主成分分析法

1、主成分分析法主成分分析法 概念：概念：把原来多个变量划为少数几个综合指标把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法，是一种降维处理技术的一种统计分析方法，是一种降维处理技术. 主成分分析法主成分分析法 一个研究对象，往往是多要素的复杂系统。变量太多无疑会增一个研究对象，往往是多要素的复杂系统。变量太多无疑会增加分析问题的难度和复杂性，利用原变量之间的相关关系，用较少加分析问题的难度和复杂性，利用原变量之间的相关关系，用较少的新变量代替原来较多的变量，并使这些少数变量尽可能多的保留的新变量代替原来较多的变量，并使这些少数变量尽可能多的保留原来较多的变量所反应的信息，这样问题就简单化了。

2、原来较多的变量所反应的信息，这样问题就简单化了。研究研究对象对象指指 标标x1 x2 xj xp12i inx11 x12 x1j x1px21 x22 x2j x2p xi1 xi2 xij xip xn1 xn2 xnj xnp 假设有假设有n个对象，每一个对象都有个对象，每一个对象都有x1，x2，xp个指标构个指标构成，它们所对应的要素数据用下表给出：成，它们所对应的要素数据用下表给出：一、基本原理一、基本原理 原变量为原变量为x1，x2，xp，降维处理后，设它们的综，降维处理后，设它们的综合指标，即新变量为合指标，即新变量为z1，z2，z3，zm(mp)，则则pmpmmmppppxlx

3、lxlzxlxlxlzxlxlxlz.22112222121212121111z1称为原变量称为原变量x1，x2，xp的第的第一一主成分主成分Z2称为原变量称为原变量x1，x2，xp的第的第二二主成分主成分 .zm称为原变量称为原变量x1，x2，xp的第的第m主成分主成分 找找主成分主成分zi就是要就是要确定系数确定系数lij。从数学上知道，从数学上知道，它们分别是它们分别是x1，x2，xp的的相关系数矩阵相关系数矩阵的的m个个较大的较大的特征值特征值所对应的所对应的特征向量特征向量。二、二、 主成分分析的计算步骤主成分分析的计算步骤nknkjkjikinkjkjikiijxxxxxxxxr1

4、1221相关系数计算公式相关系数计算公式1、计算相关系数、计算相关系数据公式得这据公式得这p个变量之间的相关系数矩阵为个变量之间的相关系数矩阵为pppppprrrrrrrrrR.212222111211主成分主成分zi的贡献率为的贡献率为 piQi，.21p1kki前前i个主成分的累计贡献率为个主成分的累计贡献率为 piQpkkikk，.21113、计算主成分贡献率及累计贡献率、计算主成分贡献率及累计贡献率 当前当前 i个主成分累计贡献率达到个主成分累计贡献率达到85%95%，就取前就取前i个个主成分作为新变量。主成分作为新变量。 pjielijiij，.214、计算主成分载荷、计算主成分载荷

5、计算公式为计算公式为得前得前i个主成分在原变量上的载荷个主成分在原变量上的载荷原变量原变量xi主成分主成分Z1Z2Zix1x2xpl11l12l1pl21l22l2pli1li2lip三、主成分分析方法的三、主成分分析方法的SPSS实现实现对45个城市7项经济指标进行主成分分析 1、数据导入到数据窗口中，定义各变量，确保各变量均为数值型。2、激活Analysis 菜单选Data Reduction 的Factor.命令项，弹出Factor Analysis 对话框。在对话框左侧的变量列表中选变量X1 至X7，点击钮使之进入Variables 框。Descriptives.钮变量的均数变量的均数

6、与标准差与标准差相关系数矩阵相关系数矩阵Extraction.钮：因子提取方法钮：因子提取方法主成分分析法主成分分析法未加权最小平方法未加权最小平方法极大似然估计法极大似然估计法指定分析矩阵指定分析矩阵提取结果提取结果与因子提取有关与因子提取有关的输出项的输出项迭代次数迭代次数Rotation.钮：因子旋转方法钮：因子旋转方法旋转的目的是为了获得简单结构，以帮助我们解释因子不作因子旋转不作因子旋转正交旋转正交旋转Scores.钮：估计因子得分系数的方法钮：估计因子得分系数的方法D De es sc cr ri ip pt ti iv ve e S St ta at ti is st ti ic

7、 cs s614.8580530.2189735.4800.1649435121.157494.6763835840.73171017.738233566.760684.6623635646.6091622.4701335118.4957127.3909335x1x2x3x4x5x6x7MeanStd. DeviationAnalysis N结果解释结果解释均数与标准差均数与标准差C Co or rr re el la at ti io on n M Ma at tr ri ix x1.000-.341.843.360.404.497.469-.3411.000-.475.309.358.26

8、1.311.843-.4751.000.336.324.446.374.360.309.3361.000.941.848.861.404.358.324.9411.000.923.953.497.261.446.848.9231.000.973.469.311.374.861.953.9731.000 x1x2x3x4x5x6x7Correlationx1x2x3x4x5x6x7相关系数矩阵相关系数矩阵K KM MO O a an nd d B Ba ar rt tl le et tt t s s T Te es st t.739313.41721.000Kaiser-Meyer-Olkin

9、Measure of SamplingAdequacy.Approx. Chi-SquaredfSig.Bartletts Test ofSphericityBartlett 检验Bartlett 值值= 313.417，P0.0001，即相关矩阵，即相关矩阵不是一个单位矩阵，故不是一个单位矩阵，故考虑进行因子分析。考虑进行因子分析。T To ot ta al l V Va ar ri ia an nc ce e E Ex xp pl la ai in ne ed d4.31561.63861.6384.31561.63861.6381.95427.91789.5541.95427.91789

10、.554.3605.13894.692.1852.64497.335.1381.97899.313.033.47399.786.015.214100.000Component1234567Total % of VarianceCumulative %Total % of VarianceCumulative %Initial EigenvaluesExtraction Sums of Squared LoadingsExtraction Method: Principal Component Analysis.特征值、贡献率及累积贡献率特征值、贡献率及累积贡献率C Co om mp po on

11、 ne en nt t M Ma at tr ri ix xa a.613-.686.212.866.549-.775.910.210.954.234.963.096.962.162x1x2x3x4x5x6x712ComponentExtraction Method: Principal Component Analysis.2 components extracted.a. 主成分载荷主成分载荷因子得分因子得分第一主成分第一主成分第二主成分第二主成分三、实例三、实例1：对中国大陆对中国大陆31个省（市、区）的第三产业综合个省（市、区）的第三产业综合发展水发展水 平进行主成分分析。平进行主成分

12、分析。1、构建评价第三产业综合发展水平的指标体系，并对原始、构建评价第三产业综合发展水平的指标体系，并对原始数据进行标准化处理。这里用于评价第三产业综合发展水平数据进行标准化处理。这里用于评价第三产业综合发展水平的指标有的指标有人均人均GDP x1 人均第三产业增加值人均第三产业增加值 x2 第二产业增加值比重第二产业增加值比重 x3 第三产业增加值比重第三产业增加值比重 x4 第三产业从业人员比重第三产业从业人员比重 x5 第三产业固定资产投资比重第三产业固定资产投资比重 x6 城市化水平城市化水平 x72、计算各指标之间的相关系数矩阵、计算各指标之间的相关系数矩阵1219. 0839. 0

13、648. 0175. 0808. 0783. 0219. 01003. 0046. 007. 0003. 0001. 0839. 0003. 01712. 0218. 0854. 0822. 0648. 0046. 0712. 01271. 0752. 0657. 0175. 007. 0218. 0271. 01241. 0339. 0808. 0003. 0854. 0752. 0241. 01988. 0783. 001. 0822. 0657. 0339. 0988. 0176543217654321xxxxxxxxxxxxxxRij3、计算出相关系数矩阵的特征值、计算出相关系数矩阵的

14、特征值主成分主成分zi特征值特征值i贡献率（贡献率（%）累计贡献率（累计贡献率（%）Z1Z2Z3Z4Z5Z6Z74.1981.2261.0360.2680.1740.09610.0028759.97217.50714.7943.8322.4821.3730.041159.97277.47992.27396.10598.58699.959100从上表知：前三个主成分累计贡献率达从上表知：前三个主成分累计贡献率达92.273%，因此，这三个主成，因此，这三个主成分分Z1、Z2、Z3能够充分反映能够充分反映31个区域第三产业发展的综合水平个区域第三产业发展的综合水平 。4、计算主成分载荷、计算主成分

15、载荷 原变量原变量xi主成分载荷主成分载荷lij第一主成分第一主成分l1i第二主成分第二主成分l2i第三主成分第三主成分l3jx1x2x3x4x5x6x70.9460.9710.2200.7950.930-0.07630.8990.1390.02250.945-0.5140.00086-0.220.03320.1230.10.162-0.0910.07020.967-0.187 3、第三主成分第三主成分在在第三产业固定资产投资比重第三产业固定资产投资比重x6上有较大上有较大的载荷，这说明对第三产业的的载荷，这说明对第三产业的投资投资是第三产业是第三产业可持续发展可持续发展的的重要支撑。重要支撑

16、。从上表可知：从上表可知： 1、第一主成分第一主成分在在人均人均GDPx1、人均第三产业增加值人均第三产业增加值x2、第三产业从业人员比重第三产业从业人员比重x5、城市化水平城市化水平x7上具有很大的载荷，上具有很大的载荷，这些原变量几乎包含了第三产业的主要指标。因此，这些原变量几乎包含了第三产业的主要指标。因此，第一主第一主成分成分在一定程度上就代表了在一定程度上就代表了第三产业的综合发展水平。第三产业的综合发展水平。 2、第二主成分第二主成分在在第二产业增加值比重第二产业增加值比重x3上有较大的载荷，上有较大的载荷，表明表明第二主成分第二主成分在一定程度上代表在一定程度上代表工业化程度工业

17、化程度。5 计算各省区在一二三主成分上的综合得分计算各省区在一二三主成分上的综合得分序号序号 得分得分区域区域第一主成分第一主成分 L1第二主成分第二主成分 L2第三主成分第三主成分L3综合得分综合得分L位次位次1北京北京3.055-1.1640.8861.75922天津天津1.6950.418-1.5670.85833上海上海3.2570.878-0.07322.096123四川四川-0.7450.1430.571-0.33723队员科学成绩 智力水平 动手能力 写作能力 外语水平 协作能力 其他特长A8.698.287.99.56B8.28.88.16.57.79.12C88.68.58.59.29.68D8.68.98.39.69.79.78E8.88.48.57.78.69.29