三角形的内切圆和外接圆

1、三角形外接圆半径的求法及应用方法一：Rab/(2h)三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。 AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆直径求证 AB·ACAE·AD 证：连接AO并延长交圆于点E，连接BE， 则ABE90°. EC， ABEADC90°， RtABERtADC， ， AB·ACAE·AD 方法二：2Ra/SinA，a为A的对边 在锐角ABC中，外接圆半径为R。求证： 2RAB/SinC 证：连接AO并延长交圆于点E，连接BE， 则ABE90°. AEAB/SinE CE，SinC SinE A

2、EAB/SinC 2RAB/SinC 若C为钝角，则SinCSin（180oC）应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。例1 已知：如图，在ABC 中，AC13，BC14，AB15，求ABC外接圆O的半径r.分析：作出直径AD，构造RtABD.只要求出ABC中BC边上的高AE，用方法一就可以求出直径AD.解：作AEBC，垂足为E.设CEx, AC2-CE2AE2AB2-BE2 ，132-x2152-(14-x)2 x=5,即CE5，AE12 Rab/(2h)=13x15/(2x12)=65/8ABC外接圆O的半径r为.例2 已知：在ABC中，AB13，BC12，AC5，求ABC的外接圆

3、的半径R. 分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。应用二、已知三角形的二边长及其夹角（特殊角），求外接圆的半径。 例3 已知：如图，在ABC 中，AC2，BC3，C60°，求ABC外接圆O的半径R. 分析：考虑求出角的对边长AB，然后用方法一或方法二解题. 解：作直径AD，连结BD.作AEBC，垂足为E. 则DBA90°，DC60°， CAEDAB 90° 60°30° CEAC1，AE，AB=7R=AC·AB/2AE=2x7/(2x)应用三、已知三角形的一边长二角度或对角的度数（特殊角），

4、求它的外接圆的半径。 用方法二例4 已知AD=5,AC=7,CD=3,AB=103，求它的外接圆的半径解 从A作AMBC于M，则AD2MD2A M2 AC2(MDCD)2即 52MD272(MD3)2得R14，则ABC外接圆面积SR2196例5 如图3，已知抛物线yx24xh的顶点A在直线y4x1上， 求抛物线的顶点坐标； 抛物线与x轴的交点B、C的坐标； ABC的外接圆的面积 解 A(2，9)； B(1，0)； C(5， 0) 从A作AMx轴交于M点， 则BMMC3AM 9R5ABC外接圆面积SR225三角形内切圆半径r的求法1 SABC=1/2(a+b+c)r r=2SABC/(a+b+c

5、)2 RtABC中,r=(a+b-c)/2三角形的内切圆和外接圆【知识要点】1、三角形的外接圆 （1）过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形的外心。三角形的外心到各顶点的距离相等（2）锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边中点，外接圆半径(为斜边长)2、三角形的内切圆 （1）到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线的交点，叫三角形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部 （2）若三角形的面积为，周长为a+b+c,则内切圆半径为:，当为直角三角形的直角边，为斜边时，内

6、切圆半径或.3、圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的对角互补；（2）圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角注意：圆内接平行四边形为矩形；圆内接梯形为等腰梯形4、两个结论： 圆的外切四边形对边和相等； 圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长·IABACA【典型例题】一、填空和选择（1）一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形一定是( ) A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形（2）如右图，I是的内心，则下列式子正确的是（ ）A、BIC=-2A B、BIC=2A C、BIC=+A/2 D、BIC=-A/2（3）外切于O，E、F、G分别是O与各边的切点，则的外心

7、是的 。（4）直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么它的外接圆的半径为 ，内切圆半径为 （5）等边三角形内切圆半径，外接圆半径分别为，则= （6）圆外切等腰梯形底角为，腰长为10，则圆的半径长为 （7）等边三角形一边长为2，则其内切圆半径等于 （8）等边三角形的内切圆半径，外接圆半径的和高的比是 （9）的内切圆I与AB、BC、CA分别切于D、E、F点，且FID=EID=，则为 例2如图，ABC中，I是内心，AI交BC于D，交ABC的外接圆于E。 求证：（1）IE=EC，（2）IE2=ED·EA。ABCEDI例3如图，已知内接于，AE切于点A，BCAE，求证：是等腰三角形·

8、;ABCOEP例4已知三边长为6，8，10，则它的内心，外心间的距离为 【经典练习】一、选择题 1.下列命题中，正确的有（ ） 圆内接平行四边形是矩形 圆内接菱形是正方形 圆内接梯形是等腰梯形 圆内接矩形是正方形 A1个 B2个 C3个 D4个 2.在圆内接四边形ABCD中，A：B：C=3：5：6，那么D=（ ） A80° B90° C100° D120° 3.如果一个直角三角形的一条直角边等于它的外接圆的半径r，那么此三角形的面积与其外接圆的面积之比为（ ） A B C D 4.如图1，四边形ABCD内接于O，若BOD=110°，则BCD=（

9、 ） A125° B110° C55° D70°ABCDO图1ABDCO图2ADPBC图35.如图2，四边形ABCD内接于O，ADC=60°，则ABC=（ ） A30° B60° C120° D90°6.如图3，正方形ABCD内接于O，点P在AD上，则BPC为（ ） A35° B40° C45° D50°7.如图4， 中，过点Q、M的圆与PQ、MN分别相交于点E、F，下列结论中正确的有（ ）EFN=Q=N；EFN+P=180°；EF=PN=MQ；M=FEP

10、。 A1个 B2个 C3个 D4个 8.如图5，四边形ABCD是O的内接四边形，AD为O的直径，若CBE=50°，则圆心角AOC =（ ） A50° B80° C100° D130°OFNPEQM图4AODCBE图5二、填空题9设I是ABC的内心，O是ABC的外心，A=80°，则BIC= ，BOC= 。10若三角形的三边长为5、12、13，则其外接圆的直径长等于 ，其内切圆的直径长为 。11直角三角形的一边为a，它的对角是30°，则此三角形的外接圆的半径是 。12如图6，I切ABC于D、E、F，C=60°，EIF=

11、100°，则B= 。DABCI EF图6AFCEBDO图7ADBCO图813如图7，O内切于RtABC，C=90°，D、E、F为切点。若AOC=120°，则OAC= ，B= ；若AB=2cm，则AC= ,ABC的外接圆半径= ，内切圆半径= 。14如图8，若弦ADBC，BAC=70°，ABC=80°，则ADC= 度，ACD= 度。15如图9，四边形ABCD为O的内接四边形，AECD，若ABC=130°，则DAE= 。BECDOA图9O图10PBCDA16如图10，四边形ABCD是O的内接四边形，AB与DC的延长线交于P。已知A=60&

12、#176;，ABC=100°，则P= 。【大展身手】一、选择题1下列说法正确的是（ ） A三点确定一个圆 B三角形有且只有一个外接圆 C四边形都有一个外接圆D圆有且只有一个内接三角形2下列命题中的假命题是（ ） A三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 B三角形的外心到三角形三边的距离相等 C三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上 D三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心3下列图形一定有外接圆的是（ ） A三角形B平行四边形C梯形D菱形4下列说法正确的是（ ） A过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点 B过两点A、B的圆的圆心在一条直线上 C过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一

13、点 D过四点A、B、C、D的圆不存在5在RtABC中，C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为（ ） A5cmB6cmC7cmD8cm6等边三角形的外接圆的半径等于边长的（ ）倍 ABCD7三角形的外心具有的性质是（ ） A到三边距离相等B到三个顶点距离相等 C外心在三角形外D外心在三角形内8对于三角形的外心，下列说法错误的是（ ） A它到三角形三个顶点的距离相等 B它与三角形三个顶点的连线平分三内角 C它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆半径 D以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点9在一个圆中任意引两条直径，顺次连接它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一定是（ ） A菱形B等腰梯形C矩形D正方形ADCBPQ10如图所示，圆的内接四边形ABCD，DA、CB延长线交于P，AC和BD交于Q，则图中相似三角形有（ ） A、1对B、2对 C、3对D、4对11DCE是圆