相似三角形复习教师版数学

1、初中数学 备课组教师 班级 初三Mini学生 日期 月日上课时间 教学内容：相似形复习重要知识点：1.掌握相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方等性质，能应用他们进行简单的证明和计算.2.掌握直角三角形中成比例的线段：斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；每一条直角边是则条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项，会用他们解决线段成比例的简单问题.考查重点与常见题型一、 相似三角形性质的应用能力，如：若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1:2，则这两个三角形的对应高线之比是1:2，对应中线之比是1:2，周长之比是1:2，

2、面积之比是1:4，若两个相似三角形的面积之比是1:2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是，对应边上的高线之比是，对应边上的中线之比是，周长之比是.常见题型1：三角形与其内接四边形1.如图，正方形EDFC内接于三角形ABC，若BC=3，AC=4，则正方形EDFC的面积为.2.如图，已知菱形ADFE内接于ABC，D、F、E分别在AB、BC、AC上，如果AB21cm，CA15cm，求菱形AMNP的周长为20.3.如图，正方形DEMF内接于ABC，若，求.解：过A点作AQBC于Q，交DE于P正方形的面积为4 DEMF2 AP1DEBC ADEABC 即BC6 解：过A作BC垂线，垂足为N，交DG于M

3、.第一种情况：DG=4，DE=6DG:BC=AM:AN AM=3,AN=9 S=54第二种情况：DG=6,DE=4此时AM=4，AN=8 S=484.如图，在锐角ABC中，BC=12.矩形DEFG的顶点D在AB边上，顶点E、F在BC边上，顶点G在AC边上.如果矩形DEFG的长为6，宽为4，求ABC的面积。常见题型2：定比分割点问题1.如图，ABC中，AD=2DC，G是BD的中点，AG延长线交BC于点E，则BE：EC的值为.2.如图，平行四边形ABCD中，E是AB的中点，G是AC上一点，AG：GC=1:5，连EG延长交AD于点F，则DF：AF的值为3.3.如图，在ABC中，点D是AC的中点，3B

4、E=2EC，AE与BD相交于点F。求DF：BF的值。解：过D点作AE的平行线，交BC于P点D是AC的中点且DPAE PECP 3BE=2EC BE:EC2:3 BE:EP=4:3 4.如图，RtABC中，ACB=90°，P为斜边AB上一点(不与A、B重合)，AECP交CP于F，交BC于E。已知：AC=3,BC=4，设AP=x，BE=y，求y关于x的函数解析式。解：过B点作CB的垂线，交CP延长线于G点C=90°，AC=3，BC=4 AB=5BGBC CBG=90° ACBG PACPBDBG:AC=BP:AP BG:3=(5-x):x AECP ACECBG CE

5、:BG=AC:BC (4-y):BG=3:4 二、 考查直角三角形的性质，如：如图，在RtABC中，ACB=90°,CDAB与D，AC=6，BC=8，则AB=10，CD=4.8，AD=3.6，BD=6.4.射影定理：熟练掌握射影定理可以更好地抓住解题思路。1.如图，已知等腰ABC中，AB=AC，AD，BF分别为BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC延长线于H，求证：DE2=EGEH证：AD，BF分别为BC，AC边上的高且DEABDEB=DEA=90°=ADB由射影定理，可知RtABD中，DE2=AEBEGBE+EGB=90°，H+HGF

6、=90°EGB=HGF GBE=H BEGHEABE:HE=EG:AE EG·HE=AE·BE DE2=EGEH2.如图，等腰直角三角形ABC中，E为AC中点，过点A作AG垂直BE，垂足为G，BC中点D与点G的连线延长，交AC于F。45°.熟悉常用的直角三角形，如含30°，45°角的；三边比为3:4:5或的直角三角形。牢记直角三角形中“一线3角2相似”的例题。1.在等腰ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，若将ABC沿直线BD翻折，使点C落在直线AC上的C处，则AC=2.2.2.如图，已知正方形ABCD，E是AB的中点，F是AD上的

7、一点，EGCF且AF=AD，于，(1)求证：CE平分BCF(2) AB2=CGFG证：(1)E是正方形ABCD边AB的中点且AF=ADAF:BE=AE:BC=1:2且A=B=90°EAFCBE AEF=BCE且EF:EC=1:2BEC+BCE=90°BEC+AEF=90° FEC=90°且此两角均为锐角 CE平分BCF(2)EGCF且FEC=90° CG·FG=EG2 CE平分BCF EG=BE= AB2=CGFG3.如图所示，矩形ABCD中，AD=a，AB=b，要使BC边上至少存在一点P，使ABP、DPA、PCD两两相似，则a、b之

8、间的关系一定满足(D) A、abB、abC、abD、a2b三、 综合考查三角形中有关论证或计算能力.1.如图，已知ABC中，AD为BC边中线，E为AD上一点，并且CE=CD,EAC=B求证：AECBDA，DC2=ADAE证：CE=CD CED=CDE CEA=ADBEAC=B AECBDA AE:BD=CE:ADAD为BC边中线 BC=CD CE=CDAE:DC=DC:AD DC2=ADAE2.如图，在ABC中，BD平分ABC，交AC与点D，点E在BD延长线上，BA·BD=BC·BE.(1)求证：AE=AD；(2)如果点F在BD上，CF=CD，求证：证：(1)BD平分ABC

9、 ABE=CBEBA·BD=BC·BE. BA:BC=BE:BDABECBD BDC=BEABDC=ADE ADE=BEA AE=AD(2)CF=CD CFD=BDC CFD=ADE BFC=BDABCFBAD BD:BF=BA:BC BD:BF=BE:BD 3.如图，已知P为ABC的BC边上的一点，PQAC交AB于Q，PRAB交AC于R，求证：AQR面积为BPQ面积和CPR面积的比例中项.证：PQAC，PRAB 四边形PQAR是平行四边形PR=AQ，BPQBCAPCR AQR面积为BPQ面积和CPR面积的比例中项4.如图，已知在RtABC中，C=90°，BC=2

10、，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PDAB，交边AC于点D(点D与点A、C都不重合)，E是射线DC上一点，且EPD=A。设A、P两点的距离为x，BEP的面积为y。(1)求证：AE=2PE；(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；当BEP与ABC相似时，求BEP的面积。解：(1)APD=C=90°, A=A ADPABC EPD=A，PED=AEP，EPDEAP，AE=2PE(2)作EHAB，垂足为点HEPDEAP PE=2DE，AE=2PE=4DEAP=x，则PD=x PDHE，HE=x.又AB=2，y=(2x)·x，即y=(0x)(3)由PEHBAC，得，PE

11、=x·=x，若BEPABC，则当BEP=90°时，解得x=，y=；当EBP=90°时，同理可得x=，y=5.已知，如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且AOC=60°，点B的坐标是(0,8)，点P从点C开始以每秒1个单位长的速度在线段CB上向点B移动，同时，点Q从点O开始以每秒a(1a3)个单位长的速度沿射线OA方向移动，设t(0<t8)秒后，直线PQ交OB于点D。(1)求AOB的度数及线段OA的长；(2)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；(3)当a=3，OD=时，求t的值及此时直线PQ的解析式；(4)当a为何值时，以O，Q，D

12、为顶点的三角形与OAB相似？当a为何值时，以O，Q，D为顶点的三角形与OAB不相似？请给出你的结论，并加以证明。解：联结AC交OB于M(1)四边形ABCO是菱形，AOC=60° AOB=30°则OM=OB，AMOB，AM=4，OA=8(2)由(1)可知，A(4，4)，B(0,8)，C(-4，4)设经过A、B、C三点的抛物线为，解得经过ABC三点的抛物线为(3)当a=3时，CP=t，OQ=3t，OD= PB=8-t，由OQDBPD，得，即t=.当时，同理可求Q设直线PQ的解析式为，则，直线PQ的解析式为(4)当a=1时，ODQOBA；当1<a<3时，以O、Q、D为顶点的三角形与OAB不能相似；当a=3时，ODQOAB。理由如下：若ODQOBA，可得ODQ=OBA，此时PQAB，四边形PCOQ为平行四边形，CP=OQ。即at=t(0<t8)，a=1故当a=