数学建模入门练习题北京石油化工学院

1、数学建模入门练习题练习题1：发现新大陆！发现新大陆！人人都能做到，可是最终哥伦布做到了。为什么哥伦布能做到呢？(参考答案： 有兴趣、能想到、去做了、坚持到底。) 答：哥伦布对待有想别人所不敢想，做别人所不敢做的这种能力。练习题2：棋盘问题有一种棋盘有64个方格，去掉对角的两个格后剩下62个格（如下图），给你31块骨牌，每块是两个格的大小。问能否用这些骨牌盖住这62个方格？答：不能。对剪掉对角格以后的棋盘进行黑白涂色(相邻的涂不同的颜色,就好像国际象棋棋盘一样).这样,由于剪掉的两格恰好是同色的(你可以自己验证下),因此剩下的黑格和白格不等,但是每个骨牌必然同时覆盖一黑一白两个格子(相邻的嘛.)

2、,因此无法完全覆盖练习题3：硬币游戏如果你和你的对手准备依次轮流地将硬币放在一个长方形桌子上，使得这些硬币不重叠。最后放上硬币的人为胜者，在开始时你有权决定先放还是后放。为了能赢得这场比赛，你决定先放还是后放呢？答：首先将硬币放在长方形桌子的中心，然后根据对手所放 的硬币，找一桌子中心为对称中心的位置，直至对方没有地方放硬币为止，由长方形的对称 性，只有中心不存在对称位置，故先放者必定会赢。练习题4：高速问题 一个人从 A 地出发，以每小时30公里的速度到达 B 地，问他从 B 地回到 A 地的速度要达到多少？才能使得往返路程的平均速度达到每小时60公里？答：模型假设：设 AB 相距 S，B

3、到 A 的速度为 v，往返平均速度为 v 模型建立：A 到 B 的时间为 t1=s/30,B 到 A 的时间为 t2=s/v 往返总时间为 t1+t2=s/30+s/v 平均速度为 v=2s/t1+t2=2s/(s/30+s/v) 模型求解：令 v=60,分析得，只有 v 趋于无穷大时，才能使 v的极限值等于 60练习题5：登山问题某人上午八点从山下的营地出发，沿着一条山间小路登山，下午五点到达山顶；次日上午八点又从山顶开始下山（沿同一条小路）返回，下午五点又到达了山下的营地。问：是否能找到一个地点来回时刻是相同的？答：假如我们换一种想法，把第二天的返回改成另一个人在同一时间由山顶开始下山，

4、并且也在下午五点到达山下，这样，只要两人在途中相遇，该地点就是上山下山来回时刻相 同的地点。练习题6：兄弟三人戴帽子问题 解放前，在一个村子里住着聪明的三兄弟，他们除恶杀了财主的儿子，犯了人命案。县太爷有意想免他们一死，决意出一个难题测测他们是否真的聪明，如果他们能在一个时辰内回答出来，就免他们一死，否则就被处死。题目如下： 兄弟三人站成一路纵队(老三选择了站在最前面，他后面是老二，老大站在了最后面 )，并分别被蒙住了眼睛，县太爷说我这里有两顶黑帽子和三顶红帽子，接着分别给他们头上各带了一顶帽子，然后又分别把被蒙住的眼睛解开。此时，老大只可以看见老三和老二头上的帽子,老二只可以看见老三头上的帽

5、子，老三看不见帽子。 只有一个时辰的时间，看谁能说出自己头上帽子的颜色，第一句声音有效。现在开始！ (县太爷有多少种带帽子的方案，那一种最难？你能回答吗？)答：（1）7种。 （2）首先肯定是老大猜，因为他能看到老二老三的帽子颜色，如果老二老三帽子都是黑的，那么老大马上就能判断自己帽子是红的，这就是1红2黑的3种中的一种情况。共1种，这种情况最简单。但是万一老大猜不出来呢？那就是老二老三帽子要么1黑1红， 要么2红，这个时候，该让老二猜了，如果老二看到老三的帽子是黑的，他马上就可以猜到自己帽子是红的。（因为老大不能猜出来，则肯定老二老三的帽子1红1黑或2红）如果让老二猜，并且猜出来，这是较难的戴

6、帽方法，包括2红1黑3种中的一种，1红2黑3种中的一种。共2种，这2种较难。但是万一老二也猜不出来呢？那就是老三的帽子是红的，老二不能猜出来，老三要经过老大老二都不能猜出来分析来判断自己的帽子是红的。包括3红情况下的1种，2红1黑3种情况下中的2种，1红2黑3种情况中的一种，共4种。这4种是最难的。练习题7：做出空间图形做出由曲面与相交的空间曲线和所围成的立体的图形。练习题8：之事，知多少？关于圆周率的事，你们知道多少？答：实际上=C/2R， 式中圆的周长 C 是可以用圆内接正多边形的周长 Pn 来近似代替的， 当圆内接正 n 边行的边数不断地成倍增大时，它的周长 Pn 就不断地增大，并且越来

7、越接近 圆的周长 C，于是 Pn/2R 的值就越来越接近 C/2R 的值。练习题9：身高和年龄的关系你不认为“身高和年龄之间有关系吗？”请你们三个人分别按照每人从出生到现在每年的身高和对应的年龄记录下来（在你本人的宝宝成长纪念册中），制成表（注明：男生、女生，籍贯），然后分别找到它们之间的关系，用数学（函数和图形）的方法表示出来。答： 年龄身高（赵天乐）身高（陈广芮）身高（王静）1707573282838439392934979596510099996108105101711611210581201191099134129118101381351231114113913412145144139

8、1314814614214153151147151571561521615815815417159159155181601601561916216115720164163158籍贯黑龙江北京江苏由图意得y=35.377ln(x)+67.59练习题10：过三峡大坝请你说明船舶是如何从上游通过长江三峡大坝去下游的，又是如何从下游通过长江三峡大坝去上游的。 换句话说，船舶是如何通过长江三峡大坝的。答： 上下游各有一个闸门，中间形成一个闭合河道 AB 上游到下游，打开上游的闸门，使得 AB 段与上游的水位一样，船舶驶入，后关上上游闸门，打开下游闸门，使得 AB 段与下游水位一样，驶出，进入下游。 下游

9、到上游，关闭闸门顺序相反。练习题11：你如何解释？首都博物馆里有一个展品是一个出土的石盒子容器（见下图），它的外侧表面的石刻画中，有一个佛的头像是一个方形的洞，这如何解释呢？答：仔细看那几个佛像的头部，好像和身体并不是一体雕刻成的，也就是说头部是单独雕刻然后安装上去的，那么这个洞就是安装佛头用的，现在这个佛头丢失了，就露出了这个洞。如果把其它几个佛像(特别是头部后面带圆圈的那几个佛像)的头也去悼，后面很可能也会有洞。练习题12：海盗分金币有五个海盗在海上抢得了100枚金币，上岸后他们要分赃。 他们五个人排了个顺序，第一个人先制定一个分配方案，如果第一个人的方案被通过并执行，此次分金币的事结束，

10、如果第一个人的方案被否决，把第一个人杀掉。 100枚金币由其余的四个人分，再由第二个人制定一个分配方案，依次类推，直到金币被分完。 请你替第一个人制定一个合适的分配方案。（注：分配方案被通过是指同意的人数大于反对的人数，否则方案被否决。）答：假设对这五个海盗编号为1,2,3,4,5如果只剩下4,5两个海盗，那么不论4号如何分配,5号都可以说不同意,那么4号的下场是死,5号的结果是获得金币。因此如果还剩下3,4,5三个海盗。那么不论3号如何分配，4号只能同意，因为保命要紧(他们都是理智的),这样3号可以提出的分配原则是(100,0,0)。不论5号是否同意，3，4号都会赞成。最终少数服从多数，结果

11、便是3号得100金币,4,5号没有金币。如果还剩下2,3,4,5四个海盗,2号可以提出的分配原则是(98,0,1,1),这样3号肯定不同意，但是4,5号却会同意,因为与前面的方案相比,4号和5号都能获得一个金币,这总比没有金币强，因此4,5号也一定会同意，这样一来，结果便是2号得98个金币,3号没有金币,4号和5号一人一个金币。如果是1,2,3,4,5五个海盗,1号可以提出得分配原则是(97,0,1,0,2)或者是(97,0,1,2,0)这样2号肯定不同意,3号不得不同意,因为3号不同意,那么等到下一轮他就没有金币了。至于4号和5号,只要给其中一个人两个金币,那么他(4或者5)便得到了比前一个

12、方案更多的甜头。那么他们中的一个必然同意,而另一个必然反对，最后是三个人同意,两个人反对，使得此方案通过，因此最终的分配方法是(97,0,1,2,0)或者是(97,0,1,0,2)。练习题13：学会管理工作你的公司需要确定五名员工值一个月（30天）的班，每天只需要安排这五名员工中的二名值班。请你们安排一个公平、合理、科学的值班表。答：30天可以分成6组，每5天一组，这样循环值班。每轮值班情况如下：将5个人假设为 A,B,C,D,E。天数 值班安排1（A,B）2(C,D)3(E,A) 4(B,C)5(D,E) 注：员工顺序可以调换，但是还是每5天保证2天班。这样每个员工在五天内都可以值两天班，这

13、样公平，合理又科学。练习题14：身高和鞋码的关系你不认为“身高和鞋码之间有关系吗？”请把你们三个班同学的身高和对应的鞋码记录下来，制成表（男生、女生分开），然后分别找到它们之间的关系，用数学（函数和图形）的方法表示出来。答：如下所示： 表格：男生身高鞋码女生身高鞋码11704011603521643921633731754231573641784241583651704251653961814661684071794571603881764281784191834791633510176421016238111854711160371218548121613613176481316538141

14、78481415636151914915155351619248161533517178451716237181754018160371916839191613820175402015636211784821155352218548221533523176482317038241904924167372517839251693826182432617239函数：男生身高与鞋码关系女生身高与鞋码的关系对数 (男生身高与鞋码的关系) 对数 (女生身高与鞋码的关系) 根据我们的观察，我们认为鞋码和身高之间是一种简单的对数函数的关系， 即鞋码与身高满足： f(x)=m*lnx+n 其中 f(x)表示鞋

15、码（号），x 表示身高（cm），m 与n 是两个参数。 从我们三个的数据计算可得，m=44.95，n=-188.87。 因此可得，鞋码与身高的函数关系为： y=44.95*lnx-188.87 以上的函数是对于男生而言的，对于女生，由数据可知女生的鞋码普遍比男生小23 码，因此女生的函数关系为 y=44.95*lnx-190.87练习题15：近几年北京市空气质量好多了!你不认为“近几年北京市空气质量好多了吗？”请你们寻找近几年北京市空气质量的数据，并用得到的数据找出年份和对应的蓝天数之间的关系，用数学模型的方法表示出来。再用你们建立的数学模型预测今年、明年北京市空气质量(主要指蓝天数)。再用你

16、们建立的数学模型预测一下，到那年北京市空气质量全达标(主要指蓝天数等于全年的天数)。答：数据如下：年份空气质量指数20022122003234200424320052572006259200726520082752009282直接由图得出在一定范围内，对应的年份与蓝天数的关系： 蓝天数 y 与年份 x 的关系为：y = 2E-29e0.0356x练习题16：为什么要更改名字？我校为了庆祝建校30周年，在校园内立了几个雕塑，其中一个（见下图）刚立时名字叫“麦比乌斯环”，可是过了一段时间后就把名字改了，为什么要更改名字呢？答：麦比乌斯环有三个特征： 一、麦比乌斯环只存在一个面。 二、如果沿着麦比乌

17、斯环的中间剪开，将会形成一个比原来的麦比乌斯环空间大一倍的、具有正反两个面 的环，而不是形成两个麦比乌斯环或两个其它形式的环。 三、生成的所有的环都将套在一起，永远无法分开、永远也不可能与其它的环不发生联系而独立存在，与图中雕塑不符，故要换名。练习题17：学习查资料请你们查找历年全国大学生数学建模竞赛的题目并制成一张表。请你们查找历年参加全国大学生数学建模竞赛的学校数和队数并制成一张表。请你们查找我校历年参加全国大学生数学建模竞赛的队数和获奖情况并制成一张表。答：（1）（2）（3） 2001 年北京大学生数学建模与计算机应用竞赛（暨 2001 年全国大学生数学建模竞赛）获奖情况如下：北京市一等

18、奖一个队：队员（阎晓华、范晚枝、时培建），指导教师（吴春霞）；北京市二等奖一个队：队员（张 余、蒋春梅、王 爽），指导教师（吴春霞）。2002 年北京大学生数学建模与计算机应用竞赛（暨 2002 年全国大学生数学建模竞赛）获奖情况如下：北京市一等奖两个队：队员（孙致平、李彦隆、张翠英），指导教师（吴国民）；队员（张 余、蒋春梅、王 爽），指导教师（吴春霞）。北京市二等奖两个队：队员（韩 军、刘 克、陈彦晴），指导教师（吴国民）；队员（阎晓华、范晚枝、丁文辉），指导教师（吴国民）。2003 年北京大学生数学建模与计算机应用竞赛（暨 2003 年全国大学生数学建模竞赛）获奖情况如下：国家一等奖一个

19、队：队员（孙致平、谭芳、张翠英），指导教师（吴春霞）；国家二等奖一个队：队员（时培建、徐多林、水声建），指导教师（吴国民）。练习题18：典型的数学建模例子请你们阐述一下数学模型的概念，并提供一个在你们的专业课学习中遇到的“典型的数学建模例子”。答：概念：根据对研究对象所观察到的现象及实践经验，归结成的一套反映其内部因素 数量关系的数学公式、逻辑准则和具体算法。用以描述和研究客观现象的运动规律。 典型例子：如图，用一水平力 F 使质量为 m 的物体静止于倾角为的斜面，已知斜面 对物体的最大静摩擦力为他们接触面间压力的倍，求水平力 F 的大小。 分析：物体恰向上滑，受力如图 b，恰向下滑，受力如图

20、 c, 不论向上还是向下，物体与斜 面间的压力都为 N=mgcos+Fsin 要想物体不上滑：Fcos mgsin 求解：Fmg 练习题19：椅子能在不平的地面上放稳吗？考虑椅子的四脚呈长方形的情形。答： 记四边形四顶点为 ABCD,对角线交点为 O,当凳子放在地面时最少有三只脚与地面接 触,以 O 为转轴,AC 初始位置为极轴,当 AC 转过 角时,记 A,C 两点与地面距离之和为 f(),BD 两点与地面距离之和 g(),由于任意位置都有三只脚与地面接触,所以总有 f()*g()=0,记 F()=f()-g(),显然 F()是连续的,对于初始位置,不妨设 f(0)=0,g(0)0,那么 F

21、(0)=-g(0).当凳子从 D 点转到 A 点时,由对称性知 g()=f(0)=0,所 以 f()0,那么 F()=f()0 所以 F()*F(0)=-g(0)*f()0,由连续函数介值定理知在0,上最少有一点使得 F(x)=0,即 f(x)=g(x)=0,所以长方形凳子总能放稳。练习题20：商人们怎样安全过河？四名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全渡河呢?答： 我们设商人为A,从人为B，则，由题意可知： 我们假设第一次为A+B 模式过河，到达

22、对岸以后，A 下船，B 返回；第二次为 B+B 模式过河，到达对岸以后，一个B 下船，另一个B 返回；第三次为A+B 模式过河，到达对岸以后，A 下船，B 返回；第四次为B+B 模式过河，到达对岸以后，其中一个B 下船，另一个 B 则返回；第五次为 A+B 模式过河，到达对岸以后，A 下船，B 返回；至此，前五次均能安全渡河，到第六次时，无论选择那种模式渡河都会致使还未渡河的随从比商人多，则导致不能安全渡河，所以商人们不能安全渡河。 即当m3 时， m 名商人带着m 个随从无法安全渡河。 练习题21：学习检验问题在第三章（初等模型）第三节（划艇比赛的成绩）中利用最小二乘法和表中各种艇的平均成绩

23、检验公式，要求小数点后保留四位。答：由物理知识可知,桨手输出的功完全用于划艇克服阻力产生定常的速度:n P = k4 F v由假设得到:k1 n W = k4 k2 S v3于是得到速度模型:v = k9 (nW/S)1/3由阿基米德原理可知划艇排水的体积 V 与载人艇的总重量呈正比,V = k5(U+nW) = nk5(k3+W) = k6n浸没面积与排水体积关系为 S=k7V2/3=k8n2/3代入速度模型,得到速度对人数的依赖关系: v=k9(nW/n2/3)1/3=k10n1/9最后得到比赛成绩对人数的依赖关系:T=D/v=k n-1/9计算划艇的四次成绩:种类 成绩(划 2000 米

24、时间(分) 平均单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.215双人 6.87 6.94 6.95 6.77 6.8775四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.34八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.835根据这些数据,利用最小二乘法拟合可得t= 7.29 n-0.104.练习题22：设效用函数为根据(第四章微分法建模，第六节消费者的选择)(2)式求最优比例,使效用函数 达到最大。答： 练习题23：航天飞机的水箱的设计考虑航天飞机上固定在飞机墙上供宇航员使用的水箱。水箱的形状为在直圆锥顶上装一个球体(像冰激凌的形状，如图)。如果球体的半径限定为正好英尺，设计的

25、水箱表面积为平方英尺，为直圆锥的高，为球冠的高，请确定、的尺寸，使水箱容积最大。答：由题意，建立模型：我们定义如下变量 Vc=锥顶的体积，等于 Vc=(2rx1x2-x1(x2)2)pi/3Vs=被锥所截后球体部分的体积，等于 Vs=(4r3 十(x2)3-3(x2)2r)pi/3Vw=Vc 十 Vs:水箱的体积 Vw=Vc 十 Vs=(4r3+(x2)3-3r(x2)2+2rx1x2-x1(x2)2)pi/3Sc=锥的表面积，等于 Sc=pi(2rx2-(x2)2+(x1)2)(2rx2-(x2)2)(1/2)Sc=被锥所截后球体部分的表面积，等于 Sc=4xr2 一 2pirx2St=Sc+Ss:水箱的表面积 St=4xr2-2pix2+pi(