道中考压轴题的解法与推广修改

1、.一道中考压轴题的解法与推广（210019） 李玉荣题目（2010年上海市中考压轴题）如图1，在RtABC中，ACB90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.（1）当B30°时，连结AP，若AEP与BDP相似，求CE的长；（2）若CE=2，BD=BC，求BPD的正切值；（3）若，设CE=x，ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.图1 图2(备用) 图3(备用)本题沿袭了上海市近两年的中考命题思路和特色，题目以直角三角形与圆为载体，设置简洁、清晰，三个问题层次分明，具有一定的区分度，体现了中考压轴题的选拔功能

2、，从考查的知识点来看，有三角形的边角关系、三角函数概念、圆的概念、相似三角形的性质、勾股定理，同时渗透了在解决问题策略中的对数学思想方法的考查（化归思想、方程思想），笔者研究发现此题有多种解法，这在中考压轴题中实不多见，着实是一道值得回味的好题解法1：（1）略；（2）设BD=x, 则BC=x, AB=x+1, AC=3, 由解得x=4, BD=BC=4,过B作BFAC交PD的延长线于点F, 则BFBP, F=AED=ADE=BDF, BF=BD=4, 由ECPFBP得， 即，； （3）设, 由（2）知，在RtABC中，即，注意到，所以，解得，所以解法2：（2）同解法1得BD=BC=4AB=5,

3、过点D作DFBP交AC于点F，则DFAC, ADFABC，即，（3）设AF=a，则FE=1-a， ，在RtADF中，即，解得（舍去），即，此时，ADFABC，即， 【评注】从上面的两种解法看，添加平行线是解题的关键，图中的圆只起到“AD=AE”的作用，若用“AD=AE”替代圆，此题图形实际上是一个基本图形(见右图)的特殊化（AD=AE，ACBP），而关于这个基本图形有一个著名的梅莱劳斯定理：，此定理可以分别过点A、B、C、D、E、P作平行线证明，共有12种辅助线，因此原题已有12种解法，本文不再赘述当然直接应用梅莱劳斯定理也能求解：(2) 同解法1知BD=BC=4, 由 得 ， ； （3）设，

4、由 得，以下同解法1 解法13：(2) 同解法1得BD=BC=4在PC上取点F, 使PEF=DPF, 则FE=FP, EFC=2DPF，又A=180°2AED=180°2PEC=2(90°PEC)=2DPF, A=EFC,FECABC, , , CF=, , CP=CF+FP=4,；(3)设CF=n，则FP=FE=3x-n, 在RtABC中，解得，由FECABC得, 即， 解法14：（2）同解法1得BD=BC=4AB=5, 延长CA至点F，使AF=AB，则CF=8, 连接BF, 则ABF=F, BAC=2F，又BAC=180°2AED=180°

5、2PEC=2(90°PEC)=2DPB, F=DPB, ；(3) 设BC=n，, CF=3n,AB=AF=3n-1-x, 在RtABC中，解得，【评注】这两种解法没有添平行线，而是构造等腰三角形通过角相等巧妙地解决问题解法15：(2) 同解法1得BD=BC=4延长EA交A于点F，连接FD并延长交BP于G，则PDFG，P=F=FDA=BDG，B=B, BDGBPD, , 设，CE=2, CF=4, PC=2k, , , , 解得k=2, 即（3）, PC=3x, CF=x+2, CG=, BDGBPD, , 设BG=n, 则BD=3n, ， 解得，解法16：(2) 同解法1得BD=BC

6、=4延长DA交A于点F，连接FE并延长交BP于点G，则PDFG，P=F=AEF=GEC，B=B, BFGBDP, , 设，CE=2, PC=2k, , , BF=4, , 解得（舍去）， k=2, 即（3）, PC=3x, CG=, ，BFGBDP, , 又，解得，【评注】 解法15、16虽然较为繁琐，但关注了圆的核心知识：圆的半径相等、直径所对的圆周角是直角，为用相似三角形解决问题提供了条件，且不需要用勾股定理 上述解法中，解法14最为简单，用此解法可证得第（3）题的推广命题： 若（，设CE=x，ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.简解：辅助线见解法14，(3) 设BC=n，, CF=kn,AB=AF=kn-1-x, 在RtA