安徽省高考数学试卷(理科)

1、2014年安徽省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1. （5分）设i是虚数单位，片表示复数z的共腕复数.若z=1+i,则华+i?w=（）1A.-2B.-2iC.2D.2i2. （5分）20”是“ln（x+1）<0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. （5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A.34B.55C.78D.894. （5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直

2、线l的参数方程是烂1+1«为参lv=t-3数），圆C的极坐标方程是p=4cos,8则直线l被圆C截得的弦长为（）A.1B.2.41C.二D.2丁卜+y-2405. （5分）x,y满足约束条件':若z=y-ax取得最大值的最优解不唯旦工"+20一，则实数a的值为（）A.之或-1B.2或之C.2或-1D.2或16. （5分）设函数f（x）（xCR）满足f（x+兀）=f（x）+sinx.当00x<九时，f（x）=0,则f=（）6A4BC.0D.-12227. （5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A.21+三B.18+三C.21D.188. （

3、5分）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对.其中所成的角为600的共有（）A.24对B.30对C.48对D.60对9. （5分）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a的值为（）A.5或8B.-1或5C.-1或-4D.-4或810. （5分）在平面直角坐标系xOy中.已知向量W、b,|a|=|b|=1,g?E=0,点Q满足而二0（a+b）,曲线C=P|而二cos+bsinf）0<9<2注，区域Q<P|0<r0|的&R,r<R.若CPQ为两段分离的曲线，则（）A.1<r<R<3B,1<r<3<RC

4、,r<1<R<3D.1<r<3<R二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置.11. （5分）若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移小个单位，所得图象关于y轴对称，则小的最小正值是.12. （5分）数列an是等差数列，若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列，贝1q=.13. （5分）设2金0,口是大于1的自然数，（1+三）n的展开式为a0+a1x+a2x2+anxn.若a点Ai（i,a）（i=0,1,2）的位置如图所示，则a=.214. （5分）设Fi,F2分别是椭圆E:x2=1（0<b<1

5、）的左、右焦点，过点b2Fi的直线交椭圆E于A、B两点，若|AFi|二3|FiB|,AEx轴，则椭圆E的方程为.15. （5分）已知两个不相等的非零向量a,b,两组向量京，京，京，高，不和1士wT,UE,豆工豆,五均由2个a和3个b排列而成,记S=K?V+汽2?92+式3?93+%？+犯？了5，Smin表小S所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）.S有5个不同的值；若！，立则0in与|W无关；若短工则&in与|百无关；若|b|>4|1,则Smin>0；若|E|=2|,Smin=8|a|2,则；;与E的夹角为2L.4三、解答题：本大题共6小题，共

6、75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答早答题卡上的指定区域.16. (12分)设ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c,且b=3,c=1,A=2B.(I)求a的值；(H)求sin(A+2L)的值.417. (12分)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为V乙获胜的概率为各局比赛结果相互独立.(I)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(R)记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望).18. (12分)设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>

7、0.(I)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(n)当x0,1时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.19. (13分)如图，已知两条抛物线日：y2=2p1x(P1>0)和E2：y2=2p2x(P2>0),过原点。的两条直线1i和l2,1i与Ei,E2分别交于Ai、A2两点，l2与Ei、E2分别交于Bi、B2两点.(I)证明：AiBi/A2B2；(H)过O作直线l(异于1i,l2)与Ei、E2分别交于G、C2两点.记A1B1C1Si与4A2B2c2的面积分别为S|与，求令的值.S220. (13分)如图，四棱柱ABCAA1B1C1D1中，AiAL底面ABCD四边形ABCD为梯形，

8、AD/BC,且AD=2BC过Ai、C、D三点的平面记为鹏BB)与a的交点为Q.(I)证明：Q为BB的中点；(H)求此四棱柱被平面a所分成上下两部分的体积之比；(m)若AA=4,CD=Z梯形ABCD的面积为6,求平面a与底面ABCD所成二面角的大小.21. (13分)设实数c>0,整数p>1,nCN*.(I)证明：当x>-1且xw0时，(1+x)p>1+px;(H)数列4满足ai>cP,ah+i=2-ah+£an1p.证明：an>an+i>cP.pp2014年安徽省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，

9、共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1. (5分)设i是虚数单位，z表示复数z的共腕复数.若z=1+i,则字+i?w=()iA.-2B.-2iC.2D.2i【分析】把z及代入手+i?W,然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值.i【解答】vz=1+i,z=l-i,一+i?.=：1：ii(1+i)(-i).2上.1n门=1+i=l-i+l+i=2.-iJ故选：C.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题.2. (5分)20”是“ln(x+1)<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的

10、性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.【解答】解：xv0,x+1<1,当x+1>0时，ln(x+1)<0；ln(x+1)<0,.0<x+1<1,-1<x<0,x<0,V0”是In(x+1)<0的必要不充分条件.故选：B.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础.3. （5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A.34B.55C.78D.89【分析】写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的化【解答】解：第一次循环得z=2,x=1,y=2

11、;第二次循环得z=3,x=2,y=3;第三次循环得z=5,x=3,y=5;第四次循环得z=8,x=5,y=8;第五次循环得z=13,x=8,y=13;第六次循环得z=21,x=13,y=21；第七次循环得z=34,x=21,y=34;第八次循环得z=55,x=34,y=55;退出循环，输出55,故选：B.【点评】本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题.4. （5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是（vt+l«为参y=t-3数），圆C的极坐标方程是p=4co

12、s,8则直线l被圆C截得的弦长为（）A.1B.211C,二D.2丁【分析】先求出直线和圆的直角坐标方程，求出半径和弦心距，再利用弦长公式求得弦长.【解答】解：直线l的参数方程是¥计1（t为参数），化为普通方程为x-y-y=t-34=0;圆C的极坐标方程是p=4cos,8即p=4pcos,8化为直角坐标方程为x2+y2=4x,即（x-2）2+y2=4,表示以（2,0）为圆心、半径r等于2的圆.弦心距d二 弦长为2y 2=2/研=班,17页故选：D.【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题.K+y

13、-2405. (5分)x,y满足约束条件,x-2y-2<0,若z=y-ax取得最大值的最优解不唯2工=+2>0一，则实数a的值为()A.1或-1B.2或1C.2或-1D.2或122【分析】由题意作出已知条件的平面区域，将z=y-ax化为y=ax+z,z相当于直线丫=2刈2的纵截距，由几何意义可得.K+y-240【解答】解：由题意作出约束条件，丁2产-2<0,平面区域，L2x=+2>0将z=yax化为y=ax+z,z相当于直线y=ax+z的纵截距，由题意可得，y=ax+z与y=2x+2或与y=2-x平行，故a=2或-1；故选：C.【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致

14、认真，注意目标函数的几何意义是解题的关键之一，属于中档题.6. (5分)设函数f(x)(xCR)满足f(x+兀)=f(x)+sinx.当00x<九时，f(x)=0,则f(-)=()6ABC.0D.-1222【分析】利用已知条件，逐步求解表达式的值即可.【解答】解：二.函数f(x)(xR)满足f(x+九)=f(x)+sinx.当0Wx<九时，f(x)=0,.f爷)=f(冗平)66f/17H、，JI=f(7)+sin-Tb6工/lin、.n兀.17兀=f(=)+sin±J-+sinLJ-666,/5n、,-5兀，.11冗一17八=f(-7-)+sin；+sin；+sin-66

15、66=sin+sin1+sin666二一J222=x2故选：A.【点评】本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查计算能力.7. （5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A.21+三B.18+三C.21D.18【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的表面积.【解答】解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2,截去两个正三棱锥,侧棱互相垂直，侧棱长为1,几何体的表面积为S 正方体2S 棱锥侧 +2S 棱锥底=.：，二，. . . .Vs72=21+眄.故选：A.【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状.8. （5分）从正方体六个面

16、的对角线中任取两条作为一对.其中所成的角为60的共有（）A.24对B.30对C.48对D.60对【分析】利用正方体的面对角线形成的对数，减去不满足题意的对数即可得到结果.【解答】解：正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有C；/66条,同一面上的对角线不满足题意,对面的面对角线也不满足题意,一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数，不满足题意的共有：3X6=18.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对.其中所成的角为60°的共有：6618=48.故选：C.【点评】本题考查排列组合的综合应用，逆向思维是解题本题的关键.9. （5分）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值

17、为3,则实数a的值为（）A.5或8B.-1或5C.-1或-4D.-4或8【分析】分类讨论，利用f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,建立方程，即可求出实数a的值.【解答】解：上<1时，x<-,f(x)=x-1-2x-a=3x-a-1>1;222-A<x<-1,f(x)=-x-1+2x+a=x+a-1-1；22x>-1,f(x)=x+1+2x+a=3x+a+1>a2,21=3或a2=3,2a=8或a=5,a=5时，卫-1<a-2,故舍去；21时，x<-1,f(x)=-x-1-2x-a=-3x-a-1>2a；2-1<x&l

18、t;-,f(x)=x+12xa=-xa+1>一2x>-,f(x)=x+1+2x+a=3x+a+1>一2+1,22.-2-a=3或-_|+1=3,a=-1a=4,W+1；2a=-1时，-粉1<2-a,故舍去;自综上，a=-4或8.故选：D.【点评】本题主要考查了函数的值域问题.解题过程采用了分类讨论的思想，属于中档题.10.（5分）在平面直角坐标系xOy中.已知向量日、b,|可二|E|=1,£3?E=0,点Q满足OQ=V2(a+b),曲线C=(P|0P=3cos+bsin00<9<2：,区域Q<P|0Vr<|J&R,r<R.

19、若CPQ为两段分离的曲线，则（A.1<r<R<3B,1<r<3<RC,r01<R<3D,1<r<3VR【分析】不妨令彳=(1,0),b=(0,1),则P点的轨迹为单位圆，QP|(0<r&R,r<R表示的平面区域为：以Q点为圆心，内径为r,外径为R的圆环，若cn。为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，进而根据圆圆相交的充要条件得到答案.【解答】解：二.平面直角坐标系xOy中.已知向量W、b,|a|=|b|=1,a?b=0,不妨令W=(1,0),b=(0,1),则面=&(a+b)=(匹&)，0

20、P=acos+bsin8cosQsin故P点的轨迹为单位圆，QMP|(0<r0|、|WR,r<F表示的平面区域为：以Q点为圆心，内径为r,外径为R的圆环，若CPQ为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，故|OQ|-1<r<R<|OQ|+1,v|OQ|=2,故1<r<R<3,故选：A.【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中根据已知分析出P的轨迹及Q<P|(0<r0|的&R,r<R表示的平面区域，是解答的关键.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置.11. (5分)若将

21、函数f(x)=sin(2x+y)的图象向右平移小个单位，所得图象关于y轴对称，则小的最小正值是_亭_.8【分析】根据函数y=Asin(叶小)的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin(2x+-2小)，再根据所得图象关于y轴对称可得-2(|)=k+,kCz,由此求得小的最小正值.【解答】解：将函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移小个单位，所得图象对应的函数解析式为y=sin2（x-小）+=sin（2x+2L-2小）关于y44轴对称，则工2=k+2L,kCz,即-12L-2L,故小的最小正值为近，42288故答案为：22L.s【点评】本题主要考查函数y=Asin（+小）的图象

22、变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题.12. （5分）数列an是等差数列，若ai+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列，贝Uq=1.【分析】设出等差数列的公差，由ai+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列列式求出公差，则由q二化简得答案.,+1【解答】解：设等差数列an的公差为d,由ai+1,a3+3,a5+5构成等比数列,得:（叼+3）*=Q+l）（泣5+5）,整理得：a32+6a3+4=aia5+5ai+a5，即（0i+2d）2+6Q1+2d）+45Qi+4d）+5a1+a1+4d.化简得：（d+1）2=0,即d=-1.a3+3aj+2d+3a1+2乂（-1）+3,

23、+1;q=-=z=-=1.+1+1&+1&+.故答案为：1.【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题.13. （5分）设2金0,口是大于1的自然数，（1+）n的展开式为a0+a1x+a2x2+-+anxn.若a点Ai（i,向）（i=0,1,2）的位置如图所示，则a=3.【分析】求出（1d）n的展开式的通项为1臼二C5（&）k4ckJ,由图知，ao=1,aK1naa*na1=3,a2=4,列出方程组，求出a的值.【解答】解：(1+Rn的展开式的通项为T二d(三)k_ckJ，a1k+1/a上仇由图知，ao=1,ai=3,a2=4,W；二3,

24、与吟4，口a丑=3,吗、4，a2a2a-3a=0,解得a=3,故答案为：3.【点评】本题考查解决二项式的特定项问题，关键是求出展开式的通项，属于一道中档题.214. (5分)设Fi,凡分别是椭圆E:x2*=1(0<b<1)的左、右焦点，过点b2Fi的直线交椭圆E于A、B两点，若|AFi|二3|FiB|,AEx轴，则椭圆E的方程为x2+M/=1.2J【分析】求出B(-£c,-1b2),代入椭圆方程，结合1=b2+c2,即可求出椭圆01,的方程.【解答】解：由题意，F1(-c,0),F2(c,0),AF2”轴，.|AF2|=b2,.A点坐标为(c,b2),设B(x,y),则|

25、AF1|二3|FB|,(-c-c,-b2)=3(x+c,y).B(-c,-b2),代入椭圆方程可得二-1(Ab2)2In'2 一 c = c 3'V1=b2+c2b24，-v+'故答案为：x2+，=1.2y【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题.15. (5分)已知两个不相等的非零向量a,b,两组向量7；,不，不,吃,豆和1，WT,V元五5元,五均由2个彳和3个七排列而成,记S=X?¥+叼？¥?+工3?%+工4?，4+工5?%'Smin表小S所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).S有5

26、个不同的值；若IkE,则Snin与|无关；若/b,则Snin与|皆无关；若|b|>4|a|,贝USmin>0；若|g|二2|；|,Smin=8|3|2,则；与庙勺夹角为寺.【分析】依题意，可求得S有3种结果：8=$+$+铲+铲+铲，S2=$+a?b+a?b+铲+铲，S3=a?b+a?b+a?b+a?b+'jJ2,可判断错误；进一步分析有S8=S2-S3匚2+铲-2a?b>32+22|日|?|R|=(|；|-|b|)2>0,即S中最小为&再对逐一分析即可得答案.【解答】解：:x,yi(i=1,2,3,4,5)均由2个！和3个E排列而成，；S=xyi可能情况

27、有三种：$=球+3/；5与。2；?口增;S=4?本+片.S有3种结果：Si=S+/+1+/+/，&工C?E+；?%+萨+E;S3=日?Z+a?Z+a?b+君?Z+E、故错误；tt2f2tf9'S|一&=S?Sb=a+b2s?+b-2|3|?|b|=(|a|_|b|)>0,.S中最小为S3；若/E,则Snin=S3=b2,与|司无关，故正确；若Z/E,MSnin=S8=4a?b+3,与|E|有关，故错误;若|b|>4|寸|,则$in=S=4|a|?|b|cos+$>4|君|?|b|+铲>+:=0,故正确;若|b|=2|君|,Smin=S3=8|a|

28、2cos+4|2=86|jr2cos0=,10-33综上所述，命题正确的是,即！与E的夹角为工故答案为：.【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的数量积的综合应用，考查推理、分析与运算的综合应用，属于难题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答早答题卡上的指定区域.16.(12分)设ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c,且b=3,c=1,A=2B.(I)求a的值；(H)求sin(A+)的值.4【分析】(I)利用正弦定理，可得a=6cosB,再利用余弦定理，即可求a的值;(H)求出sinA,cosA,即可求sin(A弋-)

29、的值.【解答】解：(I)A=2B,1b=3,sinAsiriDa=6cosB.一ca2+l7a=6.a6a=2y3；(H)=a=6cosBcosB=,3.DVgSinB=3sinA=sin2B当反，cosA=cos2B=2co%B-1=-X3 3.sinA+-)=12l(sinA+cosA)=Jq£1_.4 26【点评】本题考查余弦定理、考查正弦定理，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题.17. (12分)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为乙获胜的概率为工，各局比赛结果相互独立.3(

30、I)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(R)记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望).【分析】(1)根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论.(2)利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X的分布列；以及均值.【解答】解：用A表示甲在4局以内(含4局)赢得比赛的是事件，Ak表示第k局甲获胜，Bk表示第k局乙获胜，则P(Ak)=|>P(Bk)=1,k=1,2,3,4,51-1,-1(I)p(A)=p(A1A2)+p(B1A2A3)+p(A1B2A3A4)=(4)2+-x(4)24><x(2)2=-3381(n)X的可能取值为2,3,4,5

31、.P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)得，J9P(XN)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)9P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)音，L'l24RP(X=5)=P(A1B2A3B4A5)+P(B1A2B3A4B5)+P(B1A2B3A4A5)+P(A1B2A3B4B5)=-7=-,24381或者P(X=5)=1-P(X=2)P(XN)P(X=4)=-,81故分布列为:X2345PE(X)=2xJ3xZ+4xUl+5XJL&l.99818181【点评】本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力.18.

32、(12分)设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.(I)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(n)当x0,1时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.【分析】(I)利用导数判断函数的单调性即可；(n)利用(I)的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在0,1时的单调性，得出取最值时的x的取值.【解答】解：(I)f(x)的定义域为(-8,+oo),f，(x)=1+a-2x-3x2,由f'(x)=0,彳SxT可巧,x2=T+乎/,x1<x2,.二由f'(x)<0得x<-174+x>-1+J4+组;33由f，(x)>0得土/叵&l

33、t;x(士巫近；331故f(x)在(-°°,1”+%)和(1+中3匕,+OO)单调递减，在(士近近士匹近)上单调递增；33(H).a>0,”<0,x2>0,x0,1,当-1+、4+法时,gpa>43当a4时，x2>1,由(I)知，f(x)在0,1上单调递增，.f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.当0<a<4时，x2<1,由(I)知，f(x)在0,刈单调递增，在%1上单调递减，因此f(x)在x=x2二畔包处取得最大值，又f(0)=1,f(1)=a,J.当0<a<1时，f(x)在x=1处取得最小值；当a=

34、1时，f(x)在x=0和x=1处取得最小值；当1<a<4时，f(x)在x=0处取得最小值.【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识，考查学生分类讨论思想的运用能力，属中档题.19. (13分)如图，已知两条抛物线Ei：y2=2p1x(p1>0)和E2：y2=2p2x(p2>0),过原点。的两条直线11和12,11与Ei,&分别交于Ai、A2两点，12与Ei、日分别交于Bi、B2两点.（I）证明：AiBi/A2B2；（II）过O作直线1（异于li,I2）与Ei、E2分别交于G、C2两点.记AiBiCi与4A2B2c2的面积分别为S|与S2,求的值.

35、s2【分析】（I）由题意设出直线1i和12的方程，然后分别和两抛物线联立求得交点坐标，得到可瓦，司弓的坐标，然后由向量共线得答案；（H）结合（I）可知AiBiCi与4A2B2c2的三边平行，进一步得到两三角形相似，由相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案.【解答】（I）证明：由题意可知，1i和12的斜率存在且不为0,设1i：y=kix,12：y=k2x.y=k1 xy =2p jKy=k1 k2y 二2PMy= k 2 工y =2p py= k 2 xy 二2P姨2P 1,解得/(T2pn ,解得品（厂2Pl1 ) ,i20页*1A1B1=2p1(jk2A2B2=2p2(-72 k2 kl2

36、 klPl1=-A2B2,AiBi/A2B2；(H)解：由(I)知AiBi/A2B2,同(I)可证BiG/B2C2,AiCi/A2C2.AiBiCiszA2B2c2,.ttSi|AiBi)2因此J二(一s2Ia2b2|Ia2b£|p2W2故旦rLSzpJ【点评】本题是直线与圆锥曲线的综合题，考查了向量共线的坐标表示，训练了三角形的相似比与面积比的关系，考查了学生的计算能力，是压轴题.20. (13分)如图，四棱柱ABCAAiBiGDi中，AA，底面ABCD四边形ABCD为梯形，AD/BC,且AD=2BC过Ai、C、D三点的平面记为鹏BB与a的交点为Q.(I)证明：Q为BB的中点；(H

37、)求此四棱柱被平面a所分成上下两部分的体积之比；(m)若AA=4,CD=Z梯形ABCD的面积为6,求平面a与底面ABCD所成二面角的大小.【分析】(I)证明平面QBC/平面AiDiDA,可得QBJAAiAD,即可证明Q为BB的中点；(R)设BC=a,则AD=2a,则Vqta口二U_*2a，h*d=4-ahd，VQ-1OS0abcd=L,"2"d''ahd,利用V棱柱二ahd,即可求出此四棱柱被平面a所分成32242上、下两部分的体积之比；(m)4ADC中，作A已DC,垂足为E,连接AiE,WJDEL平面AEA,DE1A1E,可得/AEA为平面a与底面ABCD

38、所成二面角，求出Sadc=4,AE=4可得tanAA/AEA十a=i，即可求平面a与底面ABCD所成二面角的大小.AE【解答】(I)证明：:四棱柱ABCD-AiBiCiDi中，四边形ABCD为梯形，AD/BC,平面QBC/平面AiDiDA,平面AiCD与面QBC.平面AiDiDA的交线平行，.二QCAiD.QBgAiAD,.二股BBiAAAD2.Q为BB的中点；(H)解：连接QA,QD,设AAi=h,梯形ABCD的高为d,四棱柱被平面a所分成上、下两部分的体积为Vi,V2,设BC=a,则AD=2a,v_AAD=y=yahd，Vqabcd='=ahd,7V2=yyahd,XEi=V棱柱=lahd,2Vi=ahd,12一.四棱柱被平面a所分成上、下两部分的体积之比?；7