二次函数的最大值和最小值

1、二次函数二次函数:cbxaxy 2( a 0 ) xa(2)2ababac442 xabac442 ab2 a0a00yx0yabx2 函数的最大值和最小值的概念函数的最大值和最小值的概念记作记作ymin=f(x0 )如果不等式如果不等式f(x) f(x0 ),对于定义域内任意对于定义域内任意x都成立，都成立，那么那么f(x0 )叫做函数叫做函数y=f(x0 )的最大值。的最大值。记作记作ymax=f(x0 )对于定义域内任意对于定义域内任意x都成立，都成立， 那么那么f(x0 )叫做函数叫做函数y=f(x0 )的最小值。的最小值。如果不等式如果不等式f(x) f(x0 )设函数设函数f(x)

2、在在x0处的函数值是处的函数值是f(x0)，例例1、求下列二次函数的最大值或最小值、求下列二次函数的最大值或最小值32) 1 (2 xxyxxy42)2(2 x0y解：解：xy( 2)1 4 x0y解：解：22)1(2 xy当当 x=1时，时，2min y4max yx=1x=114Rx Rx 1-2当当x=1时，时，例例2、求下列函数的最大值与最小值、求下列函数的最大值与最小值) 13(23)1(2 xxyx492)23(2 xy414)23(2 x 1,323 时时当当23 x时时当当1 x231max y2 x0y解：解：-3123 x414min y解：解：6)5(512 xy1,35

3、 函数函数 y = f(x) 在在-3，1上为减函数上为减函数时时当当3 x526max y时时当当1 x56min y0 xy 1,31251)2(2 xxxy5 x1-32,11221)3(2 xxxy3)2(212 xy解：解：2,12 函数函数 y = f(x)在在-1，2上为增函数上为增函数x0y时时当当1 x25min y时时当当2 x5max y-122 x计算闭区间端点的函数值，并比较大小。计算闭区间端点的函数值，并比较大小。2、 判断顶点的横坐标是否在闭区间内。判断顶点的横坐标是否在闭区间内。3、1、 配方，求二次函数的顶点坐标。配方，求二次函数的顶点坐标。例例3：上上的的最

4、最大大值值与与最最小小值值在在区区间间求求函函数数1,1)(32 Raaxxy解：解：32 axxy43)2(22aax 2ax 对对称称轴轴为为时时即即当当212)1( aa上单调递增上单调递增，在在1132 axxy时时当当1 xay 4min时时当当1 xay 4maxxy0-112ax 时时当当2ax 432minay 时时当当1 xay 4max时时当当1 xay 4max上上单单调调递递减减在在1,132 axxy时时当当1 xay 4max时时当当1 xay 4minx0y1-1x0y-11x0y-11121)2( a当当22 a即即120 a021 a时时即即20 a时时即即0

5、2 a12)3( a当当时时即即2 a例例4:和和最最小小值值上上的的最最大大值值在在求求函函数数1,322 ttxxy解解:2)1(3222 xxxy1 x对对称称轴轴时时即即当当011)1( tt上单调递减上单调递减在在 1,322 ttxxy时时当当tx 322max ttyx0y1tt+1当当x=t+1时时ymin=t2+2时时当当1 x2min y22max tyx0ytt+1时时即即当当10111)2( ttt时时即即当当21121 tt1,1 tt时时即即当当21121 tt时时当当tx 322max tty时时当当1 txx0yt t+1时时当当1)4( t上单调递增上单调递增在在1,322 ttxxy22max ty当当x=t时时ymin=t2-2t+3当当x=t+1 时时x0y1t t+1小结小结1、定义域为、定义域为R的二次函数的最大值和最小值的二次函数的最大