二次函数知识精讲与拓展训练

1、二次函数知识精讲与拓展训练【知识精讲】 1二次函数：形如 的函数叫做二次函数.2二次函数的图像性质：（1）二次函数的图像是 ；（2）二次函数通过配方可得为常数），其顶点坐标为 。（3）当时，抛物线开口 ，并向上无限延伸；在对称轴左侧时，y随x的增大而减小；在对称轴右侧时，y随x的增大而增大；当时，函数有 .当时，抛物线开口 ，并向下无限延伸；在对称轴左侧时，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧时，y随着x的增大而减小；当函数有 。 3二次函数的图像平移：（1）二次函数的图像都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同（的取值决定抛物线的形状）.将的图像向右（h>0）、向左（h<0）平移个单

2、位，就得到函数的图像；再将此抛物线向上(k>0)、向下(k<0)平移个单位得到函数的图像.上述平移的规律是：“h值正、负、右、左移；k值正、负、上、下移.”4.抛物线与坐标轴的交点：（1）抛物线（2）若方考点二次函数的图像性质例1定义为函数的特征数, 下面给出特征数为 2m，1 m , 1 m 的函数的一些结论： 当m = 3时，函数图象的顶点坐标是(，)； 当m > 0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于； 当m < 0时，函数在x >时，y随x的增大而减小； 当m ¹ 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有 A. B. C. D. 变式训练1

3、.已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）第（2）题yxOA. B. C. D. 第（1）题 第（3）题2已知二次函数()的图象如图所示，有下列结论：（ ）；3. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ； ； ； ； ，（的实数）其中正确的结论有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个考点二次函数图像平移例2. 抛物线图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为，则b、c的值为（ ） A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2变式训练1把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛

4、物线的表达式 （ ）2.若把函数y=x的图象用E（x，x）记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，则E（x，）可以由E（x，）怎样平移得到？3如图，点A，B的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为( ) A3 B1 C5 D8 yOBAx11（例3图）yxO（第3题）考点确定二次函数解析式例3如图，在平面直角坐标系中，且，点的坐标是（1）求点的坐标；（2）求过点的抛物线的表达式；（3）连接，在（2）中的抛物线上求出点，使得变式训练1二次函数的图象与轴的交点如图所示，根据图中

5、信息可得到的值是 ·第1题图 第2题图2已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”下图分别是当，时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是 .3.如图，已知二次函数的图象经过A（2，0）、B（0，6）两点。（1）求这个二次函数的解析式（2）设该二次函数的对称轴与轴交于点C，连结BA、BC，求ABC的面积。ABCDyPxO(第4题图)yxCAOB第3题4如图，已知抛物线yx2bxc经过矩形ABCD的两个顶点A、B，AB平行于x轴，对角线BD与抛物线交于点P，点A的坐标为(0，2)，AB4(1)求抛物线的解析式；(2)若SAPO，求矩形ABCD的

6、面积5.将直角边长为6的等腰RtAOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(3，0)(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当APE的面积最大时，求点P的坐标；第5题图(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使AGC的面积与（2）中APE的最大面积相等?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由考点确定二次函数与方程、不等式、一次函数、反比例函数例1. 抛物线图像如图所示，则一次函数与反比例函数 在同一坐标系内的图像大致为（ ）xxxxx第15题图变式

7、训练1.若正比例函数与反比例函数的图象交于点则的值是（）. 考点5二次函数与几何的综合题例5如图，抛物线yax2bxc经过点A（4，0）、B（2，2），连结OB、ABABxOy（1）求该抛物线的解析式；（2）求证：OAB是等腰直角三角形；（3）将OAB绕点O按顺时针方向旋转135°得到OAB，写出AB的中点P的坐标，试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由变式训练1在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A，B，C三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直

8、线上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标 第1题 第2题2.在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（2，0），B（6，0），C（0，3）.(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)过点作CD平行于轴交抛物线于点D，写出D点的坐标，并求AD、BC的交点E的坐标；(3)若抛物线的顶点为，连结C、D，判断四边形CEDP的形状，并说明理由.【思维能力提升训练】1方程x2+2x1=0的根可看成函数y=x+2与函数的图象交点的横坐标，用此方法可推断方程x3+x1=0的实根x所在范围为（ ）A B C D2已知实数的最大值为

9、 3如图，已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为x1，且抛物线经过A（1，0）、B（0，3）两点，与x轴交于另一点B（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x1上的一动点，求使PCB90°的点P的坐标xyOx1第3题ACB4已知平面直角坐标系xOy，抛物线yx2bxc过点A(4,0)、B(1,3) .（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为

10、E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.5如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为DE（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、GCEDGAxyOBF（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF上求一点H，使CDH的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，EFK的面积最大？并求出最大面积家庭作业1. 若二次函数配方后为则、的值分别为（ ）2.在直角坐标系中，若解析式为 的图像沿着轴向左平移两个单

11、位，再沿着y轴向下平移一个单位，此时图像的解析式为（ ）3二次函数yax2bxc的图象如图所示，反比例函数y 与正比例函数y（bc）x在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）A B C D4如图，两条抛物线、与分别经过点,且平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（ ）8 6 10 4(4题图) 5. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米. 第7题6图为二次函数的图象，给出下列说法：；方程的根为；当时，y随x值的增大而增大；当时，其中，正确的说法有 （请写出所有正确说法的序号）7已知点A（1，1）在二次函数图像上。（1）用含的代数式表示；（2）如果该二次函数的图像与轴只有一个交点，求这个二次函数