中学三角函数公式、记忆、推导

1、（一）sin（2k二匚）=sincos（k2 :- =） c：o s ta n （k2:-=）| tancot（k2 ：=）co t（二）sin（，亠：:£）= _sin .工cos（二：）=-cos:t a n（t anc o t'（:=）c o t（三）sin（ -： ） - -sin :-cos（ - ： ） = cos :tan（-：）=-tan :cot（ _ ：）=-cot:（四）sin（二-）=sin :cos（二-：）=-cos篇t a n ：（-:扌-tanc o t：（-:-扌-c o t（五）sin（2 二-）=-sin :-cos（：2- ： =） c

2、：o stan（2 二-：）二-tan :c o t （2 ：=）-c：o(六)sin（ _ ： ） =cos :2cos（） = sin j2jit a n扌 _ ：=）cotncot（ - - -2）=tan :（七）sin（：.） =cos、t2ncos（亠黒）二sin :2nt a n （ 1 :s2今-co tc o t （匕2=）-ta n三角函数基础诱导公式(kZ )。记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。3 二（八）=）co tta nc on-CLt=）- sit a n-（）3 二 c o t-F -:-si n( ) = -cos：23 :si n( ) = cos j2只需

3、抓住以下三个特点，即可由左边写出右边:(1)（九）tan（ ） = _ cot:2=）一ta n诱导公式右边都是角:-的三角函数;（2）判断函数名是否改变。:-相加减的角，若为 一的偶数倍，2余变正(只能弦、切、割内部变换。如，只能正弦变余弦，余弦变正弦，不能判断依据：括号内与则函数名不变;若为的奇数倍，则正变余， 由弦变切或割)； 判断正、负号。判断依据：将 :看作锐角时，左边的函数值该取什么符号(正号或负号) 函数名前加上同样的符号。正弦定理和余弦定理都是描述如图所示：（3）ABC边角关系的非常重要的定理。任意- ABC中，.A,.B,.C所对的边分别为a,b,c，则正弦定理:sin Ac

4、2R （ R为ABC外接圆半径）sin B sin C余弦定理:2 ab22 c=b22 =a2 =ac2c2b2-2bc cos A-2accosB-2abcosC推论:cosAcosBcosC2bc a2 c2 -b22aca2 b2 -c2正弦定理与余弦定理是等价的，具体参见文献： 求任意ABC面积的两种方法：1111. S abcabs in C bcsi nA easin222由右图容易看出此结论。2 利用海伦公式。 海伦公式：设任意 ABC三边长分别为a,b,c，半周长1 p (a b c)，则有2S. abc f；P(Pa)(p-b)(p -c)2ab对正弦定理、余弦定理，就在右

5、边的C四、五、六、海伦公式.用三边长求三角形面积”是计算几何- 个帀要企理° 般川纯几何方法证明比轻困难和蠶 杂。现用余弦定理来证点比较简便° 证 占色=*=/ - C=h ab=十 Jf2abr - (a J(2 ab + a + o* -(2 ab -二十 b>2 - (a - b)2=Jp * m <p * bHp * c) *辅助角公式asin：亠bcos：二a2 b2 sin（很亠门），其中tan =b ,的象限由a,b的符号确定。a弧度制把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1.1弧度的角。1弧度记作: 当圆心角为圆周时，所对的弧长 L =2二r，故L

6、 2二 r 小2 二. r r即 360二 2.一个圆周的角度二=360° 角度制； 一个圆周的角度-=2二一一弧度制。 使用弧度制的好处是，用弧度制表示的角度与实数一一对应。I： 1丄r角的弧度数的绝对值:2.3.1.弧长：丨十| rl扇形面积：S二丄冷1 To :1rad =0.017453rad180180ooo1rad57.30 =57 18兀任意角的三角函数及其符号规律任意角的三角函数：设-是一个任意大小的角，角 原点0（0,0）的距离是r（r 0），则可定义角 二的三角函数:正弦：y sin 二r余弦：xcos-；= r正切：tan :x余切：xxcot :y正割：r s

7、ec-：x1余割：cos：2.三角函数符号规律。口诀：“函弦切余.sin aesc aCSC：函+ siti cn tan a see Acos acot a:esc ay sin Jtan a Ocot+切说明：（1）符号规律见右图， 第二象限只有正弦函数（及其倒数余割）取正，第三象限只有正、 余切函数取正，第四象限只有余弦函数（及其倒数正割）取正。归 纳起来，由第一象限至第四象限，取正的函数分别为“函弦切余”。（2）由三角函数的定义及个象限内点的坐标的符号即可确定各三角函数在各象限的符号。第一象限角的各三角函数值均取正,cos A* sec CH余+七、三角函数重要公式七、三角函数重要公式

8、和差的三角函数sin（、£ 二） =sin icosl-：二cosxsin : cos© 二'） = cosx cos二 si nt sin :tan 二=tan :tan（:-） - :1 +tana tan P积化和差公式倍角、半角的三角函数sin 2：= 2sin _：icos_：i2 . 2 = cos ： -sin2=2cos 1=1 2sin2 :1sin鳥cos =sin（二亠 W） sin（:;）21cos： sin =sin<：亠,；）-sin（x）21cos二 cos =一cos（很亠 9） cos（- - ） I21sin j sin -

9、_cos（很亠卩）一 cos（： - -） Itan 2：2ta n :1 -tan2 :2 acos： =1-2s in -22 acos ：二 2cos 12.2 a .sin22« .cos1 -cos：21 cos：将上面两式左右两边分别相除,得:tan2 '22 1 - cos:1 cos:证明：sin（二 y sin ： cos ： cos： sin - sin（x l：,） = sin 二 cos ；-cos： sin :+，得sin（二亠；） sin（雹壯）=2sin 二 cos :1.sin 二 cos =.sin（黒亠卩） sin（: - -） 12sin

10、 ' _ 1 cos2acos21 -cos：1 - cos：±1 cos：sin :CL tan 21 + cosa - 21 cos：CL（证明：tan2asin 一2acos2a a2si n sin 2 2a a.2si n cos2 21 cos-：）sin :万能公式2ta nasin21 +ta n a1 -tan2 :-cos 二tan2 -221 tan :1 二 cos:1 cos:三倍角公式sin 3: cos3 :tan 3：3二 3si n4s in= 4cos3： -3cos ：3 3tan ： - tan :-得：sin（:亠，）-sin（： -

11、 -）=2cos-：sin :1.cos二sin =sin（x'ljsin（xl）l2另两式证明方法相同。和差化积公式Q +<P Q _<Psin v sin= 2sincos220+P0_tpsinsin= 2cossin22日十®0 _<Pcost cos = 2cos cos2 2e +q> e -cos - -2sinsin2 2cos-证明：sin （:sin （：+，得sin（二"-'） sin（二-'）= 2sinf e +<p：）二 sin ： cos ： cos ： sin : !'）= sin

12、 ： cos ； -cos： sin :阳“# r -令.一，则I仁i 22Q _<P，代人式,sin v sin = 2sin ： cos ： = 2sin另三式证明方法相同。e十半cos2 2八、附件/2八鬲:v 2乩问舛可以证明石命=孟石 2皿 AH为血和三殊形或純角 三角形时同学们不妨自己证一下儿证选 2：由- C )5 = li: t W 开得 2K( i - cqs2A)b证法 g殳L展饋他用形MBC外摟幅的圆心*如右 图，作(心丄BC 显然有NHrJC=2NA*所以NM1DZOQD.LiRLjH 祠向的单位向 * L( f * i I RI ec jsAinA* 耳

13、9;5 （ O I J? | co.（牙一A） RinA»圖式安徹 郑观宝一"岛叩数学(人敦版-WCT)M 129 JT正弦定理、汆喪空宙一节 中會第正孩耀理时仅仅擢出了矗谯-盒“耐庁山瓷厂為 宀=2尺这对同学们全话MiBiE技定握H十分不利的中学生雜理北对正弦定理、余弦定理一节的mm®” 梢側u-2R«nA.即盘忑同理町以证明C4H 加讲 f * H 亡一 也=2RsinA 所以八EKsinA 故 一2RnA 即“” -工=2 smB sinC *注：渥有其 他向量才法可以证明，同学不七r操讨一下*二正弦定理.余弦宦理部反映了三角形的边魚关系.这曹个定理之间 書什*内“的联系呢? *实，这两t定呷A ffr的*卜向給出UE叫由£ 一忑8=注一&.边平方化简KJHW +FZ