三角函数难题训练

1、1、某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长AB=6m，ABC=45，后考虑到安全因素，将楼梯脚B移到CB延长线上点D处，使ADC=30（如图所示）（1）求调整后楼梯AD的长；（2）求BD的长（结果保留根号） 2、如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得AEP=74，BEQ=30；在点F处测得AFP=60，BFQ=60，EF=1km（1）求证AB =AE；（2）两个岛屿A和B之间的距离为多少km（结果精确到0.1km）（参考数据：根号31.73，cos740.28，tan743.49，sin760.97，cos760.24）3、一副三角板

2、按图1所示的位置摆放将DEF绕点A（F）逆时针旋转60后（图2），测得CG=10cm，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为多少？4、如图，ABC和CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：tanAEC= ；SABC+SCDESACE；BMDM；BM=DM正确结论的个数是（） A、1个 B、 2个 C、3个 D、4个5、如图，ABC中，ACB=90，ACBC，分别以ABC的边AB、BC、CA为一边向ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，连接EF、GM、ND，设AEF、BND、CGM的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论正确的是（）A、S1=S2=S

3、3 B、S1=S2S3 C、S1=S3S2 D、S2=S3S1 6、在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE（点E，F分别在线段AB，CD上），记它们的面积分别为SABCD和SBFDE，现给出下列命题若 ，则tanEDF= ， ；若DE的平方=BDEF，则DF=2AD则（）A、 是真命题，是真命题 B、是真命题，是假命题C、是假命题，是真命题 D、是假命题，是假命题 7、如图，在等腰直角三角形ABC中，C=90，AC=6，D是AC上一点，若tanDBA= ，则AD的长是多少？ 8、在锐角ABC中，BAC=60，BD、CE为高，F为BC的中点，连接DE、DF、EF，则结论：DF=EF；AD：AB=A

4、E：AC；DEF是等边三角形；BE+CD=BC；当ABC=45时，BE= DE中，一定正确的有（） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 9、 如图，两个高度相等且底面直径之比为1：2的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P的距离是（） 10、如图，一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行，在航线AB的正下方有两个山头C、D飞机在A处时，测得山头C、D在飞机的前方，俯角分别为60和30飞机飞行了6千米到B处时，往后测得山头C的俯角为30，而山头D恰好在飞机的正下方求山头C、D之间的距离 11、如图，在梯形ABCD中，ADBC，AD=3，DC=5，

5、AB=4 倍根号2，B=45动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为t秒（1）求BC的长；（2）当MNAB时，求t的值；（3）试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形12、如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，C=90，BC=16，DC=12，AD=21动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动设运动的时间为t（秒）（1）设BPQ的面积为S，

6、求S与t之间的函数关系式；（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形；（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO=OB时，求BQP的正切值；（4）是否存在时刻t，使得PQBD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由13、水务部门为加强防汛工作，决定对程家山水库进行加固原大坝的横断面是梯形ABCD，如图所示，已知迎水面AB的长为10米，B=60，背水面DC的长度为10 倍根号3米，加固后大坝的横断面为梯形ABED若CE的长为5米（1）已知需加固的大坝长为100米，则需要填方多少立方米；（2）新大坝背水面DE的坡度为多少？（计算结果保留根号）14、如图15，某市郊外景区内

7、一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏,东30方向上，景点D位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75方向上，已知AB=5km，AD=8km.ABCa北D30（图15（1） 景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km）（2） 求景点C与景点D之间的距离（结果精确到1km）（参考数据：1.73，2.24，sin53=cos37=0.80，sin37=cos53=0.60，tan53=1.33，tan37=0.75，sin38=cos52=0.62，sin52=c

8、os38=0.79，tan38=0.78，tan52=1.28，sin75=0.79，cos75=0.26，tan75=3.73）15某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A，B相距3米，探测线与地面的夹角分别是30和60（如图），试确定生命所在点C的深度（结果精确到0.1米，参考数据：，） 16、（1）如图16-1，16-2，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律。AB1B2B3C3C2C1图16-1ACB1B2B3图16-2（2）根据你探索到的规律，试比较18，35，50，62，8

9、8，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小 （1） 比较大小，（在空格处填写“”“”“或”“）若=45，则sin cos若45，则sin cos若45，则sin cos（2） 利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小。 sin10、cos30、sin50、cos70 1、解：（1）已知AB=6m，ABC=45，AC=BC=ABsin45=6 =3 ，已知ADC=30AD=2AC=6 答：调整后楼梯AD的长为6 m；（2）CD=ADcos30=6 =3 ，BD=CD-BC=3 -3 答：BD的长为3 -3 （m） 解：（1）相等（1分）因为BEQ=30，BFQ=60，

10、所以EBF=30，所以EF=BF（2分）又因为AFP=60，所以BFA=60在AEF与ABF中，EF=BF，AFE=AFB，AF=AF，所以AEFABF，所以AB=AE（5分）（2）方法一：作AHPQ，垂足为H，设AE=x则AH=xsin74，HE=xcos74HF=xcos74+1（7分）RtAHF中，AH=HFtan60所以xsin74=（xcos74+1）tan60即0.96x=（0.28x+1）1.73所以x3.6，即AB3.6km答：两个岛屿A与B之间的距离约为3.6km（10分）方法二：设AF与BE的交点为G，在RtEGF中，因为EF=1，所以EG= （7分）在RtAEG中，AEG

11、=76，AE=EGcos76= 0.243.6答：两个岛屿A与B之间的距离约为3.6km（10分）3：过G点作GHAC于H，如图，GAC=60，GCA=45，GC=10cm，在RtGCH中，GH=CH= GC = 5 cm，在RtAGH中，AH= GH = cm，AC=（5 + ）cm，两个三角形重叠（阴影）部分的面积= GHAC= 5 （5 + ）=25+ 4、解：ABC和CDE均为等腰直角三角形，AB=BC，CD=DE，BAC=BCA=DCE=DEC=45，ACE=90；ABCCDE = =tanAEC= ，tanAEC= ；故本选项正确；SABC= a2，SCDE= b2，S梯形ABDE

12、= （a+b）2，SACE=S梯形ABDE-SABC-SCDE=ab，SABC+SCDE= （a2+b2）ab（a=b时取等号），SABC+SCDESACE；故本选项正确；过点M作MN垂直于BD，垂足为N点M是AE的中点，则MN为梯形中位线，N为中点，BMD为等腰三角形，BM=DM；故本选项正确；又MN= （AB+ED）= （BC+CD），BMD=90，即BMDM；故本选项正确 故选D5、解：设三角形的三边长分别为a、b、c，分别以ABC的边AB、BC、CA为一边向ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，AE=AB，ARE=ACB，EAR=CAB，AERACB，ER=BC=a，FA=b，

13、S1= ab， S3= ab，同理可得HD=AR=AC，S1=S2=S3= 故选A 6、解：设CF=x，DF=y，BC=h，则由已知菱形BFDE，BF=DF=y由已知得：=得： = ， 即cosBFC= ，BFC=30，由已知EDF=30tanEDF= ，所以是真命题已知菱形BFDE，DF=DE由已知DEF的面积为： DFAD，也可表示为： BDEF，又DE2=BDEF，DEF的面积可表示为： DE的平方即： DF的平方，DFAD= DF2，DF=2AD，所以是真命题 故选：A7、解：作DEAB于E点tanDBA= = ，BE=5DE，ABC为等腰直角三角形，A=45，AE=DEBE=5AE，

14、又AC=6，AB=6 AE+BE=5AE+AE=6 ，AE= ，在等腰直角ADE中，由勾股定理，得AD= AE=28、解：BD、CE为高，BDC=CEB=90，又F为BC的中点，DF= BC，EF= BC，DF=EF；A=A，ADB=AEC，ADBAEC，AD：AB=AE：AC；BAC=60，ABC+ACB=120，DF=CF，EF=BF，BEF+CDF=120，BFE+CFD=120，DFE=60，又DF=EF，DEF是等边三角形；BE+CD=BCsinBCE+BCsinCBD=BC（sinBCE+sinCBD）=BCsinBCE+sin（60-BCE），不一定等于BC；ABC=45，BE=

15、 BC= DE正确的共4个故选C9、甲液体的体积等于液体在乙中的体积设乙杯中水深为x，则1216=48x，解得x=4在直角ABP中，已知AP=4 3，AB=8 3，BP=12根据三角形的面积公式可知直角ABP斜边上的高是6，所以乙杯中的液面与图中点P的距离是16-6-4=6故选B10、解：飞机在A处时，测得山头C、D在飞机的前方，俯角分别为60和30，到B处时，往后测得山头C的俯角为30，BAC=60，ABC=30，BAD=30，ACB=180-ABC-BAC=180-30-60=90，即ABC为直角三角形，AB=6千米，BC=ABcos30=6 32=3 3千米RtABD中，BD=ABtan

16、30=6 33=2 3千米，作CEBD于E点，ABBD，ABC=30，CBE=60，则BE=BCcos60= 323，DE=BD-BE= 32，CE=BCsin60= 92，CD= DE2+CE2= (32)2+(92)2= 21千米山头C、D之间的距离 根号21千米11、解：（1）如图，过A、D分别作AKBC于K，DHBC于H，则四边形ADHK是矩形KH=AD=3在RtABK中，AK=ABsin45=4 2 22=4BK=ABcos45=4 222=4在RtCDH中，由勾股定理得，HC= 52-42=3BC=BK+KH+HC=4+3+3=10（2）如图，过D作DGAB交BC于G点，则四边形A

17、DGB是平行四边形MNAB，MNDGBG=AD=3GC=10-3=7由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t，CM=10-2tDGMN，NMC=DGC又C=C，MNCGDC CNCD=CMCG，即 t5=10-2t7解得， t=5017（3）分三种情况讨论：当NC=MC时，如图，即t=10-2t， t=103当MN=NC时，如图，过N作NEMC于E解法一：由等腰三角形三线合-性质得EC= 12MC= 12（10-2t）=5-t在RtCEN中，cosc= ECNC= 5-tt，又在RtDHC中，cosc= CHCD=35， 5-tt=35解得t= 258解法二：C=C，DHC=NEC=90，NE

18、CDHC NCDC=ECHC，即 t5=5-t3t= 258当MN=MC时，如图，过M作MFCN于F点FC= 12NC= 12t解法一：（方法同中解法一） cosC=FCMC=12t10-2t=35，解得 t=6017解法二：C=C，MFC=DHC=90，MFCDHC FCHC=MCDC，即 12t3=10-2t5， t=6017综上所述，当t= 10分数线3、t= 25 8或t= 60 17时，MNC为等腰三角形12、解（1）如图，过点P作PMBC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形PM=DC=12QB=16-t，S= 1212（16-t）=96-6t（0t16）；（2）由图可知：CM=PD=

19、2t，CQ=t以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：若PQ=BQ在RtPMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得t= 72；若BP=BQ在RtPMB中，BP2=（16-2t）2+122由BP2=BQ2得：（16-2t）2+122=（16-t）2即3t2-32t+144=0由于=-7040，3t2-32t+144=0无解，PBBQ若PB=PQ由PB2=PQ2，得t2+122=（16-2t）2+122整理，得3t2-64t+256=0解得t1= 163，t2=16（不合题意，舍去）综合上面的讨论可知：当t= 72秒或t= 163秒时，

20、以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形（3）如图，由OAPOBQ，得 APBQ=AOOB=12AP=2t-21，BQ=16-t，2（2t-21）=16-tt= 585过点Q作QEAD，垂足为EPD=2t，ED=QC=t，PE=t在RtPEQ中，tanQPE= QEPE=12t=3029又ADBC，BQP=QPE，tanBQP= 3029；（4）设存在时刻t，使得PQBD如图，过点Q作QEAD于E，垂足为E由RtBDCRtQPE，得 DCBC=PEEQ，即 1216=t12解得t=9所以，当t=9秒时，PQBD13、解：（1）分别过A、D作AFBC，DGBC，垂点分别为F、G，如图所示在RtABF中，AB=10米，B=60所以sinB= AFAB，AF=103253，DG=5 根号3；所以SDCE=