二次方程实根的分布

1、称为称为“三个二次三个二次”）的关系非常密切，）的关系非常密切，一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数（简一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数（简根的分布、根的分布、渗透，使得这个渗透，使得这个“知识网络知识网络”的新题层出不穷，的新题层出不穷，它们相互联系，相互它们相互联系，相互高考的一个热点。高考的一个热点。成为近几年成为近几年联系以及二次方程的实根联系以及二次方程的实根、对这部分内容的学习，首先要明确三者对这部分内容的学习，首先要明确三者二次不等式的解集、二次不等式的解集、x轴的交点的横坐标之间的等价转换关系；轴的交点的横坐标之间的等价转换关系；图象与图象与二次函数二次函数注意

2、二次方程根的判别式、注意二次方程根的判别式、其次要其次要根与系数的关系根与系数的关系 (韦达定理韦达定理 ) 、二次函数图象及对称性、二次函数图象及对称性、运用。运用。单调性等知识的综合单调性等知识的综合 acb42aacbbx2422, 1)21(xx 取abxx2 21) 0( 02acbxax) 0( 02acbxax ,| 21xxxxx或2ab - |xx | 21xxxxy0 xx1x2y0 x)(21xx y0 x一元二次不等式的解集与一元二次方程的根以及二次函数的图象之间的关系没有实根002cbxax一元二次方程(a0)的根等式的解集一元二次不R的图象 ) 0( 2acbxax

3、y二次函数解：设x1,x2为方程的两根，则由题意可得：409 m请同学们思考一下：这种解法错在哪里？例1.关于x的方程2x2+3x-5m=0有两个小于1的实根，求 m的取值范围。错因分析：1 , 121 xx121xx0409m22321 xx12521mxx正解:设x1, x2为方程的两根，则由题意可得：01 , 011 , 12121xxxx0) 1() 1(0) 1() 1(0 4092121xxxxm012325223409 mm1409m例例1.1.关于关于x x的方程的方程2 2x x2 2+3x-5m=0+3x-5m=0有两个小于有两个小于1 1的实根，求的实根，求 m m的取值

4、范围。的取值范围。另解:用图象法,令,532)(2mxxxf则)(xf为开口向上,对称轴为43x的抛物线,它的图象如右图所示:0) 1 ( 0 409 fm1409m0532409mm例例1.1.关于关于x x的方程的方程2 2x x2 2+3x-5m=0+3x-5m=0有两个小于有两个小于1 1的实根，求的实根，求 m m的取值范围。的取值范围。0 xy1x1x2. , )0( 0 2称为一元二次方程的方程形如acbxax一元二次方程根的分布的基本原理是：设函数, ) 0( 2acbxaxy若对区间 m, n 有f (m)0, f (n)0, 则曲线必与 x 轴相交（至少有一交点，且交点必在

5、 m, n 上）。则其实根的分布与对应,2图象cbxaxy其等价不等式组的关系是：21, xx是实系数二次方程) 0( 02acbxax的两个实根),(21xx 设构造函数) 0( )(2acbxaxxf 两实根都小于k0)(20 kfakaby0 xkx1x20 xyx1x2kkxx21 即kx1x2x1x2kkk 两实根都大于k0)(20kfakaby0 xx1x2ky0 xx1x2k21 xxk即 两实根在区间内 ),(21kk0)(0)(202121kfakfakabky0 xx1x21k2ky0 xx1x21k2k2211 kxxk即 两个实根满足)( ,212211kkkxkx且y

6、0 xx1x21k2ky0 xx1x21k2k2211 xkkx即0)2(0)1(2210 kfakfakabk 两个实根有且仅有一根在区间内 ),(21kk0)2()1( kfkfyx1x20 x1k2kyx1x20 x1k2kyx1x20 x1k2kyx1x20 x1k2k例实数m为何值时，方程7x2-(m+13)x-m-2=0的两个实根. 210,2121xxxx满足解：, 2)13(7)(2mxmxxf令, )(的图象如右图作出xfy0 x12由二次方程实根的分布可得：0)2(0)1 (0)0(fff02)13(22802)13(702mmmmm24m课堂练习：课堂练习： 如果方程如果

7、方程x2+2(a+3)x+(2a-3)=0的两个实根中，一个大的两个实根中，一个大 于于3，另一个小于，另一个小于3,求实数求实数a的取值范围。的取值范围。解：, ) 32() 3( 2)(2axaxxf令由题意可得，相应二次函数的图象大致如右图所示：0)3(f即03a3ay0 x3x1x2课堂练习：课堂练习：若方程若方程8x2+(m+1)x+m-7=0有两个负根，求有两个负根，求m的取值范围。的取值范围。提示：, 7) 1(8)(2mxmxxf令01610)0(0mf由题意得到等价不等式组：解该不等式组。小结：1、适用范围：含有参数的一元二次方程。2、考虑要素：、对称轴、)(ikfa3、解题步骤：构造相应的二次函数。分析题意，列出等价的不等式组。解此不等式组。作业：关于关于x的方程的方程x