中考数学专题：全等三角判定在二次函数中的综合问题(解析版)

1、专题36 全等三角判定在二次函数中的综合问题1、已知二次函数yx2+x+2的图象与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）求证：ABC为直角三角形；（3）如图，动点E，F同时从点A出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F以每秒个单位长度的速度沿射线AC方向运动当点F停止运动时，点E随之停止运动设运动时间为t秒，连结EF，将AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到DEF当点F在AC上时，是否存在某一时刻t，使得DCOBCO？（点D不与点B重合）若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）点A的坐标为（4，0），点B

2、的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，2）；（2）证明见解析；（3）t.【解析】（1）解：当y0时，x+20，解得：x11，x24，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（1，0），当x0时，y2，点C的坐标为（0，2）；（2）证明：A（4，0），B（1，0），C（0，2），OA4，OB1，OC2AB5，AC，AC2+BC225AB2，ABC为直角三角形；（3）解：由（2）可知ABC为直角三角形且ACB90°，AE2t，AFt，又EAFCAB，AEFACB，AEFACB90°，AEF沿EF翻折后，点A落在x轴上点 D处，由翻折知，DEAE，AD2AE4t，当DCOBCO时，B

3、OOD，OD44t，BO1，44t1，t，即：当t秒时，DCOBCO2、如图，已知抛物线y=32x2+bx+63与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为(2,0)，抛物线的顶点为P(1)求b的值，并求出点P、B的坐标；(2)在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使AMPAMB？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，试说明理由【答案】(1)(6,0)(2)存在，(163,1039)【解析】(1)抛物线y=32x2+bx+63经过A(2,0)，32×22+2b+63=0，解得：b=43，抛物线的表达式为y=32x243x+63y=32x2+bx+63=32(x4)223，点P的坐标为(4

4、,23).令y=0得：32x2+bx+63=0，解得x=2或x=6，B的坐标为(6,0)(2)存在，点M(163,1039).如图：过点P作PCx轴，垂足为C，连接AP、BP，作PAB的平分线，交PB与点N，交抛物线与点M，连接PM、BMA(2,0)，B(6,0)，P(4,23)，AB=4，AP=(42)2+(23)2=4，BP=(46)2+(23)2=4，ABP是等边三角形，APB=ABP，AP=ABAMPB，PN=BN，PAM=BAM在AMP和AMB中，AP=ABPAM=BAMAM=AM，AMPAMB存在这样的点M，使得AMPAMBB(6,0)，P(4,23)，点N是PB的中点，N(5,3

5、).设直线AM的解析式为y=kx+b，将点A和点N的坐标代入得：2k+b=05k+b=3，解得：k=33b=233，直线AM的解析式为y=33x+233将y=33x+233代入抛物线的解析式得：32x243x+63=33x+233，解得：x=163或x=2(舍去)，当x=163时，y=1039，点M的坐标为(163,1039).3、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2bx8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(2，0)，(6，8)(1)求抛物线的解析式，并分别求出点B和点E的坐标

6、；(2)试探究抛物线上是否存在点F，使FOEFCE.若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1) yx23x8；（2）点F的坐标为(3，4)或(3，4)【思路引导】（1）根据待定系数法求出抛物线解析式即可求出点B坐标，求出直线OD解析式即可解决点E坐标（2）抛物线上存在点F使得FOEFCE，此时点F纵坐标为-4，令y=-4即可解决问题【解析】（1）抛物线y=ax2+bx-8经过点A（-2，0），D（6，-8）， 解得抛物线的函数表达式为yx23x8；yx23x8 (x3)2 ，抛物线的对称轴为直线x=3又抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（-2，0）点B的坐标为（8，

7、0），设直线L的函数表达式为y=kx点D（6，-8）在直线L上，6k=-8，解得k=- ，直线L的函数表达式为y=-x，点E为直线L和抛物线对称轴的交点，点E的横坐标为3，纵坐标为-×3=-4，点E的坐标为（3，-4）；（2）抛物线上存在点F，使FOEFCEOE=CE=5，FO=FC，点F在OC的垂直平分线上，此时点F的纵坐标为-4，x2-3x-8=-4，解得x=3± ，点F的坐标为（3-，-4）或（3+，-4）【方法总结】本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、待定系数法，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解，学会用方程的思想思考问题，属于中考

8、压轴题4、如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点分别为A（6，0）和点B（4，0），与y轴的交点为C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P是线段OA上一动点（不与点A重合），过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，点D、M在线段AB上，点N在线段AC上是否同时存在点D和点P，使得APQ和CDO全等，若存在，求点D的坐标，若不存在，请说明理由；若DCB=CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标【答案】（1）y=18x214x+3；（2）点D坐标为（32，0）；点M（32，0）.【分析】（1）应用待定系数法问题可解；（2）通过分类讨论研究APQ和CDO全等由已知求点D坐标，证明DNB

9、C，从而得到DN为中线，问题可解【解析】（1）将点（-6，0），C（0，3），B（4，0）代入y=ax2+bx+c，得36a6b+c016a+4b+c0c0，解得：a18b14c3 ，抛物线解析式为：y=-18x2-14x+3；（2）存在点D，使得APQ和CDO全等，当D在线段OA上，QAP=DCO，AP=OC=3时，APQ和CDO全等，tanQAP=tanDCO，OCOAODOC，36OD3，OD=32，点D坐标为（-32，0）.由对称性，当点D坐标为（32，0）时，由点B坐标为（4，0），此时点D（32，0）在线段OB上满足条件OC=3，OB=4，BC=5，DCB=CDB，BD=BC=5，

10、OD=BD-OB=1，则点D坐标为（-1，0）且AD=BD=5，连DN，CM，则DN=DM，NDC=MDC，NDC=DCB，DNBC，ANNCADDB1，则点N为AC中点DN时ABC的中位线，DN=DM=12BC=52，OM=DM-OD=32点M（32，0）【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数待定系数法、三角形全等的判定、锐角三角形函数的相关知识解答时，注意数形结合5、如图，在平面直角坐标系中，以点M（2，0）为圆心的M与y轴相切于原点O，过点B（2，0）作M的切线，切点为C，抛物线y=33x2+bx+c经过点B和点M（1）求这条抛物线解析式；（2）求点C的坐标，并判断点C是否在（1）

11、中抛物线上；（3）动点P从原点O出发，沿y轴负半轴以每秒1个单位长的速度向下运动，当运动t秒时到达点Q处此时BOQ与MCB全等，求t的值【答案】（1）y33x2+433；（2）点C在（1）的抛物线上；（3）t23【解析】（1）将点M（2，0）、B（2，0）代入 y=33x2+bx+c 中，得：433+2b+c=04332b+c=0 解得：b=0c=433抛物线的解析式：y=33x2+433（2）连接MC，则MCBC；过点C作CDx轴于D，如图，在RtBCM中，CDBM，CM2，BM4，则：DM=CM2BM=224=1，CD=CM2DM2=221=3，ODOMDM1，C（1，3）当x1时，y=3

12、3x2+433=3，所以点C在（1）的抛物线上（3）BCM和BOQ中，OBCM2，BOQBCM90°，若两三角形全等，则：OQBC=BM2CM2=4222=23，当t23时，MCB和BOQ全等6、如图所示，抛物线y=(x3m)2（m0）的顶点为A，直线l:y=33xm与y轴的交点为点B.（1）求出抛物线的对称轴及顶点A的坐标（用含m的代数式表示）；（2）证明点A在直线l上，并求OAB的度数；（3）动点Q在抛物线对称轴上，问：抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A为顶点的三角形与OAB全等？若存在，求出m的值，并写出所有符合上述条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）抛物

13、线的对称轴为直线x=3m，顶点A的坐标为（3m，0）；（2）OAB=30°；（3）存在，m=13时， P1（0，-13），P2（233，-13）；m=3时，P3（3-3，-3），P4（3+3，-3）；m=2时， P5（3，-3），P6（33，-3）；m=23时， P7（33，-13），P8（3，-13）. 【解析】（1）对称轴：x=3m；顶点：A（3m，0）（2）将x=3m代入函数y=33x-m，得y=33×3m-m=0点A（3m，0）在直线l上当x=0时，y=-m，B（0，-m）tanOAB=m3m=33，OAB=30度（3）以点P、Q、A为顶点的三角形与OAB全等共有以

14、下四种情况：当AQP=90°，PQ=3m，AQ=m时，如图1，此时点P在y轴上，与点B重合，其坐标为（0，-m），代入抛物线y=-（x-3m）2得-m=-3m2，m0，m=13这时有P1（0，-13）其关于对称轴的对称点P2（233，- 13）也满足条件当AQP=90°，PQ=m，AQ=3m时点P坐标为（3m-m，-3m），代入抛物线y=-（x-3m）2得3m=m2，m0，m=3这时有P3（3-3，-3）还有关于对称轴的对称点P4（3+3，-3）当APQ=90°，AP=3m，PQ=m时点P坐标为（32m，32m），代入抛物线y=-（x-3m）2得32m=34m2，

15、m0，m=2这时有P5（3，-3）还有关于对称轴的对称点P6（33，-3）当APQ=90°，AP=m，PQ=3m时点P坐标为（32m，12m），代入抛物线y=-（x-3m）2得12m=34m2，m0，m=23这时有P7（33，-13）还有关于对称轴对称的点P8（3，-13）所以当m=13时，有点P1（0，-13），P2（233，-13）；当m=3时，有点P3（3-3，-3），P4（3+3，-3）；当m=2时，有点P5（3，-3），P6（33，-3）；当m=23时，有点P7（33，-13），P8（3，-13）7、 如图1，抛物线y1=ax212x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y

16、轴交于点C（0，34），抛物线y1的顶点为G，GMx轴于点M将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y28、（1）求抛物线y2的解析式；（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与AMG全等，求直线PR的解析式【答案】（1）y2=-14x2+12 x-14；（2）存在；（3）y=12x+34或y=12x14.【解析】（1）由已知，c=34，将B（1，0）代入，得：a12+34=0，解得

17、a=14，抛物线解析式为y1=14x2-12 x+34，抛物线y1平移后得到y2，且顶点为B（1，0），y2=14（x1）2，即y2=-14x2+12 x-14；（2）存在，如图1：抛物线y2的对称轴l为x=1，设T（1，t），已知A（3，0），C（0，34），过点T作TEy轴于E，则TC2=TE2+CE2=12+（34）2=t232t+2516，TA2=TB2+AB2=（1+3）2+t2=t2+16，AC2=15316，当TC=AC时，t232t+2516=15316，解得：t1=3+1374，t2=31374；当TA=AC时，t2+16=15316，无解；当TA=TC时，t232t+251

18、6=t2+16，解得t3=778；当点T坐标分别为（1，3+1374），（1，31374），（1，778）时，TAC为等腰三角形；（3）如图2：设P（m，14m212m+34），则Q（m，14m2+12m14），Q、R关于x=1对称R（2m，14m2+12m14），当点P在直线l左侧时，PQ=1m，QR=22m，PQR与AMG全等，当PQ=GM且QR=AM时，m=0，P（0，34），即点P、C重合，R（2，14），由此求直线PR解析式为y=12x+34，当PQ=AM且QR=GM时，无解；当点P在直线l右侧时，同理：PQ=m1，QR=2m2，则P（2，54），R（0，14），PQ解析式为：y=1

19、2x14；PR解析式为：y=12x+34或y=12x14.8、抛物线的顶点为（1，4），与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P为对称轴右侧抛物线上一点，以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M落在对称轴上，求P点的坐标【答案】（1）yx22x3；（2）点P的坐标为（2，3）或（4，5）【解析】解：（1）设抛物线的解析式为ya（x1）24，将C（0，3）代入ya（x1）24，得：3a（01）24，解得：a1，抛物线的解析式为y（x1）24x22x3（2）当y0时，有x22x30，解得：x11，x23，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0）设抛

20、物线对称轴与x轴交于点E，过点P作PFx轴，交抛物线对称轴于点F，如图所示设点P的坐标为（x，x22x3）（x1），则PFx1，BE312BME+PMF90°，BME+MBE90°，MBEPMF在MBE和PMF中，BEMPFM90°MBEPMFBMMP ，MBEPMF（AAS），MEPFx1，MFBE2，EFME+MFx+1EF|x22x3|，|x22x3|x+1，即x23x40或x2x20，解得：x11（舍去），x22，x34，点P的坐标为（2，3）或（4，5）9、如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC求抛物线的表达式；求证：AB平分；抛物

21、线的对称轴上是否存在点M，使得是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】抛物线的解析式为；证明见解析；点M的坐标为或【解析】将，代入得：，解得：，抛物线的解析式为；，取，则，由两点间的距离公式可知，在和中，平分；如图所示：抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F抛物线的对称轴为，则，同理：，又，点M的坐标为或10、如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（4，0）与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线1，交抛物线与点Q（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在线段OB上运动

22、时，直线1交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；（3）在点P运动的过程中，坐标平面内是否存在点Q，使BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1) ;(2) 当m2时，四边形CQMD为平行四边形;(3) Q1（8，18）、Q2（1，0）、Q3（3，2）【思路引导】（1）直接将A（-1，0），B（4，0）代入抛物线y=x2+bx+c方程即可；（2）由（1）中的解析式得出点C的坐标C（0，-2），从而得出点D（0，2），求出直线BD：yx+2，设点M(m，m+2)，Q(m，m2m2)，可得MQ=m2+m+4，根据平行四边形

23、的性质可得QM=CD=4，即m2+m+44可解得m=2；（3）由Q是以BD为直角边的直角三角形，所以分两种情况讨论，当BDQ=90°时，则BD2+DQ2=BQ2，列出方程可以求出Q1（8，18），Q2（-1，0），当DBQ=90°时，则BD2+BQ2=DQ2，列出方程可以求出Q3（3，-2）【解析】（1）由题意知，点A（1，0），B（4，0）在抛物线yx2+bx+c上，解得：所求抛物线的解析式为 （2）由（1）知抛物线的解析式为，令x0，得y2点C的坐标为C（0，2）点D与点C关于x轴对称点D的坐标为D（0，2）设直线BD的解析式为：ykx+2且B（4，0）04k+2，解得

24、：直线BD的解析式为：点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线1，交BD于点M，交抛物线与点Q可设点M，Q MQ四边形CQMD是平行四边形QMCD4，即=4解得：m12，m20（舍去）当m2时，四边形CQMD为平行四边形（3）由题意，可设点Q且B（4，0）、D（0，2）BQ2 DQ2 BD220当BDQ90°时，则BD2+DQ2BQ2， 解得：m18，m21，此时Q1（8，18），Q2（1，0）当DBQ90°时，则BD2+BQ2DQ2， 解得：m33，m44，（舍去）此时Q3（3，2）满足条件的点Q的坐标有三个，分别为：Q1（8，18）、Q2（1，0）、Q3（3，2）【方

25、法总结】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了平行四边形及直角三角形的定义，要注意第3问分两种情形求解11、如图，已知直线yx+2交x轴、y轴分别于点A、B，抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x12，且抛物线经过A、B两点，交x轴于另一点C（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线x轴上方一点，MBACBO，求点M的坐标；（3）过点A作AB的垂线交y轴于点D，平移直线AD交抛物线于点E、F两点，连结EO、FO若EFO为以EF为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式【答案】（1）yx2x+2（2）M（23，209）（3）平移后的解析式为yx1+5或yx15【解析】（1）直线yx+2

26、交x轴、y轴分别于点A、B，A（2，0），B（0，2），抛物线的对称轴x12，A，C关于对称轴对称，C（1，0），设抛物线的解析式为ya（x+2）（x1），把（0，2）代入得到a1，抛物线的解析式为yx2x+2（2）如图1中，作EAAB交BM的延长线于E，作EFx轴于FABEOBC，BAEBOC90°，BAEBOC，AEOC=ABOB，AE1=222，AE2，EAF+BAO90°，BAO45°，EAF45°，EFAF1，E（3，1），直线BE的解析式为y13x+2，由yx2x+2y13x+2，解得x0y2或x43y149，M（-43，149）（3）如图2

27、中，当直线AD向下平移时，设E（x1，y1），F（x2，y2），作EHx轴于H，FGx轴于GEOF=90°=PHE=OGF，由EHOOGF得到：EHOG=OHFG，y1x2=x1y2，x1x2+y1y2=0，由yx+byx2x+2，消去y得到：x2+b-2=0，x1x2=b-2，x1+x2=0，y1y2=（-x1+b）（-x2+b）=x1x2+b2，2（b-2）+b2=0，解得b=-1-5或-1+5（舍弃），当直线AD向上平移时，同法可得b=-1+5，综上所述，平移后的解析式为y=-x-1+5或y=-x-1-512、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（1，

28、0），对称轴为直线x=2（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动设点P运动的时间为t秒当t为 秒时，PAD的周长最小？当t为 秒时，PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）点P在运动过程中，是否存在一点P，使PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）B（3，0）；（2）y=x2+4x+3，E（2，1）；（3）2；

29、4或或；P（2，1）或（2，2）【解析】解：（1）由抛物线的轴对称性及A（1，0），可得B（3，0）（2）设抛物线的对称轴交CD于点M，交AB于点N，由题意可知ABCD，由抛物线的轴对称性可得CD=2DMMNy轴，ABCD，四边形ODMN是矩形DM=ON=2CD=2×2=4A（1，0），B（3，0），AB=2梯形ABCD的面积=（AB+CD）OD=9，OD=3，即c=3把A（1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3得，解得y=x2+4x+3将y=x2+4x+3化为顶点式为y=（x+2）21，得E（2，1）；（3）连接BD交对称轴于P，则此时PAD的周长最小，B（3，0），D（0

30、，3），易得直线BD的解析式为：y=x+3，当x=-2时，y=-2+3=1，P（-2，1），当t为2秒时，PAD的周长最小；当PAD是以AD，AP为腰的等腰三角形时，易得P（-2，3），则此时t=4；当PAD是以AD，DP为腰的等腰三角形且点P在CD下方时，设抛物线的对称轴交CD于点M，AO=1，OD=3，MD=2，DP=AD=，PM=，EP=3+1-=4-，t=4-；当PAD是以AD，DP为腰的等腰三角形且点P在CD上方时，同理可得PM=，EP=3+1+=4+，t=4+；故答案为：2；4或或； 存在APD=90°，PMD=PNA=90°，PDM+DPM=90°，

31、DPM+APN=90°PDM=APNPMD=ANP，APNPDM，即PN23PN+2=0，解得PN=1或PN=2P（2，1）或（2，2）13、如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴有两个交点A（x1，0）、B（x2，0），我们把|x1x2|记为d（A、B），抛物线的顶点到x轴的距离记为d（x），如果d（A，B）=d（x），那么把这样的抛物线叫做“正抛物线”（1）抛物线y=2x22是不是“正抛物线”；（回答“是”或“不是”）（2）若抛物线y=x2+bx（b0）是“正抛物线”，求抛物线的解析式；（3）如图，若“正抛物线”y=x2+mx（m0）与x轴相交于A、B两点，点P是抛物线

32、的顶点，则抛物线上是否存在点C，使得PAC是以PA为直角边的直角三角形？如果存在，请求出C的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线y=2x22是“正抛物线”；（2）抛物线的解析式为y=x2+4x；（3）满足条件的点C坐标为（92，94）或（52，154）【解析】（1）对于抛物线y=2x22，当y=0时，2x22=0，解得x=1或1，A（1，0），B（1，0），d（A，B）=2，dx=4acb24a=4×2×2024×2=2=2. d（x）=d（A，B），抛物线y=2x22是“正抛物线”故答案为：是（2）当y=0时，x2+bx=0，解得x=0或b，b0，d（

33、A，B）=b，由题意dx=4acb24a=4×1×0b24×1=b.解得b=0（舍弃）或b=4，抛物线的解析式为y=x2+4x （3）当y=0时，x2+mx=0，解得x=0或m，m0，d（A，B）=m， 4acb24a=m24, d（x）=m24， 由题意m=m24， 解得m=4或0（舍弃），y=x24x， 假设存在点C，使得PAC是以PA为直角边的直角三角形，分两种情形：如图1中，作ACAP交抛物线于点C，厉害PC，作PEx轴交AC于Db2a=2,4acb24a=4， AE=2，PE=4，由ADEPAE,可得DEAE=AEPE， DE2=24， DE=1，D(2,1)，直线AD的解析式为y=12x，由y=12xy=x24x解得x=0y=0或x=92y=94， C(92,94). 如图2中，作PCAP交抛物线于C，交y轴于D，连接AC，作PEx轴于E.由ADPPAE,可得ADPA=PAPE, 即PA2=ADPE， 22+42=4AD， AD=5，D(0,5)，直线AD的解析式为y=12x5，由y=12x5y=x24x,解得x=2y=4或x=52y=154， 综上所述,满足条件的点C坐标为(92,9