三角函数、二次函数、圆综合题

1、 三角函数、二次函数、圆综合题1、如图是使用测角仪测量一幅壁画高度的示意图，已知壁画AB的底端距离地面的高度BC=1m，在壁画的正前方点D处测得壁画顶端的仰角BDF=30°，且点距离地面的高度DE=2m，求壁画AB的高度 解：先过点B作BGDE于点GDECE，ECCE，DFAC，四边形DECF是矩形，BC=1m，DE=2m，EG=BC=1m，DG=BF=1m，在RtDBF中，BDF=30°，BF=1m，DF=BF tan30° =1  3  3  = 3 ，同理，在RtADF中，ADF=60°，DF= 3 ，AF=DFtan

2、60°= 3 × 3 =3mAB=AF+BF=3+1=4m答：壁画AB的高度是4米2、 某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元.   (1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;   (2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?解： 根据题意，y=（60-50+x）(200-10x),     &#

3、160;                     整理得，y=-10x2+100x+2000(0<x12)；                       

4、          由 得y=-10x2+100x+2000=10（x-5）22250，当x=5时，最大月利润y为2250元.          C44页23题、如图10，在东西方向的海岸线上有一长为1千米的码头MN，在码头西端M的正西方向30 千米处有一观察站O某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西30°方向，且与O相距千米的A处；经过40分钟，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距20千米的B

5、处（1）求该轮船航行的速度；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由      （参考数据：，解（1）过点A作ACOB于点C .由题意，得OA=千米，OB=千米，AOC=30°.（千米）.（1分）在RtAOC中， =（千米）.（千米）.      （3分）在RtABC中，=（千米）.（5分）轮船航行的速度为： （千米时）.    （6分）（2）如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸  

6、   （7分）理由:延长AB交l于点D. ABOB20（千米），AOC30°.OABAOC30°，OBDOABAOC60°.在RtBOD中，（千米）.     （9分）301，该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸      （10分）3、题某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这写薄板的形状均为正方向，边长在（单位：cm）在550之间每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两

7、部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的浮动价与薄板的边长成正比例在营销过程中得到了表格中的数据薄板的边长（cm）2030出厂价（元/张）5070（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价成本价），求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？解：（1）设一张薄板的边长为xcm，它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，则y=kx+n由表格中的数据，得，解得，所以y=2x+10；（2）设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元，由题意，得：p=ymx2=2x+10mx2，将x=40，p=2

8、6代入p=2x+10mx2中，得26=2×40+10m×402解得m=所以p=x2+2x+10因为a=0，所以，当x=25（在550之间）时，p最大值= = =35即出厂一张边长为25cm的薄板，获得的利润最大，最大利润是35元 4、如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴上，以AB为弦的M与x轴相切若点A的坐标为（0，8），则圆心M的坐标为（）解：过点M作MDAB于D，交OC于点E连接AM，设M的半径为R以边AB为弦的M与x轴相切，ABOC，DECO，DE是M直径的一部分；四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，点A的坐标为（0，8），O

9、A=AB=CB=OC=8，DM=8-R；AD=BD=4（垂径定理）；在RtADM中，根据勾股定理可得AM2=DM2+AD2，R2=（8-R）2+42，R=5M（-4，5）5、如图，三角形ABC的两个顶点B、C在圆上，顶点A在圆外，AB、AC分别交圆于E、D两点，连接EC、BD（1）求证：ABDACE；（2）若BEC与BDC的面积相等，试判定三角形ABC的形状 6、题如图AB是O的直径，AP是O的切线，A是切点，BP与O交于点C（1）若AB=2，P=30°，求AP的长；（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是O的切线：（1）解：AB是O的直径，AP是O的切线，ABAP，BAP=90&#

10、176;；又AB=2，P=30°，AP=2，即AP=2；（2）证明：如图，连接OC，OD、ACAB是O的直径，ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），ACP=90°；又D为AP的中点，AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；在OAD和OCD中，OADOCD（SSS），OAD=OCD（全等三角形的对应角相等）；又AP是O的切线，A是切点，ABAP，OAD=90°，OCD=90°，即直线CD是O的切线7、牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销经过调查，得到如下数据：（2）当销售单价定为多少时，工艺

11、厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？由图可猜想y与x是一次函数关系，设这个一次函数为y=kx+b（k0），这个一次函数的图象经过（20，500）、（30，400）这两点，解得：，函数关系式是y=10x+700（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得：W=（x10）（10x+700），=10x2+800x7000，=10（x40）2+9000，当x=40时，W有最大值9000（3）对于函数W=10（x40）2+9000，当x35时，W的值

12、随着x值的增大而增大，故销售单价定为35元件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大458、题在锐角三角形ABC中，BC=5，sinA= ，（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；（2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求AI的长9、如图，等圆O1和O2相交于A、B两点，O1经过O2的圆心，顺次连接A、O1、B、O2(1)求证：四边形AO1BO2是菱形；(2)过直径AC的端点C作O1的切线CE交AB的延长线于E，连接CO2交AE于D，求证：CE2O2D；(3)在(2)的条件下，若AO2D的面积为1，求BO2D的面积证明：(1)O1与O2是等圆,来#源:中%国教育出*版网 1分四边

13、形是菱形 2分(2)四边形是菱形 来源:中教网%& 3分CE是O1的切线，AC是O1的直径,90° 4分中&国教育*%出版网ACEAO2D5分 即 6分()四边形是菱形 ACD， 8分 ， 9分 10、二次函数y=（x2）2+的图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有7个（提示：必要时可利用下面的备用图画出图象来分析）解：二次项系数为1，函数图象开口向下，顶点坐标为（2，），当y=0时，（x2）2+=0，解得x1=，得x2=可画出草图为：（右图）图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有7个，为（2，0），（2，1），（2

14、，2），（1，0），（1，1），（3，0），（3，1）23页18题 已知二次函数解析式:y=2x²+mx-6在x轴上截得的线段长为4，则m的值是多少？解：设y=2x²+mx-6与x轴的交点为，则即= 4 当2x²+mx-6=0时。附：对于一元二次方程，如果方程有两个实数根，那么 11、如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（ABCD四个顶点正好重合于上底面上一点）已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）（1）若折成的包

15、装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？分析：（1）根据已知得出这个正方体的底面边长a=x，EF=2x，再利用AB=24cm，求出x即可得出这个包装盒的体积V；（2）利用已知表示出包装盒的表面，进而利用函数最值求出即可解答：解：（1）根据题意，知这个正方体的底面边长a=x，EF=2x，x+2x+x=24，解得：x=6，则 a=6，V=a3=432（cm3）；（2）设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a=，h=，S=4ah+a2=4x（12x）+=6x2+96x=6（x8）2+384，0x12，当x=8时，S取得最

16、大值384cm212、在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；（3）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润解：（1）y是x的一次函数，设y=kx+b，图象过点（10，300），（12，240），解得，y=30x+

17、600，当x=14时，y=180；当x=16时，y=120，即点（14，180），（16，120）均在函数y=30x+600图象上y与x之间的函数关系式为y=30x+600；（2）w=（x6）（30x+600）=30x2+780x3600，即w与x之间的函数关系式为w=30x2+780x3600；（3）由题意得：6（30x+600）900，解得x15w=30x2+780x3600图象对称轴为：x=13a=300，抛物线开口向下，当x15时，w随x增大而减小，当x=15时，w最大=1350，即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元13、如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x

18、轴交于A、B两点，且A点坐标为（-3,0），经过B点的直线交抛物线于点D（-2，-3）.（1）求抛物线的解析式和直线BD解析式；（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EFBD,交抛物线于点F,是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由（1）将A（-3,0）,D(-2，-3)的坐标代入y=x2+bx+c得， 解得：，y=x2+2x3 2分 由x2+2x3=0，得： x1=-3，x2=1， B的坐标是（1,0），设直线BD的解析式为y=kx+b,则，解得： 直线BD的解析式为y=x1； 4分 （2）直线BD的解析式是y=x1，且EFBD,直线EF的解析式为：y=xa. 5分若四边形BDFE是平行四边形，则DFx轴,D、F两点的纵坐标相等，即点F的纵坐标为-3. 6分由，得当a=1时，E点的坐标（1，0），这与B点重合，舍去；当a=3时，E点的坐标（3，0），符合题意.存在实数a=3，使四边形BDFE是平行四边形. 10分2、如图所示，ABC中，A=