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1、第3章 随机过程3.1 随机过程的根本概念3.2 平稳随机过程3.3 高斯随机过程3.4 平稳随机过程经过线性系统3.5 窄带随机过程3.6 正弦波加窄带高斯过程3.7 高斯白噪声和带限白噪声第第3 3章章 随机过程随机过程第3章 随机过程3.1.1 随机过程随机过程从数学的角度,随机过程从数学的角度,随机过程(t)的定义如下:设的定义如下:设随机实验随机实验E的能够结果为的能够结果为(t),实验的样本空间,实验的样本空间S为为x1(t), x2(t), , xi(t), ,i为正整数,为正整数,xi(t)为第为第i个个样本函数样本函数(又称为实现又称为实现),每次实验之后,每次实验之后,(t

2、)取空间取空间S中的某一样本函数,于是称此中的某一样本函数,于是称此(t)为随机函数。当为随机函数。当t代表时间量时,称此代表时间量时,称此(t)为随机过程,如图为随机过程,如图3-1所示。所示。 3.1 3.1 随机过程的根本概念随机过程的根本概念第3章 随机过程图3-1 随机过程的样本函数第3章 随机过程3.1.2 随机过程的统计特性随机过程的统计特性随机过程的统计特性是经过它的概率分布或数随机过程的统计特性是经过它的概率分布或数字特征加以表述的。字特征加以表述的。1. 随机过程的概率分布随机过程的概率分布设设(t)表示一个随机过程,在恣意给定的时辰表示一个随机过程,在恣意给定的时辰t1T

3、,其取值,其取值(t1)是一个一维随机变量。这个随是一个一维随机变量。这个随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数描画。我们称描画。我们称F1(x1, t1)=P(t1)x1(3-1)为随机过程为随机过程(t)的一维分布函数。假设的一维分布函数。假设F1(x1, t1)对对x1的偏导数存在,即的偏导数存在,即(3-2)1111111( , )( , )F x tf x tx第3章 随机过程对于恣意时辰t1, t2, , tnT, (t)的n维分布函数定义为Fn(x1, x2, , xn;t1, t2, , tn)=P(t1)x1, (t2)x2

4、, , (tn)xn(3-3)同理,假设存在 (3-4)1212121212( ,; , , )( ,; , , ),nnnnnnnnF x xx t ttfx xx t ttxxx第3章 随机过程2. 随机过程的数字特征分布函数或概率密度函数虽然可以较全面地描画随机过程的统计特性,但在某些场所,还需关怀随机过程的数字特征,比如随机过程的数学期望、 方差和相关函数等。在实践任务中,有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数,而用随机过程的数字特征来描画随机过程的统计特性,更简单、 直观。1) 数学期望随机过程(t)的数学期望定义为 (3-5)1( )( )( , )da tEtxf x tx第3

5、章 随机过程2) 方差随机过程(t)的方差定义为 (3-6)可见,方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程在时辰 t 对于均值a(t)的偏离程度。2222221( )( )( )( ) ( )( )( , )d( )tDtEtEtEtEtx f x txa t第3章 随机过程3) 相关函数衡量随机过程在恣意两个时辰获得的随机变量之间的统计相关特性时,常用协方差函数B(t1, t2)和相关函数R(t1, t2)来表示。协方差函数定义为 (3-7)12112211222121212( ,)( )( )( )( )( )( )( ,; ,)d dB t tEta tta txa txa tf

6、x x t tx x 第3章 随机过程式中: t1与t2是任取的两个时辰;a(t1)与a(t2)是在t1与t2时辰得到的数学期望;f2(x1, x2;t1, t2)是二维概率密度函数。相关函数定义为 (3-8)1212122121212( , )( ) ( )( ,; , )d dR t tEttx x fx x t tx x 第3章 随机过程由式(3-7)和式(3-8)可得B(t1, t2)和R(t1, t2)之间的关系:B(t1, t2)=R(t1, t2)E(t1)E(t2)=R(t1, t2)a(t1)a(t2)(3-9)假设a(t1)或a(t2)为零,那么B(t1, t2)=R(t1

7、, t2)。由以上分析可见,相关函数与选择时辰t1与t2有关,假设t2t1,且t2=t1+,即t2与t1之间的时间间隔为,那么R(t1, t2)可以表示为R(t1, t1+)。这阐明相关函数依赖于起始时辰t1及时间间隔,即相关函数是t1和的函数。第3章 随机过程上述B(t1, t2)和R(t1, t2)是衡量同一随机过程的相关程度的,因此,它们又常分别称为自协方差函数和自相关函数。对于两个或更多个随机过程,可引入互协方差函数及相互关函数。设(t)和(t)分别表示两个随机过程,那么互协方差函数定义为B(t1, t2)=E(t1)a(t1)(t2)a(t2)(3-10)而相互关函数定义为R(t1,

8、 t2)=E(t1)(t2)(3-11)第3章 随机过程3.2.1 平稳随机过程的定义平稳随机过程的定义平稳随机过程是通讯系统中占重要位置的一种平稳随机过程是通讯系统中占重要位置的一种特殊类型的随机过程。所谓平稳随机过程,是指它特殊类型的随机过程。所谓平稳随机过程,是指它的统计特性不随时间的推移而变化,即对于恣意选的统计特性不随时间的推移而变化,即对于恣意选定时辰定时辰t1, t2, , tnT和恣意正整数和恣意正整数n,以及恣意,以及恣意值值,且,且x1, x2, , xnR,随机过程,随机过程(t)的的n维概率维概率密度函数满足:密度函数满足: fn(x1, x2, , xn;t1, t2

9、, , tn)=fn(x1, x2, , xn;t1+, t2+, , tn+)(3-12)3.2 3.2 平稳随机过程平稳随机过程第3章 随机过程那么称(t)为平稳随机过程。该定义阐明,当取样点在时间轴上作恣意平移时,随机过程的一切有限维分布函数是不变的,详细到它的一维分布,那么与时间 t 无关,而二维分布只与时间间隔有关,即f1(x1, t1)=f1(x1)(3-13)f2(x1, x2;t1, t2)=f2(x1, x2;)(3-14) 因此,平稳随机过程的数字特征也变得更加简明。平稳随机过程(t)的数学期望 (3-15)1 111( )()dEtx f xxa第3章 随机过程为一常数,

10、这表示平稳随机过程的各样本函数围绕着一程度线起伏。同样,可以证明平稳随机过程的方差2(t)=2也是一常数,表示它的起伏偏离数学期望的程度也是常数。而平稳随机过程(t)的自相关函数(如式(3-16)所示)仅与时间间隔=t2t1有关,不再是t1与t2的二维函数,即 (3-16)11111221212( ,)( ) ()(,; )d d( )R t tEttx x fx xx xR 第3章 随机过程3.2.2 平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程在满足一定条件下有一个有趣而平稳随机过程在满足一定条件下有一个有趣而又非常有用的特性,称为各态历经性。这种平稳随又非常有用的特性,称

11、为各态历经性。这种平稳随机过程的数字特征机过程的数字特征(均为统计平均均为统计平均)完全可由随机过完全可由随机过程中的任一实现的数字特征程中的任一实现的数字特征(均为时间平均均为时间平均)来决议,来决议,即随机过程的数学期望可由任一实现的时间平均值即随机过程的数学期望可由任一实现的时间平均值来替代,随机过程的自相关函数也可由任一实现的来替代,随机过程的自相关函数也可由任一实现的时间相关函数来替代。也就是说,假设时间相关函数来替代。也就是说,假设x(t)是平稳是平稳随机过程随机过程(t)的恣意一个实现,它的时间均值和时的恣意一个实现,它的时间均值和时间相关函数分别为间相关函数分别为第3章 随机过

12、程(3-17) (3-18)假设平稳随机过程使下式成立:221( )( )dlimTTTax tx ttT221( )( ) ()( ) ()dlimTTTRx t x tx t x ttT( )( )aaRR第3章 随机过程3.2.3 平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度1. 自相关函数的性质自相关函数的性质设设(t)为实平稳随机过程,那么它的自相关函为实平稳随机过程,那么它的自相关函数数R()=E(t)(t+)具有以下主要性质:具有以下主要性质: (1) R(0)=E2(t)=S(t)的平均功率的平均功率(3-19) 由于平稳随机过程的总能量往往是无穷的

13、,而由于平稳随机过程的总能量往往是无穷的,而其平均功率却是有限的。其平均功率却是有限的。 (2)|R()|R(0)R()的上界的上界(3-20)这一点可由非负式这一点可由非负式E(t)(t+)20推演得到。推演得到。第3章 随机过程(3) R()=R()R()是偶函数 (3-21)这一点可由式(3-8)直接得证。(4) R()=E2(t)(t)的直流功率(3-22) 由于2( )( ) ()( )()( )limlimREttEtEtEt第3章 随机过程(5) R(0)R()=2方差,(t)的交流功率(3-23) 这一点可由定义式(3-6)直接得证。由式(3-19)、 (3-22)和式(3-2

14、3)可知,当均值为0时,R(0)=2,即(t)的平均功率等于方差。综上所述,用相关函数可以表述随机过程(t)的主要数字特征,以上自相关函数的性质具有很大的实意图义。第3章 随机过程2. 频谱特性随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。我们知道,确知信号的自相关函数与其功率谱密度之间有确定的傅里叶变换关系。那么,对于平稳随机过程,其自相关函数能否也与功率谱密度存在这种变换关系呢?我们知道,功率型的平稳随机过程中的任一实现都是一个确定的功率型信号。而对于恣意确实知功率信号f(t),设f(t)的截短函数fT(t)(如图3-2所示)的频谱函数为FT(),那么它的功率谱密度为 (3-24)2( )

15、( )limTfTFPT第3章 随机过程图3-2 功率信号f(t)及其截短函数fT(t)第3章 随机过程设随机过程(t)的某一实现之截短函数T(t)的频谱函数为FT(),那么(t)的功率谱密度P()为 (3-25)(t)的平均功率S即可表示为 (3-26)2( )( )( )limTfTE FPE PT2( )11( )dd22limTTE FSPT第3章 随机过程下面我们来推导功率谱密度与相关函数之间的关系,由于2jj2222jj2222j()2222( )1( )ed( )ed1( )ed( )ed1()ed dTTTttTTTTTTttTTTTt tTTE FEttttTTEttttTR

16、 ttt tT 第3章 随机过程利用二重积分换元法, 令=tt, 那么上式可化简为因此 (3-27) 可见,平稳随机过程(t)的自相关函数R()与其功率谱密度P()之间互为傅里叶变换关系, 即 (3-28)2j( )(1) ( )edTTTE FRTT2jj( )( )(1) ( )ed( )edlimlimTTTTTE FPRRTTjj( )( )ed1( )( )ed2PRRP第3章 随机过程简记为 (3-29)式(3-28)在平稳随机过程的实际和运用中非常重要,它是联络时域和频域分析方法的根本关系式。根据平稳随机过程的自相关函数R()的性质,很容易推出它的功率谱密度P()有如下性质:(1

17、) 非负性P()0(2) 偶函数P()=P()因此,可以定义单边功率谱密度P1()为 (3-30)( )( )RP12( )0( )00PP第3章 随机过程3.3.1 高斯随机过程的定义高斯随机过程的定义所谓高斯随机过程所谓高斯随机过程(t),是指它的恣意,是指它的恣意n维分布维分布都是正态分布,因此又称之为正态随机过程,其都是正态分布,因此又称之为正态随机过程,其n维概率密度函数为维概率密度函数为 (3-31)3.3 3.3 高斯随机过程高斯随机过程12121112212( ,; , , )11exp2(2)nnnnnjjkknjkjkjknfx xx t ttxaxaBBB 第3章 随机过

18、程式中: ak=E(tk); 2k=E(tk)ak2; |B|为归一化协方差矩阵的行列式,即|B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余子式,bjk为归一化协方差函数,且 (3-32)12121212111nnnnbbbbBbb( )( )jjkkjkjkEtatab 第3章 随机过程3.3.2 高斯随机过程的重要性质及一维分布高斯随机过程的重要性质及一维分布 1. 高斯随机过程的性质高斯随机过程的性质(1) 高斯随机过程假设是宽平稳的,那么也是高斯随机过程假设是宽平稳的,那么也是严平稳的。严平稳的。 由式由式(3-30)可以看出,高斯随机过程的可以看出,高斯随机过程的 n 维分布仅维分布仅由

19、各随机变量的数学期望、由各随机变量的数学期望、 方差和两两之间的归方差和两两之间的归一化协方差函数所决议。因此,假设高斯过程是宽一化协方差函数所决议。因此,假设高斯过程是宽平稳的,即它的均值与时间无关,协方差函数只与平稳的,即它的均值与时间无关,协方差函数只与时间间隔时间间隔有关,而与时间起点无关,那么它的有关,而与时间起点无关,那么它的 n 维分布也与时间起点无关,所以,宽平稳的高斯过维分布也与时间起点无关,所以,宽平稳的高斯过程也是严平稳的。程也是严平稳的。 第3章 随机过程(2) 假设高斯过程中的随机变量之间互不相关,那么它们也是统计独立的。 假设高斯过程中的各随机变量两两之间互不相关,

20、那么式(3-32)中,对一切jk,有bjk=0, 故式(3-31)变换为 (3-33)21212212122111221( ,; , ,)exp2(2)1exp22( , ) (, )(,)njjnnnnnjjjjnjjjjjnnxafx xx t ttxaf x tf x tf x t第3章 随机过程2. 高斯随机过程的一维分布1) 正态分布的概率密度函数高斯随机过程在任一时辰的样值是一个一维高斯随机变量,其一维概率密度函数为 (3-34)式中: a为高斯随机变量的数学期望; 2为方差。f(x)曲线如图3-3所示,称随机过程服从正态分布。221()( )exp22xaf x第3章 随机过程图

21、3-3 高斯过程的一维概率密度函数第3章 随机过程由式(3-34)和图3-3可知f(x)具有如下特性:(1) 对称性。f(x)关于直线x=a对称,即有f(a+x)=f(ax)。(2) 单调性。f(x)在区间(, a)内单调上升,在区间(a, )内单调下降,而且在x=a处,到达最大值。当x或x+时,f(x)0。max1( )2f x第3章 随机过程(3) 曲线下的面积为1。f(x)在整个区间(, +)内积分值为1,也就是说,曲线下的面积为1, 即 (4) 分布中心与集中程度。a表示分布中心,表示集中程度,f(x)曲线将随a的变化沿x轴左右平移(分布中心平移),并随的减小而变高和变窄(更加集中)。

22、当a=0,=1时,称这种正态分布为规范化的,这时有 (3-35)( )d1f x x1( )d( )d2aaf xxf xx21( )exp22xf x第3章 随机过程2) 正态分布函数当需求求高斯随机变量小于或等于恣意取值x的概率P(x)时,还要用到正态分布函数。正态分布函数是对其概率密度函数的积分,即 (3-36)这个积分可以借助一些可在数学手册上查出积分值的特殊函数来表示,普通常用的有以下几种函数:221()( )()expd22xzaF xPxz第3章 随机过程(1) 概率积分函数和q函数。概率积分函数定义为 (3-37)q函数定义为 (3-38)221( )ed2txxt221( )

23、1( )ed ,02txq xxt x 第3章 随机过程对式(3-36)进展变量代换,令新积分变量,那么,利用式(3-37)的概率积分函数,可得 (3-39)作同样的变量代换,并利用概率密度函数曲线下面积为1的特性,以及式(3-38)的q函数,可得 (3-40)zat1ddtz221( )ed()2x atxaF xt2222221()1()( )expd1expd222211ed1()2xxtx azazaF xzzxatq 第3章 随机过程综上可得, 用概率积分函数和q函数表示正态分布函数的关系式为 (3-41)( )()( )1()xaF xxaF xq 第3章 随机过程(2) 误差函数

24、和互补误差函数。误差函数定义为 (3-42) 互补误差函数定义为 (3-43)202erf( )edxtxt22erfc( )1 erf( )edtxxxt 第3章 随机过程当xa时,对式(3-35)进展变量代换,令新积分变量,那么,利用式(3-42)的误差函数,可得 (3-44)2zat1dd2tz222222222201()( )expd221()1() expdexpd222211() expd2221111 ederf()2222xaxaxax atzaF xzzazazzzazxat第3章 随机过程当xa时,作同样的变量代换,并利用概率密度函数曲线下面积为1的特性,以及式(3-43)

25、的互补误差函数,可得 (3-45)2222221()( )expd221() 1expd2211 1ed1erfc()22xxtx azaF xzzazxat 第3章 随机过程综上可得, 用误差函数和互补误差函数表示正态分布函数的关系式为 (3-46)由式(3-49)和式(3-46)可以很容易得到这些特殊函数之间的关系: (3-47)11erf(),222( )11erfc(),22xaxaF xxaxaerf( )2 ( 2 ) 11 2 ( 2 ),erfc( )22 ( 2 )2 ( 2 ),xxqxxaxxqxxa 第3章 随机过程误差函数和互补误差函数在以后分析通讯系统抗噪声性能时也

26、经常用到,为了方便以后分析,下面给出它们的主要性质。 误差函数是递增函数,它具有如下性质: erf(x)=erf(x)。 erf(0)=0,erf()=1。 互补误差函数是递减函数,它具有如下性质: erfc(x)=2erfc(x)。 erfc(0)=1,erfc()=0。 当x1时,erfc(x) 。21erfc( )exxx第3章 随机过程随机过程经过线性系统的分析,完全是建立在确知信号经过线性系统的分析原理的根底之上的。众所周知,线性系统呼应vo(t)等于输入信号vi(t)与系统单位冲激呼应h(t)的卷积,即 (3-48)3.4 3.4 平稳随机过程经过线性系统平稳随机过程经过线性系统o

27、ii( )( )* ( )( ) ()dv tv th tvh t第3章 随机过程假设,那么有Vo()=Vi()H()(3-49)假设线性系统是物理可实现的,那么 (3-50)或者 (3-51)oo( )( )v tVii( )( )v tV( )( )h tHoi( )( ) ()dtv tvh toi0( )() ( )dv tv th第3章 随机过程假设把vi(t)看做输入随机过程的一个实现,经过线性系统后,必将获得一个系统呼应vo(t),那么vo(t)可看做输出随机过程的一个实现。因此,只需输入有界且系统是物理可实现的,那么输入随机过程i(t)与输出随机过程o(t)之间必然满足 (3-

28、52)o0( )( ) ()ditht 第3章 随机过程1. 输出过程输出过程o(t)的数学期望的数学期望Eo(t)对式对式(3-52)两边取均值,有两边取均值,有根据平稳性假设,根据平稳性假设,Ei(t)=Ei(t)=a为常数,为常数,因此,上式变换为因此,上式变换为oii00( )( ) ()d( )() dEtEhthEt o0( )( )dEtah第3章 随机过程又由于令=0,可得因此,可得Eo(t)=aH(0)(3-53)j0( )( )edtHh tt0(0)( )dHh tt第3章 随机过程2. 输出过程o(t)的自相关函数Ro(t1, t1+)根据自相关函数的定义,有根据平稳性

29、假设,Ei(t1)i(t1+)=Ri(+),那么上式变换为 (3-54)o11o1o111001100( ,)( )() ( ) ()d( ) ()d ( ) ( )() () d diiiiR t tEttEhththhEtt o11io00( ,)( ) ( )()d d( )R t thhRR 第3章 随机过程3. 输出过程o(t)的功率谱密度根据随机过程的功率谱密度与其自相关函数之间的关系,即式(3-2)可得 o( )Pojj00( )( )ed dd( ) ( )()edoiPRhhR第3章 随机过程令=+,那么上式变换为 (3-55)oiijjj002*( )( )ed( )ed(

30、 )ed( )( )( )( )( )iPhhRHHPHP第3章 随机过程4. 输出过程o(t)的分布实际上,在知输入过程的分布的情况下,经过式(3-52)总可以确定输出过程的分布。从积分原理来看,式(3-52)可以表示成一个和式的极限,即 (3-56)o00( )() ()limkikkkktth第3章 随机过程3.5.1 窄带随机过程的定义窄带随机过程的定义根据上述窄带随机过程的定义,可以得到窄带根据上述窄带随机过程的定义,可以得到窄带信号的频谱如图信号的频谱如图3-4(a)所示,信号的频带宽度为所示,信号的频带宽度为f,中心频率为中心频率为fc,而且,而且ffc。用示波器察看窄带随。用示

31、波器察看窄带随机过程的一个实现的波形如图机过程的一个实现的波形如图3-4(b)所示,它是一所示,它是一个频率近似为个频率近似为fc,包络和相位缓慢变化的正弦波。,包络和相位缓慢变化的正弦波。3.5 3.5 窄带随机过程窄带随机过程第3章 随机过程图3-4 窄带信号频谱与波形第3章 随机过程 因此窄带随机过程可用下式表示: (3-57)将式(3-57)按三角函数和差化积展开,可得(t)=a(t)cos(t)coscta(t)sin(t)sinct( )( )cos( )( )0cta ttta t第3章 随机过程故窄带随机过程也可以用下式表示:(t)=c(t)coscts(t)sinct(3-5

32、8)其中c(t)=a(t)cos(t)(3-59)s(t)=a(t)sin(t)(3-60)第3章 随机过程3.5.2 同相分量和正交分量的统计特性同相分量和正交分量的统计特性1. 数学期望数学期望对式对式(3-58)两边求均值,可得两边求均值,可得E(t)=Ec(t)cosctEs(t)sinct由于知由于知(t)平稳且均值为平稳且均值为0,那么对于恣意时间,那么对于恣意时间t,都有都有E(t)=0,因此,可得,因此,可得 (3-61) 可见,零均值平稳高斯窄带随机过程的同相分可见,零均值平稳高斯窄带随机过程的同相分量和正交分量的均值也为量和正交分量的均值也为0。cs( )0( )0EtEt

33、第3章 随机过程2. 自相关函数由式(3-56)可得 (3-62)cs cc ssccscccsccccccccc( ,)( ) ()( )cos( )sin()cos()()sin()( ,)coscos()( ,)sincos()( ,)cossin()( ,)sinsin()R t tEttEttttttttRt tttRt tttRt tttRt ttt 第3章 随机过程式中由于(t)是平稳的,所以R(t, t+)=R()cs cc ssccsccsss( ,)( )()( ,)( )()( ,)( )()( ,)( )()Rt tEttRt tEttRt tEttRt tEtt 第3

34、章 随机过程假设取t=0,那么sinct=0,cosct=1,式(3-62)变换为 (3-63)这时,显然要求 (3-64)cc scc( ,)( ,)cos( ,)sinR t tRt tRt t ccc sc s( ,)( )( ,)( )Rt tRRt tR 第3章 随机过程此时,式(3-63)变换为 (3-65) 同理,假设取ct=/2,那么sinct=1,cosct=0,式(3-62)变换为 (3-66)cc scc( ,)( )cos( )sinR t tRR ss ccc( ,)( ,)cos( ,)sinR t tRt tRt t 第3章 随机过程这时,要求 (3-67)此时,

35、式(3-66)变换为 (3-68)sss cs c( ,)( )( ,)( )Rt tRRt tR ss ccc( ,)( )cos( )sinR t tRR 第3章 随机过程另外,我们从式(3-65)和式(3-68)可以看到,要使两式同时成立,那么应有 (3-69)但是,根据相互关函数的性质,应有 (3-70)综合式(3-69)和式(3-70)可得(3-71)css cc s( )( )( )( )RRRR s cc s( )()RR c sc s()( )RR 第3章 随机过程同理,可得 (3-72) 由此可见,同相分量c(t)和正交分量s(t)具有一样的自相关函数,其相互关函数和都是的奇

36、函数。因此,可得 (3-73)s cs c()( )RR cs( )( )RRs c( )R c s( )R s cc s(0)(0)0RR 第3章 随机过程将式(3-73)分别代入式(3-65)和式(3-68),可得 (3-74)即(t)、 c(t)、 s(t)具有一样的平均功率,又因它们的均值都为0,故可知它们的方差也都一样,即 (3-75)cs(0)(0)(0)RRRcs222第3章 随机过程另外,由于(t)是平稳高斯随机过程,所以(t)在恣意时辰的取值都是服从正态分布的高斯随机变量,因此,由式(3-56)可得1c112s22c( )( ),0( )( ),2tttttttt 第3章 随

37、机过程3.5.3 随机包络和相位的统计特性随机包络和相位的统计特性下面来分析随机包络下面来分析随机包络a(t)和随机相位和随机相位(t)的有的有关统计特性,即一维分布函数。关统计特性,即一维分布函数。由上节关于由上节关于c(t)和和s(t)的统计特性的分析可知,的统计特性的分析可知,c和和s的结合概率密度函数为的结合概率密度函数为 (3-76)22cscscs221(,)() ()exp22fff 第3章 随机过程假设a和的结合概率密度函数为f(a, ),那么根据概率论知识,有根据式(3-59)和式(3-60)随机变量之间的关系,可得cscs(,)(,)(,)(,)f afa cscossin

38、aa第3章 随机过程于是,可得因此,可得 (3-77)cscscscossin(,)sincos(,)aaaaaa cs2222222(,)(,)(cos)(sin) exp22 exp22f aa faaaaa 第3章 随机过程根据概率论中边沿分布知识,可求得包络a的一维概率密度函数为 (3-78)可见,包络a服从瑞利分布。22220222()(,)d expd22 exp,02f af aaaaaa第3章 随机过程同理,可求得相位的一维概率密度函数为 (3-79)上式利用了瑞利分布的性质,方括号内的积分值为1。可见,相位服从均匀分布。由式(3-77)、 式(3-78)和式(3-79)还可得

39、f(a, )=f(a)f()(3-80)02220()(,)d1 expd221 ,022ff aaaaa第3章 随机过程正弦信号加窄带高斯噪声的合成信号可以表示为 (3-81)3.6 3.6 正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程ccccscccccscccsc( )cos()( ) cos()( )cos( )sin coscossinsin( )cos( )sin cos( )cos sin( )sinr tAtn tAtn ttn ttAtAtn ttn ttAn ttAn tt第3章 随机过程令zc(t)=A cos+nc(t),zs(t)=A sin+ns(t),那么式(3-81

40、)变换为r(t)=zc(t)cosctzs(t)sinct=z(t)cosct+(t)(3-82)式中 (3-83)22cssc( )( )( ),( )0( )( )arctan,0( )2( )z tztztz tz tttz t第3章 随机过程根据3.5节的结果,假设值已给定,那么zc和zs是相互独立的高斯随机变量,而且 (3-84)式中: 2c、 2s、 2n分别为zc(t)、 zs(t)和n(t)的方差。因此,以给定相位为条件的zc与zs的结合概率密度函数为 (3-85)cs222cs( )cos( )sinnE z tAE z tA22cscs22(cos )(sin )1(,/

41、)exp22nnzAzAf z z第3章 随机过程根据式(3-82)可得合成信号r(t)的包络随机变量z和相位随机变量分别为 (3-86)于是 (3-87)22cssc,0arctan,02zzzzzzcscossinzzzz第3章 随机过程利用与3.5节类似的方法,根据式(3-86)可以求得以给定相位为条件的z与的结合概率密度函数为 (3-88)cscscscscs22cscs22(,)( ,/ )(,/ )(,/ )( , )(cos )(sin )(,/ )exp22nnzzz zzzf zf z zf z zzzzzAzAzzf z z 第3章 随机过程根据式(3-87),式(3-88

42、)变换为 (3-89)22cs22222222222 (cossin )( ,/ )exp222 ( coscossinsin ) exp222cos() exp22nnnnnnzAA zzzf zzzAA zzzzAAz 第3章 随机过程根据条件边沿分布知识,可求得以相位为条件的包络z的概率密度函数为根据零阶修正贝塞尔函数的定义:202222220( / )( ,/ )dcos() expexpd22nnnf zf zzzAAz 2001( )exp( cos )d2Ixx第3章 随机过程于是因此,可得 (3-90)202201()expcos() d2nnAzAzI220222( / )e

43、xp2nnnzzAAzf zI第3章 随机过程由上式可见,f(z/)与无关,因此正弦波加窄带高斯过程的包络概率密度函数为 (3-91)称包络z服从广义瑞利分布,也称莱斯(Rice)分布。当信噪比很小,即A0时,此时合成波中只需窄带高斯噪声,根据3.5节的知识可知,此时包络z服从瑞利分布。关于正弦波加窄带高斯噪声的合成波的相位分布f(/)比较复杂,这里就不再演算了。可以推想小信噪比,即A0时,合成波中只需窄带高斯噪声,根据3.5节的知识可知,此时相位服从均匀分布。220222( )exp,02nnnzzAAzf zIz第3章 随机过程图3-5给出了不同信噪比r=A2/(22n)(信号平均功率和窄带高斯噪声平均功率之比)时正弦波加窄带高斯噪声的f(z)和f(/)曲线。f(/)是在给出条件下画出的曲线,并不直接是f()的分布,但从f(/)可以看到合成波r(t)的相位变化的大致规律。第3章 随机过程图3-5 正弦波加窄带高斯噪声的包络和相位分布第3章 随机过程3.7.1 白噪声白噪声在通讯系统中,经常存在这样一类噪声,它的在通讯系统中,经常存在这样一类

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