的函数表达式为y421x24021x；(3)由平移可得：点C，点A，点D的坐标分别为C（m，4），A（3m，0），D（2m，0），CCx轴，CDCD，可用待定系数法求得直线AC的表达式为y43x443m，直线BC的表达式为y47x4，直线CD的表达式为y2x2m4，分别解方程组y=43x+4-43my=-2x+4和y=-2x+2m+4y=-47x+4 解得x=25my=-45m+4和

10、x=75my=-45m+4点M的坐标为（25m，45m4），点N的坐标为（75m，45 m4），yMyNMNx轴，CCx轴，CCMNCDCD，四边形CMNC是平行四边形，Sm4（45m4）45m25、如图，三角形是以为底边的等腰三角形，点、分别是一次函数的图象与轴、轴的交点，点在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点使四边形能构成平行四边形.（1）试求、的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点沿线段从到，同时动点沿线段从到都以每秒1个单位的速度运动，问：当运动过程中能否存在？如果不存在请说明理由；如果存在请说明点的位置？当运动到何处时，四边形的面积最小？此时四边形的面积是多少？【答案】（

11、1），；（2） 当点运动到距离点个单位长度处，有；当点运动到距离点个单位处时，四边形面积最小，最小值为.【解析】【分析】（1）根据一次函数解析式求出A和C的坐标，再由ABC是等腰三角形可求出点B的坐标，根据平行四边形的性质求出点D的坐标，利用待定系数法即可得出二次函数的表达式；（2）设点P运动了t秒，PQAC，进而求出AP、CQ和AQ的值，再由APQCAO，利用对应边成比例可求出t的值，即可得出答案；将问题化简为APQ的面积的最大值，根据几何关系列出关于时间的二次函数，根据二次函数的性质，求出函数的最大值，即求出APQ的面积的最大值，进而求出四边形PDCQ面积的最小值.【详解】解：（1）由，令

12、，得，所以点；令，得，所以点，是以为底边的等腰三角形，点坐标为，又四边形是平行四边形，点坐标为，将点、点代入二次函数，可得，解得：，故该二次函数解析式为：.（2），.设点运动了秒时，此时，即，解得：.即当点运动到距离点个单位长度处，有.，且，当的面积最大时，四边形的面积最小，当动点运动秒时，设底边上的高为，作于点，由可得：，解得：，当时，达到最大值，此时，故当点运动到距离点个单位处时，四边形面积最小，最小值为.6、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4，0)，B(0，4)，C(2，0)三点(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S

13、，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线yx上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形(要求PQOB)，直接写出相应的点Q的坐标【答案】（1）yx2x4；（2）当m2时，S有最大值，S最大4；（3）满足题意的Q点的坐标有三个，分别是（22，22），（22，22），（4，4）.【思路引导】（1）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式，利用待定系数法求解即可；（2）利用抛物线的解析式表示出点M的纵坐标，从而得到点M到x轴的距离，然后根据三角形面积公式表示并整理即可得解，根据抛物线的性质求出第三象限内二次函数的最值

14、，然后即可得解；（3）利用直线与抛物线的解析式表示出点P、Q的坐标，然后求出PQ的长度，再根据平行四边形的对边相等列出算式，然后解关于x的一元二次方程即可得解【解析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x-2），把B（0，-4）代入得，-4=a×（0+4）（0-2），解得a=，抛物线的解析式为：y=（x+4）（x-2），即y=x2+x-4；（2）过点M作MDx轴于点D，设M点的坐标为（m，n），则AD=m+4，MD=-n，n=m2+m-4，S=SAMD+S梯形DMBO-SABO=-2n-2m-8=-2×（m2+m-4）-2m-8=-m2-4m=-（m+2）2+4（-4

15、m0）；S最大值=4（3）设P（x，x2+x-4）如图1，当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQOB，Q的横坐标等于P的横坐标，又直线的解析式为y=-x，则Q（x，-x）由PQ=OB，得|-x-（x2+x-4）|=4，解得x=0，-4，-2±2x=0不合题意，舍去由此可得Q（-4，4）或（-2+2，2-2）或（-2-2，2+2）；如图2，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=-x得出Q为（4，-4）故满足题意的Q点的坐标有四个，分别是（-4，4），（4，-4），（-2+2，2-2），（-2-2，2+2）【方法总

16、结】本题是二次函数综合题，交点式求解析式，二次函数与三角形面积最值问题的公共底的辅助线的做法要注意，二次函数中存在平行四边形的方法，要分别对已知边的分别为平行四边形的边或是对角线进行分类讨论.7、如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（4，0）（1）求抛物线与直线AC的函数解析式；（2）若点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA的面积为S，求S关于m的函数关系式；（3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的所有点E的坐标【答案】（1）（2）S=m24m+4（4m0）（3

17、）（3，2）、（，2）、（，2）【解析】（1）A（4，0）在二次函数y=ax2x+2（a0）的图象上，0=16a+6+2，解得a=，抛物线的函数解析式为y=x2x+2；点C的坐标为（0，2），设直线AC的解析式为y=kx+b，则，解得，直线AC的函数解析式为：；（2）点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，D（m，m2m+2），过点D作DHx轴于点H，则DH=m2m+2，AH=m+4，HO=m，四边形OCDA的面积=ADH的面积+四边形OCDH的面积，S=（m+4）×（m2m+2）+（m2m+2+2）×（m），化简，得S=m24m+4（4m0）；（3）若AC为平行

18、四边形的一边，则C、E到AF的距离相等，|yE|=|yC|=2，yE=±2当yE=2时，解方程x2x+2=2得，x1=0，x2=3，点E的坐标为（3，2）；当yE=2时，解方程x2x+2=2得，x1=，x2=，点E的坐标为（，2）或（，2）；若AC为平行四边形的一条对角线，则CEAF，yE=yC=2，点E的坐标为（3，2）综上所述，满足条件的点E的坐标为（3，2）、（，2）、（，2）8、如图，抛物线y=x22x3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P

19、点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出所有满足条件的F点坐标（请直接写出点的坐标，不要求写过程）；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）A(1,0)，B(3,0)，y=x1。（2）94。（3）F1(1,0)，F2(3,0)，F3(4+7,0)，F4(47,0).【解析】（1）令y=0，解得x1=-1或x2=3，A（-1，0）B（3，0），将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3得y=-3，C（2，-3），直线AC的函数解析式是y=-x-1；（2）设P点的横坐标为

20、x（-1x2），则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（x，x2-2x-3），P点在E点的上方，PE=（-x-1）-（x2-2x-3）=-x2+x+2=-（x-12）2+94，当x=12时，PE的最大值=94；（3）存在4个这样的点F，分别是F1(1,0)，F2(3,0)，F3(4+7,0)，F4(47,0).如图1，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CGx轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（-3，0）；如图2，AF=CG=2，A点的坐标为（-1，0），因此F点的坐标为（1，0）；如图3，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+7

21、，3），设直线GF的解析式为y=-x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+4+7，因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+7，0）；如图4，同可求出F的坐标为（4-7，0）总之，符合条件的F点共有4个9、如图，已知二次函数y=ax22a34x+3的图象经过点A(4,0)，与y轴交于点B在x轴上有一动点C(m,0)(0<m<4)，过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D（1）求a的值和直线AB的解析式；（2）过点D作DFAB于点F，设ACE，DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段A

22、B上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且DEGH周长取最大值时，求点G的坐标【答案】（1）a=34，y=34x+3；（2）56；（3）113，14或13，114.【解析】解：（1）把点A(4,0)代入，得0=a·42(2a34)×4+3解得a=34函数解析式为：y=34x2+94x+3设直线AB解析式为y=kx+b把A(4,0)，B(0,3)代入0=4k+bb=3解得k=34b=3直线AB解析式为：y=34x+3（2）由已知，点D坐标为(m,34m2+94m+3)点E坐标为(m,34m+3)AC=4mDE=(34m2+94m+3)(34m+3)=34m2+3mBC/y轴

23、 ACEC=AOOB=43AE=54(4m)DFA=DCA=90°，FBD=CEADEFAECS1=4S2AE=2DE 54(4m)=2(34m2+3m)解得m1=56，m2=4（舍去）故m值为56（3）如图，过点G做GMDC于点M由（2）DE=34m2+3m同理HG=34n2+3n四边形DEGH是平行四边形34m2+3m=34n2+3n整理得：(nm)34(n+m)3=0mnm+n=4，即n=4mMG=nm=42m由已知EMGBOA MGEM=43EG=54(42m)DEGH周长L=234m2+3m+54(42m)=32m2+m+10a=32<0m=b2a=12×(

24、32)=13时，L最大n=413=113G点坐标为(113，14)，此时点E坐标为(13，114)当点G、E位置对调时，依然满足条件点G坐标为(113，14)或(13，114)10、如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx3交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点是D，对称轴交x轴于点E（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线在第四象限内的一点，过点P作PQy轴，交直线AC于点Q，设点P的横坐标是m求线段PQ的长度n关于m的函数关系式；连接AP，CP，求当ACP面积为时点P的坐标；（3）若点N是抛物线对称轴上一点，则抛物线上是否存在点M，使得以点B，C，M，N为顶点

25、的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出线段BN的长度；若不存在，请说明理由【答案】（1）yx22x3；（2）nm2+m；P（，）；（3）存在，BN2或2或2【解析】（1）抛物线的表达式为：ya（x+1）（x3）a（x22x3），故3a3，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx22x3；（2）设点P（m，m22m3），将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AC的表达式为：y3x3，则点Q（m，3m3），nPQm22m3+3m+3m2+m；连接AP交y轴于点H，同理可得：直线AP的表达式为：y（m3）x+m3，则OH3m，则CHm，ACP面积×CH×（xPxA）m（m+

26、1），解得：m（不合题意的值已舍去），故点P（，）；（3）点C（0，3），点B（3，0），设点P（m，n），nm22m3，点N（1，s），当BC是边时，点C向右平移3个单位向上平移3个单位得到B，同样点M（N）向右平移3个单位向上平移3个单位得到N（M），即1±3m，s±3n，解得：m4或2，s2或0，故点N（1，2）或（1，0），则BN2或2；当BC是对角线时，由中点公式得：3m+1，3s+n，解得：s6，故点N（1，6），则BN2，综上，BN2或2或211、如图，直线y2x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线yax2+x+c经过B、C两点(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当BEC面积最大时，请求出点E的坐标和BEC面积的最大值？(3)在(2)的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由【答案】(1)y2x2+x+3；(2)点E的坐标是(34，218)时，BEC的面积最大，最大面积是2732；(3)在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点