高等数学复习资料全

1、 .wd.?高等数学?课程复习资料一、填空题：1.设，那么函数的图形关于对称。2.假设，那么.3.极限。4.，那么,。5.时，与是等价无穷小，那么常数=6.设，其中可微，那么=。7.设，其中由确定的隐函数，那么。8.设具有二阶连续导数，那么。9.函数的可能极值点为和。10.设那么。11.12.。13.假设，那么 。14.设：，那么由估值不等式得15.设由围成，那么在直角坐标系下的两种积分次序为和 。16.设为，那么的极坐标形式的二次积分为。17.设级数收敛，那么常数的最大取值范围是。18. 。19.方程的通解为。20微分方程的通解为。21.当n= 时，方程为一阶线性微分方程。22.假设阶矩阵的

2、行列式为是的伴随矩阵,那么。23.设A与B均可逆，那么C=也可逆，且。24.设，且，那么X =。25.矩阵的秩为。26.向量,其内积为。27.n阶方阵A的列向量组线性无关的充要条件是。28.给定向量组，假设线性相关，那么a，b满足关系式。29.向量组()与由向量组()可相互线性表示，那么r()与r()之间向量个数的大小关系是 。30.向量=(2,1)T可以用=(0,1)T与=(1,3)T线性表示为。31.方程组Ax=0有非零解是非齐次方程组AB=b有无穷组解的条件。32.设A为m×n矩阵,非齐次线性方程组b有唯一解的充要条件是r(A)r(A|b)=。33.元线性方程组有解，且，那么该

3、方程组的一般解中自由未知量的个数为。34.设是方阵A的一个特征值，那么齐次线性方程组的都是A的属于的特征向量。35.假设3阶矩阵A的特征值为1，2，-3，那么的特征值为。36.设A是n阶方阵，|A|0,为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵，假设A有特征值,那么必有特征值=。37.a，b分别为实对称矩阵A的两个不同特征值所对应的特征向量,那么a与b的内积a,b= 。38.二次型的秩为。39.矩阵为正定矩阵,那么的取值范围是。40.二次型是正定的,那么的取值范围是。41.A、B、C代表三事件，事件“A、B、C至少有二个发生可表示为。42.事件A、B相互独立，且知那么。43.假设随机事件A和B都不发生的

4、概率为p，那么A和B至少有一个发生的概率为。44.在一样条件下，对目标独立地进展5次射击，如果每次射击命中率为0.6，那么击中目标k次的概率为()。45.设随机变量X服从泊松分布，且，那么=。46.设随机变量X的分布密度为，那么= 。47.假设二维随机变量X，Y的联合分布律为：YX1211/163/162b且X，Y相互独立，那么常数 = ,b = 。48.设X的分布密度为，那么的分布密度为。49.二维随机变量X，Y的联合分布律为：YX1210.220.3那么与应满足的条件是，当X，Y相互独立时， 。50.设随机变量X与Y相互独立，且。令Z=-Y+2X+3，那么=。51.随机变量X的数学期望.令

5、Y2X3，那么=。二、单项选择题：1.设，那么= A.x B.x + 1 C.x + 2 D.x + 32.以下函数中，不是根本初等函数。 A. B. C. D.3.以下各对函数中，中的两个函数相等。 A.与 B.与C.与 D.与4.设在处连续，那么有 A.在处一定没有意义；B.; (即)；C.不存在，或；D.假设在处有定义，那么时，不是无穷小5.函数在x = 0处连续，那么k = A.-2 B.-1 C.1 D.2 6.假设，为无穷连续点，为可去连续点，那么 A.1 B.0 C.e D.e-17.函数的定义域为 A. B. C. D.8.二重极限 A.等于0 B.等于1 C.等于 D.不存在

6、9.利用变量替换，一定可以把方程化为新的方程 A.B.C.D.10假设，在内那么在内 A. B.C. D.11.设的某个邻域内连续,且,那么在点处 A.不可导 B.可导,且 C.取得极大值 D.取得极小值12.设函数是大于零的可导函数，且，那么当时，有 A. B.C. D.13. A. B.C. D.14.设上具有连续导数，且，那么 A.2 B.1 C.-1 D.-215.设上二阶可导，且。记，那么有 A. B. C. D.16.设幂级数在处收敛，那么此级数在处 A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.收敛性不能确定17.以下命题中,正确的选项是 A.假设级数的一般项有那么有B.假设正项级数

7、满足发散C.假设正项级数收敛，那么D.假设幂级数的收敛半径为，那么。18.设级数收敛，那么级数 A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不确定19.微分方程的通解是 A. B.C. D.20.设满足微分方程，假设，那么函数在点 A.取极大值 B.取极小值 C.附近单调增加 D.附近单调减少.21.函数在点处的增量满足且，那么D A. B. C. D.22.假设含有s个向量的向量组线性相关，且该向量组的秩为r，那么必有 A.r=s B.r>s C.r=s+1 D.r<s23.向量组线性相关,那么= A. B. C. D.24.向量组线性相关的充分必要条件是 A.中含有零向量B

8、.中有两个向量的对应分量成比例C.中每一个向量都可由其余个向量线性表示D.中至少有一个向量可由其余个向量线性表示25.对于向量组，因为，所以是 A.全为零向量 B.线性相关 C.线性无关 D.任意26.设A，B均为n阶矩阵，且AB=O，那么必有 A.A=O或B=O B.|A|=0或|B|=0 C.A+B=O D.|A|+|B|=027.假设非齐次线性方程组Am×n X = b的( )，那么该方程组无解 A.秩(A) n B.秩(A)m C.秩(A¹秩() D.秩(A=秩()28.假设线性方程组的增广矩阵为，那么当( )时线性方程组有无穷多解。 A.1 B.4 C.2 D.2

9、9.设=2是非奇异矩阵A的特征值,那么有一个特征值是 A. B. C. D.30.假设二次型正定，那么 A. B. C. D.31.是矩阵的特征向量,那么= A.1或2 B.-1或-2 C.1或-2 D.-1或232.在随机事件A，B，C中，A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表示为 A. B. C. D.33.袋中有5个黑球，3个白球，大小一样，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为 A. B. C. D.34.设A、B互为对立事件，且那么以下各式中错误的选项是 A. B. C. D.35.离散型随机变量X的分布列为P X = k =, k = 1,2,3,4.那么

10、A.0.05 B.0.1 C.0.2 D.0.2536.设随机变量X的分布函数为那么= A. B. C. D.37.设随机变量X服从，的值 A.随增大而减小 B.随增大而增大 C.随增大而不变 D.随减少而增大.38.设随机变量，那么服从 A. B. C. D.39.对目标进展3次独立射击，每次射击的命中率一样，如果击中次数的方差为0.72，那么每次射击的命中率等于 A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.440.设随机变量X的概率密度为，那么= A.-1 B.0 C.1 D.以上结论均不正确三、解答题：1.设，在处连续可导，试确立并求2.设，其中具有二阶连续偏导数，求。3.设讨论在0，0

11、1偏导数是否存在。2是否可微。4.在过点的所有平面中,求一平面,使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小。5.6.，其中为圆域。7.设在上连续，求证：。证明：8.求幂级数收敛区间及和函数：9.求解。10.求解。11.求解满足。12.求解满足。13.设二阶常系数线性微分方程的一个特解为，试确定，并求该方程的通解。14.计算以下行列式。15.计算以下行列式。16.证明：17.设AX+E=A2+X，且A=，求X。18.矩阵，求常数a，b。19.将向量表示成的线性组合：20.问，取何值时，齐次方程组有非零解？21.设线性方程组试问c为何值时，方程组有解？假设方程组有解时，求一般解。22.求一个正交变换化

12、以下二次型为标准型：23.某工人看管甲、乙、丙3台机器，在1小时内，这3台机器不需照管的概率分别为0.8，0.9，0.6，设这三台机器是否需照管是相互独立的，求在1小时内：(1)有机床需要工人照管的概率；(2)机床因无人照管而停工的概率？24.设随机变量X的分布密度为求：(1)常数A；(2)X的分布函数；25.设二维随机变量X，Y在区域内服从均匀分布。求：(1)X，Y的联合分布密度；(2)X与Y的边缘分布密度，并问它们是否相互独立？26.设X，Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为求随机变量ZXY的概率密度函数。27.某工厂生产的一种设备的寿命X以年计服从指数分布，密度函数为为确保消费者

13、的利益，工厂规定出售的设备假设在一年内损坏可以调换，假设售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台那么损失200元。求工厂出售一台设备赢利的数学期望。28.设随机变量X，Y服从正态分布，且X和Y分别服从正态分布，X与Y的相关系数,求Z的数学期望和方差；参考答案一、填空题：1.设，那么函数的图形关于对称。解：的定义域为，且有即是偶函数，故图形关于轴对称。2.假设，那么。解：。3.极限。解：注意：无穷小量乘以有界变量等于无穷小量，其中=1是第一个重要极限。4.，那么_, _。由所给极限存在知,得,又由, 知5.时，与是等价无穷小，那么常数=解：6.设，其中可微，那么=。解：7.设，其中由确定的隐函

14、数，那么。解：，时，8.设具有二阶连续导数，那么。解：9.函数的可能极值点为和。解：，不是,不是不是负定，极大值，10.设那么。解：因为，故11. 。解：原式.12. 。解：13.假设，那么 。答案：14.设：,那么由估值不等式得解：，又，由，15.设由围成，那么在直角坐标系下的两种积分次序为和 。解：D：X型=D1+D2，D：Y型16.设为，那么的极坐标形式的二次积分为 。解：D：，17.设级数收敛，那么常数的最大取值范围是。解：由级数的敛散性知，仅当即时，级数收敛，其他情形均发散.18. 。解：因为，所以原积分19.方程的通解为20.微分方程的通解为.21.当n=_时，方程为一阶线性微分方

15、程。解或1.22.假设阶矩阵的行列式为是的伴随矩阵,那么_。答案：27 23.设A与B均可逆，那么C =也可逆，且。答案：24.设，且，那么X =。答案：25.矩阵的秩为。解答：将矩阵化成阶梯形，可知填写：2。26.向量,其内积为_。答案：27.n阶方阵A的列向量组线性无关的充要条件是。答案：r=n,或|A|0; 28.给定向量组，假设线性相关，那么a，b满足关系式。答案：a-2b=0 29.向量组(I)与由向量组(II)可相互线性表示，那么r(I)与r(II)之间向量个数的大小关系是。答案：相等30.向量=(2,1)T可以用=(0,1)T与=(1,3)T线性表示为。答案：; 31.方程组Ax

16、=0有非零解是非齐次方程组AB=b有无穷组解的条件。答案：必要不充分32.设A为m×n矩阵,非齐次线性方程组b有唯一解的充要条件是r(A)r(A|b)=。答案：; 33.元线性方程组有解，且，那么该方程组的一般解中自由未知量的个数为。解答：34.设是方阵A的一个特征值，那么齐次线性方程组的都是A的属于的特征向量。答案：非零解35.假设3阶矩阵A的特征值为1，2，-3，那么的特征值为。答案： ; 36.设A是n阶方阵，|A|0,为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵，假设A有特征值,那么必有特征值.。答案：.37.a，b分别为实对称矩阵A的两个不同特征值所对应的特征向量,那么a与b的内积a,

17、b=。答案： 0 38.二次型的秩为。答案：4. 39.矩阵为正定矩阵,那么的取值范围是_。答案：40.二次型是正定的,那么的取值范围是_。答案：41.A、B、C代表三事件，事件“A、B、C至少有二个发生可表示为AB+BC+AC。42.事件A、B相互独立，且知那么。解：A、B相互独立， P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.2+0.50.1=0.643.假设随机事件A和B都不发生的概率为p，那么A和B至少有一个发生的概率为。解：P(A+B)=1P44.在一样条件下，对目标独立地进展5次射击，如果每次射击命中率为0.6，那么击中目标k次的概率为 ()。解：设X

18、表示击中目标的次数，那么X服从二项分布，其分布律为：45.设随机变量X服从泊松分布，且那么=。解：X服从泊松分布，其分布律为PX=k=k=0, 1, 2，>0由得：，求得=2 PX=3=46.设随机变量X的分布密度为，那么= .解：由性质即：解得：a=247.假设二维随机变量X，Y的联合分布律为：YX1211/163/162b且X，Y相互独立，那么常数 = ,b = . 解：X，Y相互独立P(X=1，Y=1)=P(X=1) · P(Y=1)即：a=又b=48.设X的分布密度为，那么的分布密度为。解：PYy=P(X3y)=P(X)=Fx()Y=X3的分布密度为：(y)=，y049

19、.二维随机变量X，Y的联合分布律为：YX1210.220.3那么与应满足的条件是 ，当X，Y相互独立时， 。解：=1 =1 即有=0.5当X，Y相互独立P(X=1, Y=1)= P(X=1)P(Y=1)=(+0.2)(+) =0.250.设随机变量X与Y相互独立，且令Z = -Y + 2X +3，那么=。解：X与Y相互独立，D(Z)=D(Y+2X+3)=D(Y)+D(2X+3) =(1)2D(Y)+4D(X)=1+4×2=9。51.随机变量X的数学期望.令Y2X3，那么=。解：D(Y)=D(2X3)=4D(X)=4E(X2)E(X)2=4(412)=12。二、单项选择题：1.设 ，那

20、么= A. B. C. D.解:由于，得 将代入，得=正确答案：D2.以下函数中，不是根本初等函数。A. B. C. D.解：因为是由，复合组成的，所以它不是根本初等函数。正确答案：B3.以下各对函数中，中的两个函数相等。A.与 B.与C.与 D.与解： A 4.设在处连续，那么有A.在处一定没有意义；B.; (即)；C.不存在，或；D.假设在处有定义，那么时，不是无穷小答案：D5.函数在x = 0处连续，那么k = 。A.-2 B.-1 C.1 D.2答案：B6.假设，为无穷连续点，为可去连续点，那么 .A.1 B.0 C.e C.e-1解：由于为无穷连续点, 所以, 故. 假设, 那么也是

21、无穷连续点. 由为可去连续点得.应选(C).7.函数的定义域为 。A B C D解：z的定义域为： (选D)8.二重极限A.等于0 B.等于1 C.等于 D.不存在解：与k相关，因此该极限不存在 (选D)9.利用变量替换，一定可以把方程化为新的方程( )A. B. C. D.解：z是x，y的函数，从，可得，故z是u，v的函数，又，故z是x,y的复合函数，故，从而左边=因此方程变为：(选A)10.假设，在内那么在内.A. B.C. D.解：(选C)11.设的某个邻域内连续，且，那么在点处 。A.不可导 B.可导,且 C.取得极大值 D.取得极小值解：因为,那么在的邻域内成立, 所以为的极小值,应

22、选D。12.设函数是大于零的可导函数，且，那么当时，有 。A. B.C. D.解：考虑辅助函数。13.( )。A. B.C. D.解：由积分上限函数的导数可得，应选A.14.设上具有连续导数，且，那么 。A.2 B.1 C.-1 D.-2解：因为，故应选A15.设上二阶可导，且记， ，那么有 .A. B. C. D.解：依题意，函数在上严格单调减少，且其图形是向上凸的曲线。依据几何图形可得，应选B。16.设幂级数在处收敛。那么此级数在处( ).A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 C.收敛性不能确定解：选A。17.以下命题中,正确的选项是 。A.假设级数的一般项有那么有B.假设正项级数满足发散

23、C.假设正项级数收敛，那么D.假设幂级数的收敛半径为，那么.解：由有，因此，从而发散。应选B。18.设级数收敛，那么级数 。A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不确定解：因为收敛，即幂级数在处收敛，由Able定理知，幂级数在处绝对收敛，亦即绝对收敛。应选A。19.微分方程的通解是A. B.C. D.解：D20.设满足微分方程,假设,那么函数在点 。A.取极大值 B.取极小值 C.附近单调增加 D.附近单调减少解：B21.函数在点处的增量满足且，那么DA. B. C. D.解：令，得 ，应选D。22.假设含有s个向量的向量组线性相关，且该向量组的秩为r，那么必有 ( )A.r=s B

24、.r>s C.r=s+1 D.r<s答案：D23.向量组线性相关,那么= ( )A.-1 B.-2 C.0 D.1答案：(C) 24.向量组线性相关的充分必要条件是 ( )A.中含有零向量B.中有两个向量的对应分量成比例C.中每一个向量都可由其余个向量线性表示D.中至少有一个向量可由其余个向量线性表示答案：(D)25.对于向量组，因为，所以是( )A.全为零向量 B.线性相关 C.线性无关 D.任意.答案： D; 26.设A，B均为n阶矩阵，且AB=O，那么必有 A.A=O或B=O B.|A|=0或|B|=0 C.A+B=O D.|A|+|B|=0答案：B 27.假设非齐次线性方程

25、组Am×n X = b的( )，那么该方程组无解。 ( )A.秩(A)n B.秩(A)m C.秩(A¹秩() D.秩(A=秩()解：根据非齐次线性方程组解的判别定理，得Am×n X = b无解秩(A) ¹秩() 正确答案：C28.假设线性方程组的增广矩阵为，那么当 时线性方程组有无穷多解。( )A.1 B.4 C.2 D.解：将增广矩阵化为阶梯形矩阵，此线性方程组未知量的个数是2，假设它有无穷多解，那么其增广矩阵的秩应小于2，即，从而，即正确的选项是D。29.设=2是非奇异矩阵A的特征值,那么有一个特征值是 A. B. C. D.答案：C 30.假设二次

26、型正定，那么 A. B. C. D.答案：(D)31.是矩阵的特征向量,那么=( )(A) 或 (B) 或 (C) 或 (D) 或答案：(C) 32.在随机事件A，B，C中，A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表示为 ABCD解：由事件间的关系及运算知，可选A33.袋中有5个黑球，3个白球，大小一样，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为 A B C D解：根本领件总数为，设A表示“恰有3个白球的事件，A所包含的根本领件数为=5，故P(A)=，故应选D。34.设A、B互为对立事件，且那么以下各式中错误的选项是 A B C D解：因为A、B互为对立事件，所以P(A+B)=

27、1，P(AB)=0，又P(A)，P(B)>0，所以=A，因而P(|A)=P(A|A)=1，应选A35.离散型随机变量X的分布列为P X = k =, k = 1,2,3,4.那么( )A0.05 B0.1 C0.2 D0.25解：由概率分布性质可知，常数a应满足，a+2a+3a+4a=1，即有a=0.1，故应选B。36.设随机变量X的分布函数为那么 ABCD解：，故应选C。37.设随机变量X服从，的值 A随增大而减小； B随增大而增大；C随增大而不变； D随减少而增大.解：XN(, 4) PX2+=P，而值不随的变化而变化，PX2+值随增大而不变，故应选C。38.设随机变量，那么服从(

28、)A B C D解 选D，E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=a+bD(Y)=D(aX+b)=a2D(X)=a2YN(a+b，a2)。39.对目标进展3次独立射击，每次射击的命中率一样，如果击中次数的方差为0.72，那么每次射击的命中率等于 A0.1 ( B ) 0.2 ( C ) 0.3 ( D ) 0.4解：选D；由题意知：XB(3, p)，而D(X)=3 ·p· (1p)=0.72p=0.4。40.设随机变量X的概率密度为，那么=( )。A-1 B0 C1 D以上结论均不正确解：选B；E(X)=，而被积函数为对称区间上的奇函数，E(X)=0。三、解答题：1.设，

29、在处连续可导，试确立并求解：，在处连续，即。当时，当时，当时，故。2.设, 其中具有二阶连续偏导数，求.解：,.3.设讨论f(x,y)在0，01偏导数是否存在。2是否可微。解：1同理可得，偏导数存在。2假设函数f在原点可微，那么应是较高阶的无穷小量，为此，考察极限，由前面所知，此极限不存在，因而函数f在原点不可微。4.在过点的所有平面中,求一平面, 使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小。解：设平面方程为, 其中均为正, 那么它与三坐标平面围成四面体的体积为,且,令,那么由，求得 由于问题存在最小值, 因此所求平面方程为, 且.5.解：=6.，其中为圆域。解：将区域分为，其中。于是7.设在上连

30、续，求证：。证明：由重积分中值定理，使得，当时，由f的连续性，知，从而有：8.求幂级数收敛区间及和函数：解：，所以，.当时，级数成为，由调和级数知发散；当时，级数成为，由交织级数的Leibniz判别法知此级数是收敛的. 所以收敛区间为。设，那么，所以，.9.求解解：原方程可化为，两边积分得，即。由得，故即为所求。10.求解。解：原式可化为，令，得，即, 两边积分得，即，由得，故所求特解为。11.求解满足解：特征方程为，故通解为，由得，故为所求特解。12.求解满足解：对应的齐次方程的通解为，设特解为代入原方程得，故原方程通解为，由得，。13.设二阶常系数线性微分方程的一个特解为，试确定，并求该方程的通解。解：将，代入原方程得，故，方程为，故通解为。14.计算以下行列式。解：15.计算以下行列式解：16.证明：证：17.设AX+E=A2+X，且A=，求X。解：由AX+E=A2+X，得(AE)X=A2E，而AE可逆，故X=A+E=。18.矩阵，求常数a，b。解：因为所以，得b = 2。19.将向量表示成的线性组合：解：设，按分量展开得到求解得到，即