《圆的证明与计算》 专 题

1、2012中考数学复习圆的证明与计算 专 题 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。一、考点分析： 1.圆中的重要定理:(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.(2)垂径定理:主要是用来证明弧相等、线段相等、垂直关系等等.(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理:主要是用来证明垂直关系.(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个

2、关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现,圆与相似 圆与面积 圆与切线 动态圆三、解题秘笈：1、判定切线的方法：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,

3、要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.2、与圆有关的计算：计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：（1）构造思想：如：构建矩形转化线段；构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；构造勾股定理模型；构造三角函数.（2）方程思想：设出未知数表示关

4、键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。四、范例讲解：（一）圆与相似 1.（本小题满分8分）（2011山东滨州，22，8分）如图，直线PM切O于点M,直线PO交O于A、B两点，弦ACPM,连接OM、BC.求证：（1）ABCPOM;(2).2、（2011山东日照）（本题满分9分）如图，AB是O的直径，AC是弦，CD是O的切线，C为切点，ADCD于点D求证：（1）AOC=2ACD；（2）AC2AB&

5、#183;AD3、（2011山东烟台，25，12分）已知：AB是O的直径，弦CDAB于点G，E是直线AB上一动点（不与点A、B、G重合），直线DE交O于点F，直线CF交直线AB于点P.设O的半径为r.（1）如图1，当点E在直径AB上时，试证明：OE·OPr2（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由.ABCDEFP.OG（图1）.ABCDE.OG（图2）（二）圆与面积4、（2011东营）如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，ADBC，BD平分ABC，BAD=120°，四边形ABC

6、D的周长为15（1）求此圆的半径；（2）求图中阴影部分的面积5（2011山东莱芜）(10分)如图，AB是O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，DE3，连接BD，过点E作EMBD，交BA的延长线于点M(1)求O的半径；(2)求证：EM是O的切线；(3)若弦DF与直径AB相交于点P，当APD45º时，求图中阴影部分的面积AMDECOPBF6、（2011临沂）如图以O为圆心的圆与AOB的边AB相切于点C与OB相交于点D，且OD=BD，己知sinA=25，AC=21（1）求O的半径：（2）求图中阴影部分的面枳7、（2011山东枣庄）(本题满分8分)如图，点在的直径的延长线上，点在上，且

7、AC=CD，ACD=120°.第23题图（1）求证：是的切线；（2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积.（三）圆与切线8.（2011山东菏泽）（本题10分）如图，BD为O的直径，AB=AC,AD交BC于点E,AE=2，ED=4,(1)求证:ABEADB;(2)求AB的长；(3)延长DB到F,使得BF=BO,连接FA,试判断直线FA与O的位置关系，并说明理由. （第18题图）APCOBED9（2011山东聊城）(8分)如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，CDOA交半圆于点D，点E是的中点，连接AE、OD，过点D作DPAE交BA的延长线于点P(1)求AOD的度数；(2)

8、求证：PD是半圆O的切线10（2011山东淄博）(9分)已知：ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EFAC，垂足为F.（1）求证：直线EF是O的切线；（2）当直线DF与O相切时，求O的半径.（四）圆与新题型11 （2011山东德州）(本题满分10分) 观察计算当，时， 与的大小关系是_当，时， 与的大小关系是_探究证明如图所示，为圆O的内接三角形，为直径，过C作于D，设，BD=b（1）分别用表示线段OC，CD；（2）探求OC与CD表达式之间存在的关系（用含a，b的式子表示）归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出与的大小关系是：_实践

9、应用ABCOD要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值（五）圆与动点12（2011山东济宁）（10分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积. (第23题)13（2011山东德州） (本题满分12分) 在直角坐标系xoy中，已

10、知点P是反比例函数图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A（1）如图1，P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由（2）如图2，P运动到与x轴相交，设交点为B，C当四边形ABCP是菱形时：求出点A，B，C的坐标在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使MBP的面积是菱形ABCP面积的若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由APxyKO图11、【答案】证明：（1）直线PM切O于点M，PMO=90°1分 弦AB是直径，ACB=90°2分 ACB=PMO3分 ACPM, CAB=P 4分 ABCPOM5分(2) A

11、BCPOM, 6分 又AB=2OA,OA=OM, 7分8分2、答案(本题满分9分)证明：（1）CD是O的切线，OCD=90°， 即ACD+ACO=90° 2分OC=OA，ACO=CAO，AOC=180°-2ACO，即AOC+ACO=90°. 4分由，得：ACD-AOC=0，即AOC=2ACD；5分（2）如图，连接BCAB是直径，ACB=90°6分在RtACD与RtACD中，AOC=2B，B=ACD，ACDABC，8分，即AC2=AB·AD 9分3、【解】（1）证明：连接FO并延长交O于Q，连接DQ.FQ是O直径，FDQ90°

12、. QFDQ90°. CDAB，PC90°.QC，QFDP.FOEPOF，FOEPOF.OE·OPOF2r2.（2）解：（1）中的结论成立.理由：如图2，依题意画出图形，连接FO并延长交O于M，连接CM.FM是O直径，FCM90°，MCFM90°.CDAB，ED90°.MD，CFME. POFFOE，POFFOE.，OE·OPOF2r2.4、解答：解：（1）ADBC，BAD=120°ABC=60°又BD平分ABC，ABD=DBC=ADB=30°AB=AD=DC，BCD=60°AB=AD

13、=DC，DBC=90°又在直角BDC中，BC是圆的直径，BC=2DCBC+32BC=15BC=6此圆的半径为3（2）设BC的中点为O，由（1）可知O即为圆心连接OA，OD，过O作OEAD于E在直角AOE中，AOE=30°OE=OAcos30°=332SAOD=12×3×332=934S阴影=S扇形AODSAOD=60×32360934=32934=69345、答案：解：连结OE，DE垂直平分半径OAOC=,OEC=30°（2）由（1）知：AOE=60°，,BDE=60°BDME，MED=BDE=60

14、76;MEO=90°EM是O的切线。（3）连结OFDPA=45°EOF=2EDF=90°6、解答：解：（1）连接OA，以O为圆心的圆与AOB的边AB相切于点CCOAB，sinA=25=COAO，AC=21假设CO=2x，AO=5x，4x2+21=25x2，解得：x=1，CO=2，O的半径为2；（2）O的半径为2；DO=2，DO=DB，BO=4，BC=23，2CO=BO，OBC，CBO=30°，COD=60°，图中阴影部分的面枳为：SOCBS扇形COD=12×23×260×22360=23237、(本题满分8分)（1

15、）证明：连结. ， .2分 , . . 是的切线. 4分（2）解:A=30o，. 6分在RtOCD中, . . 图中阴影部分的面积为. 8分8答案、.解:(1)证明:AB=AC,ABC=C,C=D,ABC=D,又BAE=EAB,ABEADB, 3分(2)ABEADB,，AB=. 6分(1) 直线FA与O相切，理由如下:连接OA，BD为O的直径，BAD=90°，BF=BO=,AB=,直线FA与O相切 9. （1）解：点C时OA的中点，OC=OA=ODCDOA，OCD=90°。在RtOCD中，cosCOD=COD=60°，即AOD=60°。（2）证明：连结O

16、E，点E是的中点，BOE=DOE=DOB=（180°-COD）=（180°-60°）=60°。OA=OE，EAO=AEO，又EAO+AEO=EOB=60°EAO=30°，PDAE，P=EAO=30°。由（1）知AOD=60°，PDO=180°-（P+POD）=180°-（30°+60°）=90°，PD是半圆O的切线。10【答案】解：（1）证明：连接OE，则OB=OE。ABC是等边三角形，ABC=C=60°。OBE是等边三角形。OEB=C =60°

17、。OEAC。EFAC，EFC=90°。OEF=EFC=90°。EF是O的切线。（2）连接DF, DF是O的切线，ADF=90°。设O的半径为r，则BE=r，EC=，AD=。在RtADF中，A=60°， AF=2AD=。FC=。在RtCEF中 ， C=60°， EC=2FC。=2（）。解得。O的半径是。11（本题满分10分）观察计算:>， =. 2分探究证明：（1），3分AB为O直径,.， A=BCD. 4分.即,. 5分（2）当时, =；时, >6分结论归纳: 7分实践应用设长方形一边长为米,则另一边长为米,设镜框周长为l米，则 9

18、分当,即（米）时,镜框周长最小此时四边形为正方形时,周长最小为4 米.10分12（1）解：设抛物线为.抛物线经过点（0，3），.抛物线为.3分 (2) 答：与相交. 4分证明：当时，. 为（2，0），为（6，0）.设与相切于点，连接，则.，.又，.6分抛物线的对称轴为，点到的距离为2.抛物线的对称轴与相交. 7分(3) 解：如图，过点作平行于轴的直线交于点.可求出的解析式为.8分设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）. . , 当时，的面积最大为.(第23题) 此时，点的坐标为（3，）. 10分 13（本题满分12分）解：（1）P分别与两坐标轴相切， PAOA，PKOK PAO=OKP=90° 又AOK=90°， PAO=OKP=AOK=90° 四边形OKPA是矩形 又OA=OK， 四边形OKPA是正方形2分OAPxyBC图2GM（2）连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为过点P作PGBC于G四边形ABCP为菱形，BC=PA=PB=PCPBC为等边三角形在RtPBG中，PBG=60°，PB=PA=x，PG=sinPB