高三导数压轴题题型归纳

1、 .wd.导数压轴题题型1. 高考命题回忆例1函数f(x)exln(xm)2013全国新课标卷(1)设x0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m2时，证明f(x)>0.(1)解f(x)exln(xm)f(x)exf(0)e00m1，定义域为x|x>1，f(x)ex，显然f(x)在(1,0上单调递减，在0，)上单调递增(2)证明g(x)exln(x2)，那么g(x)ex(x>2)h(x)g(x)ex(x>2)h(x)ex>0，所以h(x)是增函数，h(x)0至多只有一个实数根，又g()<0，g(0)1>0，所以h(x)g(x)0的唯

2、一实根在区间内，设g(x)0的根为t，那么有g(t)et0，所以，ett2et，当x(2，t)时，g(x)<g(t)0，g(x)单调递减；当x(t，)时，g(x)>g(t)0，g(x)单调递增；所以g(x)ming(t)etln(t2)t>0，当m2时，有ln(xm)ln(x2)，所以f(x)exln(xm)exln(x2)g(x)g(x)min>0.例2函数满足2012全国新课标(1)求的解析式及单调区间；(2)假设，求的最大值。1 令得： 得：在上单调递增 得：的解析式为 且单调递增区间为，单调递减区间为2得当时，在上单调递增时，与矛盾当时， 得：当时， 令；那么

3、当时， 当时，的最大值为例3函数，曲线在点处的切线方程为。2011全国新课标求、的值；如果当，且时，求的取值范围。解 由于直线的斜率为，且过点，故即解得，。由知，所以。考虑函数，那么。(i)设，由知，当时，h(x)递减。而故当时，可得；当x1，+时，hx<0，可得 hx>0从而当x>0,且x1时，fx-+>0，即fx>+.ii设0<k<1.由于=的图像开口向下，且，对称轴x=.当x1，时，k-1x2 +1+2x>0,故 (x>0,而h1=0，故当x1，时，hx>0，可得hx<0,与题设矛盾。iii设k1.此时，x>0,而h

4、1=0，故当x1，+时，hx>0，可得 hx<0,与题设矛盾。 综合得，k的取值范围为-，0例4函数f(x)(x3+3x2+ax+b)ex. 2009宁夏、海南(1)假设ab3,求f(x)的单调区间;(2)假设f(x)在(,),(2,)单调增加,在(,2),(,+)单调减少,证明6.解: (1)当ab3时,f(x)(x3+3x23x3)ex,故f(x)(x3+3x23x3)ex +(3x2+6x3)exex (x39x)x(x3)(x+3)ex.当x3或0x3时,f(x)0;当3x0或x3时,f(x)0.从而f(x)在(,3),(0,3)单调增加,在(3,0),(3,+)单调减少.

5、(2)f(x)(x3+3x2+ax+b)ex +(3x2+6x+a)exexx3+(a6)x+ba.由条件得f(2)0,即23+2(a6)+ba0,故b4a.从而f(x)exx3+(a6)x+42a.因为f()f()0,所以x3+(a6)x+42a(x2)(x)(x)(x2)x2(+)x+.将右边展开,与左边比拟系数,得+2,a2.故.又(2)(2)0，即2(+)+40.由此可得a6. 于是6.2. 在解题中常用的有关结论(1)曲线在处的切线的斜率等于，且切线方程为。(2)假设可导函数在 处取得极值，那么。反之，不成立。(3)对于可导函数,不等式的解集决定函数的递增减区间。(4)函数在区间I上

6、递增减的充要条件是：恒成立 不恒为0.(5)函数非常量函数在区间I上不单调等价于在区间I上有极值，那么可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。假设为二次函数且I=R，那么有。(6) 在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或在I上恒成立(7)假设，恒成立，那么; 假设，恒成立，那么(8)假设，使得，那么；假设，使得，那么.(9)设与的定义域的交集为D，假设D 恒成立，那么有.(10)假设对、 ，恒成立，那么.假设对，使得,那么. 假设对，使得，那么.11在区间上的值域为A,，在区间上值域为B，假设对,，使得=成立，那么。(12)假设三次函数f(x)有三个零点，那么方程有两个不

7、等实根，且极大值大于0，极小值小于0.(13)证题中常用的不等式: 1 xx+ 3. 题型归纳导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用构造函数，最值定位分类讨论，区间划分极值比拟零点存在性定理应用二阶导转换例1切线设函数.1当时，求函数在区间上的最小值；2当时，曲线在点处的切线为，与轴交于点求证：.例2最值问题，两边分求函数.当时，讨论的单调性；设当时，假设对任意，存在，使，求实数取值范围.交点与根的分布例3切线交点函数在点处的切线方程为求函数的解析式；假设对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；假设过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围例4综合应用函数求f(x)在0,1上的

8、极值；假设对任意成立，求实数a的取值范围；假设关于x的方程在0，1上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.不等式证明例5 (变形构造法)函数，a为正常数假设，且a，求函数的单调增区间；在中当时，函数的图象上任意不同的两点，线段的中点为，记直线的斜率为，试证明：假设，且对任意的，都有，求a的取值范围例6 (高次处理证明不等式、取对数技巧)函数.1假设对任意的恒成立，求实数的取值范围；2当时，设函数，假设，求证例7绝对值处理函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值I求实数的取值范围；II假设方程恰好有两个不同的根，求的解析式；III对于II中的函数，对任意，求证：例8等价变形函数讨论函数在定义域

9、内的极值点的个数；假设函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围；当且时，试比拟的大小例9前后问联系法证明不等式，直线与函数的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1。I求直线的方程及m的值；II假设，求函数的最大值。III当时，求证：例10 (整体把握，贯穿全题)函数1试判断函数的单调性； 2设，求在上的最大值；3试证明：对任意，不等式都成立其中是自然对数的底数证明：例11数学归纳法函数，当时，函数取得极大值.求实数的值；结论：假设函数在区间内导数都存在，且，那么存在，使得.试用这个结论证明：假设，函数，那么对任意，都有；正数，满足，求证：当，时，对任意大于，且互不相等的实数，都有.

10、恒成立、存在性问题求参数范围例12别离变量函数(a为实常数).(1)假设，求证：函数在(1,+)上是增函数；(2)求函数在1,e上的最小值及相应的值；(3)假设存在，使得成立，求实数a的取值范围.例13先猜后证技巧函数求函数f (x)的定义域确定函数f (x)在定义域上的单调性，并证明你的结论.假设x>0时恒成立，求正整数k的最大值.例14创新题型设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)g(x).()假设x=0是F(x)的极值点,求a的值；()当 a=1时,设P(x1,f(x1), Q(x2, g(x 2)(x1>0,x2>0), 且PQ/x轴,求P

11、、Q两点间的最短距离；()假设x0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(x)的图象上方,求实数a的取值范围例15(图像分析，综合应用) 函数，在区间上有最大值4，最小值1，设求的值；不等式在上恒成立，求实数的范围；方程有三个不同的实数解，求实数的范围导数与数列例16创新型问题设函数，是的一个极大值点假设，求的取值范围；当是给定的实常数，设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，使得的某种排列其中=依次成等差数列?假设存在，求所有的及相应的；假设不存在，说明理由导数与曲线新题型例17形数转换函数, .(1)假设, 函数 在其定义域是增函数,求b的取值范围;(2)在(1)的结论下,设函数的最小值;

12、(3)设函数的图象C1与函数的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点R作轴的垂线分别交C1、C2于点、,问是否存在点R,使C1在处的切线与C2在处的切线平行?假设存在,求出R的横坐标;假设不存在,请说明理由.例18全综合应用函数.(1)是否存在点,使得函数的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数的图像上?假设存在,求出点M的坐标;假设不存在,请说明理由;(2)定义,其中,求;(3)在(2)的条件下,令,假设不等式对且恒成立,求实数的取值范围.导数与三角函数综合例19换元替代，消除三角设函数，其中当时，求曲线在点处的切线方程；当时，求函数的极大值和极小值；当，时，假设不等式对任意的恒成立,求

13、的值。创新问题积累例20函数.I、求的极值. II、求证的图象是中心对称图形.III、设的定义域为,是否存在.当时，的取值范围是?假设存在,求实数、的值；假设不存在，说明理由导数压轴题题型归纳参考答案例1解：(1)时，由，解得.的变化情况如下表：01-0+0极小值0所以当时，有最小值.(2)证明：曲线在点处的切线斜率 曲线在点P处的切线方程为. 令，得， ，即. 又， 所以.例2，令当时，当,函数单调递减；当，函数单调递增.当时，由，即，解得.当时，恒成立，此时，函数单调递减；当时，,时，函数单调递减；时，函数单调递增；时，函数单调递减.当时，当,函数单调递减；当，函数单调递增.综上所述：当时

14、，函数在单调递减，单调递增；当时,恒成立,此时，函数在单调递减；当时,函数在递减,递增,递减.当时，在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以对任意，有，又存在，使，所以，又当时，与矛盾；当时，也与矛盾；当时，.综上，实数的取值范围是.例3解：根据题意，得即解得 所以 令，即得12+增极大值减极小值增2因为，所以当时，那么对于区间上任意两个自变量的值，都有，所以所以的最小值为4因为点不在曲线上，所以可设切点为那么因为，所以切线的斜率为那么=，即因为过点可作曲线的三条切线，所以方程有三个不同的实数解所以函数有三个不同的零点那么令，那么或02+增极大值减极小值增那么 ，即，解得例4解：，

15、令舍去单调递增；当递减. 上的极大值.由得设，依题意知上恒成立，上单增，要使不等式成立，当且仅当由令，当上递增；上递减，而，恰有两个不同实根等价于例5解：a，令得或,函数的单调增区间为.证明：当时, ,又不妨设，要比拟与的大小，即比拟与的大小，又， 即比拟与的大小 令,那么,在上位增函数又， ，即 ， 由题意得在区间上是减函数 当， 由在恒成立设，那么在上为增函数，. 当， 由在恒成立设，为增函数,综上：a的取值范围为.例6解：1,，即在上恒成立设,，时，单调减，单调增，所以时，有最大值.，所以.2当时，,所以在上是增函数，上是减函数.因为，所以即,同理.所以又因为当且仅当“时，取等号.又，,

16、所以,所以，所以：.例7I由，因为当时取得极大值，所以，所以；II由下表：+0-0-递增极大值递减极小值递增 依题意得：，解得：所以函数的解析式是：III对任意的实数都有在区间-2，2有：函数上的最大值与最小值的差等于81，所以例8解：，当时，在上恒成立，函数 在 单调递减，在上没有极值点；当时，得，得，在上递减，在上递增，即在处有极小值当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点函数在处取得极值，令，可得在上递减，在上递增，即证明：，令，那么只要证明在上单调递增，又，显然函数在上单调递增，即，在上单调递增，即，当时，有例9 解：I的斜率为1，且与函数的图像的切点坐标为1，0，的方程为又与函数的

17、图象相切，有一解。由上述方程消去y，并整理得依题意，方程有两个相等的实数根，解之，得m=4或m=-2， II由I可知，单调，当时，单减。，取最大值，其最大值为2。III证明，当时，例10解：1函数的定义域是由令，得因为当时，；当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减2由1可知当，即时，在上单调递增，所以当时，在上单调递减，所以当，即时，综上所述，3由1知当时所以在时恒有，即，当且仅当时等号成立因此对任意恒有因为，所以，即因此对任意，不等式例11解：当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递减. 函数在处取得极大值，故.令，那么.函数在上可导，存在，使得.，当时，单调递增，；当时，单调

18、递减，；故对任意，都有.用数学归纳法证明.当时，且，由得，即，当时，结论成立. 假设当时结论成立，即当时，. 当时，设正数满足，令， 那么，且.当时，结论也成立.综上由，对任意，结论恒成立. 例12解：当时，当，故函数在上是增函数，当，假设，在上非负仅当，x=1时，故函数在上是增函数，此时假设，当时,；当时，此时是减函数；当时，此时是增函数故假设，在上非正仅当，x=e时，故函数在上是减函数，此时不等式，可化为, 且等号不能同时取，所以，即，因而令，又，当时，从而仅当x=1时取等号，所以在上为增函数，故的最小值为，所以a的取值范围是例13解：1定义域2单调递减。当，令，故在1，0上是减函数，即，

19、故此时在1，0和0，+上都是减函数3当x>0时，恒成立，令又k为正整数，k的最大值不大于3下面证明当k=3时，恒成立当x>0时恒成立令，那么，当当取得最小值当x>0时，恒成立，因此正整数k的最大值为3例14解：()F(x)= ex+sinxax,.因为x=0是F(x)的极值点,所以. 又当a=2时,假设x<0,;假设 x>0,.x=0是F(x)的极小值点, a=2符合题意. () a=1,且PQ/x轴,由f(x1)=g(x2)得:,所以.令当x>0时恒成立.x0,+时,h(x)的最小值为h(0)=1.|PQ|min=1. ()令那么.因为当x0时恒成立,所以

20、函数S(x)在上单调递增, S(x)S(0)=0当x0,+时恒成立; 因此函数在上单调递增, 当x0,+时恒成立.当a2时,在0,+单调递增,即.故a2时F(x)F(x)恒成立. 例15解:(1)当时，上为增函数故当上为减函数故即. .方程化为，令，记方程化为，令，那么方程化为方程有三个不同的实数解，由的图像知，有两个根、，且或，记那么或例16解：时，令，设是的两个根，1当或时，那么不是极值点，不合题意；2当且时，由于是的极大值点，故，即，()解：，令，于是，假设是的两个实根，且由可知，必有，且是的三个极值点，那么，假设存在及满足题意，1当等差时，即时，那么或，于是，即此时或2当时，那么或假设，那么，于是，即两边平方得，于是，此时，此时=假设，那么，于是，即两边平方得，于是，此时此时综上所述，存在b满足题意，当b=a3时，时，时，.例17解:(1)依题意:在(0,+)上是增函数, 对x(0,+)恒成立, (2)设当t=1时,ym i n=b+1; 当t=2时,ymi n=4+2b 当的最小值为(3)设点P、Q的坐标是那么点M、N的横坐标为C1在点M处的切线斜率为C2在点N处的切线斜率为假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行,那么 设 这与矛盾,假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行 例18 (1)假