中考数学专题：矩形在二次函数中的综合问题(解析版)

1、专题34 矩形在二次函数中的综合问题1、如图，已知抛物线与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒当t为何值时，四边形OMPN为矩形当t0时，BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由【答案】（1），B点坐标为（3，0）；（2）；【解析】（1）抛物线对称轴是直线x=1，=1，解得

2、b=2，抛物线过A（0，3），c=3，抛物线解析式为，令y=0可得，解得x=1或x=3，B点坐标为（3，0）；（2）由题意可知ON=3t，OM=2t，P在抛物线上，P（2t，），四边形OMPN为矩形，ON=PM，3t=，解得t=1或t=（舍去），当t的值为1时，四边形OMPN为矩形；A（0，3），B（3，0），OA=OB=3，且可求得直线AB解析式为y=x+3，当t0时，OQOB，当BOQ为等腰三角形时，有OB=QB或OQ=BQ两种情况，由题意可知OM=2t，Q（2t，2t+3），OQ=，BQ=|2t3|，又由题意可知0t1，当OB=QB时，则有|2t3|=3，解得t=（舍去）或t=；当OQ=

3、BQ时，则有=|2t3|，解得t=；综上可知当t的值为或时，BOQ为等腰三角形2、如图，抛物线 y12x2+32x+2 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点C（1）求 A，B，C的坐标；（2）直线 l：y43x+2上有一点 D（m，2），在图中画出直线 l和点 D，并判断四边形ACBD的形状，说明理由【答案】（1）A（1，0）；B（4，0）；C（0，2）；（2）图形见解析；四边形ACBD为矩形【解析】（1）当x0时，y=12x2+32x+22，点C的坐标为（0，2）当y0时，有12x2+32x+20，解得：x11，x24，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0）（2）点D（m，2）

4、在直线y=43x+2上的，2=43m+2，解得：m3，点D的坐标为（3，2）依照题意画出图形，设CD交AB于点E，如图所示，四边形ACBD为矩形理由如下：当y0时，有43x+20，解得：x=32，点E的坐标为（32，0）A（1，0），B（4，0），C（0，2），D（3，2），E（32，0），AB4（1）5，CD=（30）2+（22）2=5，CE=（320）2+（02）2=52，AE=32（1）=52，AE=12AB，CE=12CD，ABCD，AB，CD互相平分，四边形ACBD为矩形3、如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（

5、3，0），与y轴交于C（0，3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式（2）连接PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四边形POPC，那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积【答案】（1）yx22x3；（2）（，）；（3）P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为【解析】解：（1）将B、C两点的坐标代入得：，解得：；所以二次函数的表达式为：.（2）存在点P，使四边形POPC为菱形；设P点坐标为，PP交CO于E若四边

6、形POPC是菱形，则有；连接PP，则于E，C，又，,；，解得，（不合题意，舍去），P点的坐标为.（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P点坐标为，设直线BC的解析式为：，则，解得：，直线BC的解析式为，则Q点的坐标为；当，解得：，当时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为4、如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=13x43与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax23x+c的对称轴是x=32（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PBx轴于点B，PCy轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段

7、OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF求证：PEPF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PEPF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线的解析式为y=x23x4；（2）证明见解析；（3）点Q的坐标为（2，6）或（2，6）【解析】（1）当y=0时，13x43=0，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=32，得16a12+c=032a=32，解得a=1c=4，抛物线的解析式为y=x23x4；（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，直线m的解析式为y=1

8、3x点P是直线1上任意一点，设P（3a，a），则PC=3a，PB=a又PE=3PF，PCPF=PBPEFPC=EPBCPE+EPB=90°，FPC+CPE=90°，FPPE（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6aCF=3BE=183a，OF=203aF（0，203a）PEQF为矩形，Qx+Px2=Fx+Ex2，Qy+Py2=Fy+Ey2，Qx+6=0+a，Qy+2=203a+0，Qx=a6，Qy=183a将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：183a=（a6）23（a6）4，解得：a=4或a=8（舍去）Q（2，6）如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（

9、a，0），则BE=a6CF=3BE=3a18，OF=3a20F（0，203a）PEQF为矩形，Qx+Px2=Fx+Ex2，Qy+Py2=Fy+Ey2，Qx+6=0+a，Qy+2=203a+0，Qx=a6，Qy=183a将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：183a=（a6）23（a6）4，解得：a=8或a=4（舍去）Q（2，6）综上所述，点Q的坐标为（2，6）或（2，6）5、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax22ax3a(a0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：ykxb与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD4AC(1)求A，B两点的坐标及抛物

10、线的对称轴；(2)求直线l的函数解析式(其中k，b用含a的式子表示)；(3)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若ACE的面积的最大值为，求a的值；(4)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由【答案】（1）A（1，0），B（3，0），x1；（2）yax+a；（3）；（4）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，（1，）或（1，4）【思路引导】（1）解方程即可得到结论；（2）根据直线l：ykx+b过A（1，0），得到直线l：ykx+k，解方程得到点D的横坐标为4，求得ka，得到直线l的函数表达式为

11、yax+a；（3）过E作EFy轴交直线l于F，设E（x，ax22ax3a），得到F（x，ax+a），求出EFax23ax4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（4）令ax22ax3aax+a，即ax23ax4a0，得到D（4，5a），设P（1，m），若AD是矩形ADPQ的一条边，若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论【解析】（1）当y0时，ax22ax3a0，解得：x11，x23，A（1，0），B（3，0），对称轴为直线x1；（2）直线l：ykx+b过A（1，0），0k+b，即kb，直线l：ykx+k，抛物线与直线l交于点A，D，ax22ax3akx+k，即ax2（2a+k）

12、x3ak0，CD4AC，点D的横坐标为4，31×4，ka，直线l的函数表达式为yax+a；（3）过E作EFy轴交直线l于F，设E（x，ax22ax3a），则F（x，ax+a），EFax22ax3aaxaax23ax4a，SACESAFESCEF（ax23ax4a）（x+1）（ax23ax4a）x（ax23ax4a）a（x）2a，ACE的面积的最大值a，ACE的面积的最大值为，a，解得；（4）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，令ax22ax3aax+a，即ax23ax4a0，解得：x11，x24，D（4，5a），抛物线的对称轴为直线x1，设P（1，m），若AD是矩形ADPQ的

13、一条边，则易得Q（4，21a），m21a+5a26a，则P（1，26a），四边形ADPQ是矩形，ADP90°，AD2+PD2AP2，52+（5a）2+32+（26a5a）222+（26a）2，即a2，a0，a，P（1，）；若AD是矩形APDQ的对角线，则易得Q（2，3a），m5a（3a）8a，则P（1，8a），四边形APDQ是矩形，APD90°，AP2+PD2AD2，（11）2+（8a）2+（14）2+（8a5a）252+（5a）2，即a2，a0，a ，P（1，4），综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，）或（1，4）【方法总结】本题考查了待定系数法

14、求函数的解析式，三角形面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键6、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由【答案】（1）A（1，0），；（2）；（3）P的

15、坐标为（1，）或（1，4）【解析】解：（1）=，令y=0，得到，A（1，0），B（3，0），直线l经过点A，令，即，CD4AC，点D的横坐标为4，直线l的函数表达式为；（2）过点E作EFy轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），EF=，SACESAFESCFE ，ACE的面积的最大值为，ACE的面积的最大值为， ，解得；（3）令，即，解得，D（4，5a），抛物线的对称轴为，设P（1，m），若AD是矩形的一条边，则Q（4，21a），m21a5a26a，则P（1，26a），四边形ADPQ为矩形，ADP90°，即 ，P1（1，）；若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（ ，）

16、，Q（2，），m，则P（1，8a），四边形APDQ为矩形，APD90°，即 ，P2（1，4）综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，4）7、如图1，抛物线y=33x2+233x+3与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点经过点A的直线l与y轴交于点D（0，3）（1）求A、B两点的坐标及直线l的表达式；（2）如图2，直线l从图中的位置出发，以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向运动，运动中直线l与x轴交于点E，与y轴交于点F，点A 关于直线l的对称点为A，连接FA、BA，设直线l的运动时间为t（t0）秒探究下列问题：请直接写出A

17、的坐标（用含字母t的式子表示）；当点A落在抛物线上时，求直线l的运动时间t的值，判断此时四边形ABEF的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，探究：在直线l的运动过程中，坐标平面内是否存在点P，使得以P，A，B，E为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点P的坐标； 若不存在，请说明理由【答案】（1）y=3x3；（2）见解析（3）存在【解析】（1）当y=0时，33x2+233x+3=0，解得x1=1，x2=3，则A（1，0），B（3，0），设直线l的解析式为y=kx+b，把A（1，0），D（0，3）代入得k+b=0b=3，解得k=3b=3，直线l的解析式为y=3x3；（2）作AHx轴于H，

18、如图，OA=1，OD=3，OAD=60°，EFAD，AEF=60°，点A 关于直线l的对称点为A，EA=EA=t，AEF=AEF=60°，在RtAEH中，EH=12EA=12t，AH=3EH=32t，OH=OE+EH=t1+12t=32t1，A（32t1，32 t）；把A（32t1，32 t）代入y=33x2+233x+3得33（32t1）2+233（32t1）+3=32t，解得t1=0（舍去），t2=2，当点A落在抛物线上时，直线l的运动时间t的值为2；此时四边形ABEF为菱形，理由如下：当t=2时，A点的坐标为（2，3），E（1，0），OEF=60°

19、OF=3OE=3，EF=2OE=2，F（0，3），AFx轴，AF=BE=2，AFBE，四边形ABEF为平行四边形，而EF=BE=2，四边形ABEF为菱形；（3）存在，如图：当ABBE时，四边形ABEP为矩形，则32t1=3，解得t=83，则A（3，433），OE=t1=53，此时P点坐标为（53，433）；当ABEA，如图，四边形ABPE为矩形，作AQx轴于Q，AEA=120°，AEB=60°，EBA=30°BQ=3AQ=332t=32t，32t1+32t=3，解得t=43，此时A（1，233），E（13，0），点A向左平移23个单位，向下平移233个单位得到点E

20、，则点B（3，0）向左平移23个单位，向下平移233个单位得到点P，则P（73，233），综上所述，满足条件的P点坐标为（53，433）或（73，233）8、如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B坐标为(4，t)(t0)二次函数yx2bx(b0)的图象经过点B，顶点为点D.(1)当t12时，顶点D到x轴的距离等于_；(2)点E是二次函数yx2bx(b0)的图象与x轴的一个公共点(点E与点O不重合)求OE·EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；(3)矩形OABC的对角线OB，AC交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数yx2bx(b0)的图

21、象于点M，N，连结DM，DN.当DMNFOC时，求t的值【解析】 (1)将B点坐标(4，12)代入yx2bx求出二次函数关系式，再用配方法或二次函数的顶点坐标公式解决问题；(2)分别用含b的代数式表示OE，AE的长，再运用二次函数的求最值的方法(配方法)求出OE·EA的最大值；(3)由DMNFOC可得MNCOt，再分别用含b，t的代数式表示出点M，N的坐标，将点M或点N的坐标代入yx2bx就可以求出t的值解：(2)二次函数yx2bx与x轴交于点E，E(b，0)OEb，AE4b.OE·EAb(b4)b24b(b2) 24.当b2时，OE·EA有最大值，其最大值为4.

22、此时b2，二次函数表达式为yx22x；第1题答图(3)如答图，过D作DGMN，垂足为G，过点F作FHCO，垂足为H.DMNFOC，MNCOt，DGFH2.D，N，即N.把x，y代入yx2bx，得b·，解得t±2，t0，t2.9、如图所示，直线ykxm分别交y轴，x 轴于A(0，2)，B(4，0)两点，抛物线yx2bxc过A，B两点(1)求直线和抛物线的表达式；(2)设N(x，y)是(1)所得抛物线上的一个动点，过点N作直线MN垂直x轴交直线AB于点M，若点N在第一象限内试问：线段MN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；(3)在(2

23、)的情况下，以A，M，N，D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标【解析】 (1)由直线ykxm分别交y轴、x 轴于A(0，2)，B(4，0)两点，抛物线yx2bxc过A，B两点，利用待定系数法即可求得直线和抛物线的表达式；(2)假设xt时，线段MN的长度是最大值，可得M，N，则可得MNt24t(t2)24，然后由二次函数的最值问题，求得答案；(3)根据平行四边形的性质即可求得答案解：(1)直线ykxm分别交y轴，x 轴于A(0，2)，B(4，0)两点，解得直线的表达式为yx2，将A(0，2)，B(4，0)分别代入抛物线，得解得抛物线的表达式为yx2x2；(2)存在假设xt时，线段MN的长度

24、是最大值，由题意，得M，N，MNt24t(t2)24，当t2时，MN有最大值4；第2题答图(3)由题意可知，D的可能位置有如答图三种情形当D在y轴上时，设D的坐标为(0，a)，由ADMN，得|a2|4，解得a16，a22，D(0，6)或D(0，2)；当D不在y轴上时，由图可知D为D1N与D2M的交点，直线D1N的表达式为yx6，直线D2M的表达式为yx2，由两方程联立解得D(4，4)综上可得，D的坐标为(0，6)，(0，2)或(4，4)10、如图所示，抛物线yx26x交x轴正半轴于点A，顶点为M，对称轴MB交x轴于点B，过点C(2，0)作射线CD交MB于点D(D在x轴上方)，OECD交MB于点

25、E，EFx轴交CD的延长线于点F，作直线MF.(1)求点A，M的坐标；(2)当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？(3)当BD1时，求直线MF的表达式，并判断点A是否落在该直线上；延长OE交FM于点G，取CF中点P，连结PG，FPG，四边形DEGP，四边形OCDE的面积分别记为S1，S2，S3，则S1S2S3_348_.解：(1)令y0，则x26x0，解得x10，x26，A(6，0)，对称轴是直线x3，M(3，9)；(2)OECF，OCEF，C(2，0)，EFOC2，BC1，点F的横坐标为5，点F落在抛物线yx26x上，F(5，5)，BE5.，DE2BD，BE3BD，BD；(3)当BD1时，

26、BE3，F(5，3)第3题答图设MF的表达式为ykxb，将M(3，9)，F(5，3)代入，得解得y3x18.当x6时，y3×6180，点A落在直线MF上；BD1，BC1，BDC为等腰直角三角形，OBE为等腰直角三角形，CD，CFOE3，DP，PF，根据MF及OE的表达式求得点G的坐标为，如答图，过点G作GNEF交EF于点N，则ENGN，EG，SFPG，S梯形DEGP，S梯形OCDE的高相等，所以三者面积比等于底之比，故SFPGS梯形DEGPS梯形OCDEPF(DPEG)(DCOE)2424348.11、如图所示，抛物线yax2bx3经过点A(2，3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于

27、点C，且OC3OB.(1)求抛物线的表达式；(2)点D在y轴上，且BDOBAC，求点D的坐标；(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由【解析】 (1)本题需先根据已知条件，求出C点坐标，即OC，进而根据OC3OB求出点B的坐标，再根据过A，B两点，即可得出结果；(2)过点B作BEx轴交AC的延长线于点E，由BDOBAC，BODBEA90°得到RtBDO和RtBAE相似，得到OD，进而得到点D的坐标；(3)根据题意可知N点在对称轴x1上，而A，B，M，N四点构成平行四边

28、形符合题意的有三种情况：BMAN，AMBN；BNAM，ABMN；BMAN，ABMN，然后根据平行直线k相同可以得到点M的坐标解：(1)令x0，由yax2bx3，得y3，C(0，3)，OC3，又OC3OB，OB1，B(1，0)，把点B(1，0)和A(2，3)分别代入yax2bx3，得 解得该二次函数的表达式为yx22x3.(2)如答图，过点B作BEx轴交AC的延长线于点E.BDOBAC，BODBEA90°，RtBDORtBAE，ODOBAE：BE，OD133，OD1，D点坐标为(0，1)或(0，1) 第4题答图 第4题答图(3)如答图，M1(0，3)，M2(2，5)，M3(4，5)12

29、、如图所示，顶点为的抛物线yax2bxc过点M(2，0) 原图 备用图(1)求抛物线的表达式；(2)点A是抛物线与x轴的交点(不与点M重合)，点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线yx1上一点(处于x轴下方)，点D是反比例函数y(k>0)图象上一点若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值【解析】 (1)已知抛物线的顶点坐标，可设顶点式为 ya，再把点M(2，0)代入，可求a1，所以抛物线的表达式可求；(2)先分别求出A，B两点的坐标，及AB的长，再根据反比例函数y(k>0)，考虑点C在x轴下方，故点D只能在第一、三象限确定菱形有两种情形：菱形以AB为边，如答图，过点D作y轴

30、的垂线，交y轴于点N，因此，BDNGAO45°，BDAB，从而求出DN，NO，即D的坐标可求，从而k可求 菱形以AB为对角线，如答图，过点D作x轴的垂线，与x轴交于点F，与过点B作y轴的垂线交于点E，可证DBE是等腰直角三角形，所以设BEDEx，则DFx2，DBx，在RtADF中，ADBDx，AFx1，利用勾股定理，构造关于x的方程，求出x，则D点坐标(x，x2)可求，k可求解：(1)依题意可设抛物线为ya，将点M(2，0)代入可得a1，抛物线的表达式为yx2x2；(2)当y0时，x2x20，解得x11，x22，A(1，0)，当x0时，y2，B(0，2)在 RtOAB 中，OA1，O

31、B2，AB.设直线 y x1 与 y 轴的交点为点 G，易求 G(0，1)，RtAOG为等腰直角三角形，AGO45°.点 C 在 yx1 上且在 x 轴下方，而 k>0，y的图象位于第一、三象限，故点 D 只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下两种情况：第5题答图菱形以 AB 为边且 AC 也为边，如答图所示，过点 D 作 DNy 轴于点 N，在 RtBDN 中，DBNAGO 45°，DNBN，D，点D在y(k>0)的图象上，k×.菱形以 AB 为对角线，如答图所示，作 AB 的垂直平分线 CD 交直线 y x1 于点 C，交 y的图象于点D再分别过点 D，B 作 DEx 轴于点 F，BEy 轴，DE 与 BE 相交于点 E.在 RtBDE 中，同可证AGODBO BDE 45°，BEDE.设点 D 的坐标为(x，x2)第5题答图BE2DE2BD2，BDBE x.四边形AC