高中数列例题汇总

1、数列典型例题选讲1 已知数列为正项等比数列,(1)求的通项公式; (2)设的前n项和为,求【解析】 2 设数列的前项和为 已知(I)设,证明数列是等比数列 (II)求数列的通项公式【解析】(I)由及,有由,. 则当时,有.-得又,是首项,公比为2的等比数列.(II)由(I)可得,数列是首项为,公差为的等比数列. , 3 已知等比数列中,.()若为等差数列,且满足,求数列的通项公式;()若数列满足,求数列的前项和.【解析】()在等比数列中,. 所以,由得,即, 因此, 在等差数列中,根据题意, 可得, 所以, ()若数列满足,则, 因此有 4 设数列的前项和为,满足(,t为常数) ,且.()当时

2、,求和; ()若是等比数列,求t的值; ()求.【解析】解法一()当时,当时, 两式相减得(*) 时, ,得 因为,得 ,故 (*) 因为,所以, ()由(*)可知(),若是等比数列,则成等比数列 即 因为,所以 即,所以或.经检验,符合题意 ()由(*)可知() 当时,此时, 当时, 此时, 所以 解法二()因为 及,得 所以 且,解得 同理 ,解得 ()当时, 得 , 两式相减得(*) 即 当t=0时,显然是等比数列 当时,令,可得 因为 是等比数列,所以为等比数列,当时,恒成立, 即 恒成立,化简得 恒成立, 即,解得, 综合上述,或 ()当时,由(*)得 数列是以1为首项,1为公差的等

3、差数列,所以 当时,由(*)得, 设(k为常数) 整理得, 显然 所以, 即数列是以为首项,为公比的等比数列 所以,即 所以 所以 5 已知数列的前n项和为, 且满足,( I ) 求的值; (II) 求证数列是等比数列; ( III ) 若, 求数列的前n项和.【解析】(I)因为,令, 解得 再分别令,解得 (II)因为,所以, 两个代数式相减得到 所以 , 又因为,所以构成首项为2, 公比为2的等比数列 (III)因为构成首项为2, 公比为2的等比数列,所以,所以 因为,所以 所以 令 因此 所以 6 已知成等差数列.又数列此数列的前n项的和Sn()对所有大于1的正整数n都有.(1)求数列的

4、第n+1项; (2)若的等比中项,且Tn为bn的前n项和,求Tn.【解析】(1)成等差数列, , 是以为公差的等差数列. , (2)数列的等比中项, 7 设数列的前项和为,且;数列为等差数列,且(1)求数列的通项公式;(2)若为数列的前项和,求证【解析】(1)由 (2)数列为等差数列,公差 从而 从而 8 在数列中,(1)设,求数列的通项公式(2)求数列的前项和【解析】(I)由已知有利用累差迭加即可求出数列的通项公式 ()(II)由(I)知,=而,又是一个典型的错位相减法模型,易得 =9 ,是方程的两根, 数列是公差为正的等差数列,数列的前项和为,且(1)求数列,的通项公式; (2)记=,求数

5、列的前项和.【解析】(1)由.且得 , 在中,令得当时,T=,两式相减得, (2), , =2=, 10已知数列的前项和为,且是与2的等差中项,数列中,点 在直线上()求和的值; ()求数列,的通项和; () 设,求数列的前n项和【解析】(1)是与2的等差中项, 解得, 解得(2) 又 又 即数列是等比数列 又点在直线上, ,即数列是等差数列,又(3)因此由错位相减法得, 11已知在等差数列中,前7项和等于35,数列中,点在直线上,其中是数列的前项和(1)求数列的通项公式; (2)求证数列是等比数列;(3)设为数列的前项和,求并证明;【解析】(1)设数列的公差为d,则由题意知得 (2)点在直线

6、上 - , - -得, 又当时, 数列是以为首项,为公比的等比数列 (3)由(2)知, - - 得, = = 由知的最小值是 12设数列的前项和为,且满足.()求证数列为等比数列; ()求通项公式; ()设,求证. 【解析】证明(), . 又, 是首项为,公比为的等比数列且. ()时, 时, . 故. () . 【命题意图】 数列既是高中数学的重点,也是难点.掌握好等差、等比数列的通项公式和前项和公式,能用概念判断是否为等差、等比数列.常见考点与的关系(注意讨论);递推猜想数学归纳法证明;迭加;迭乘;裂项求和;错位相减等;数列不等式证明中注意放缩法的运用. 13已知等差数列an的首项0,且第一

7、项、第三项、第十一项分别是等比数列bn的第一项、第二项、第三项(I)求数列an和bn的通项公式;(II)设数列cn对任意的,求数列cn的前n项和【解析】(I)由已知 数列an的通项公式;数列bn的通项公式 (II)由 ) 又 所以数列的前n项和 14设数列的首项,前项和为,且点在直线(为与无关的正实数)上.() 求证数列是等比数列;() 记数列的公比为,数列满足.设,求数列的前项和;() 在()的条件下,设,证明.【解析】()因为点在直线(为与无关的正实数)上, 所以,即有. 当时,. 由,解得,所以. 当 -,得 ,整理得. 综上所述,知 ,因此是等比数列 () 由() 知,从而, 所以.

8、因此,是等差数列,并且. 所以, () 由()知,则. 将用二项式定理展开,共有项,其第项为 , 同理,用二项式定理展开,共有项,第项为,其前项中的第项为, 由, 得又, 15已知递增的等比数列满足,且是的等差中项.()求数列的通项公式;()若,是数列的前项和,求使成立的的最小值.【解析】()设等比数列的公比为,依题意有, (1) 又,将(1)代入得.所以. 于是有 解得或 又是递增的,故 所以 (), 故由题意可得,解得或.又, 所以满足条件的的最小值为13 16已知数列中,且当时,函数取得极值()求数列的通项; ()在数列中,求的值【解析】() 由题意 得 , 又 所以 数列是公比为的等比

9、数列 所以 () 因为 , 所以 , 叠加得 把代入得 = 17已知数列的前项和为,且.()求数列的通项公式; ()令,求数列的前项和为.【解析】 ()当时, 当时, 即; ()当时, 当时, 令 利用错位相减法解得 所以 18等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （11）当b=2时，记 证明对任意的 ，不等式成立【解析】因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,当时,又因为为等比数列,所以,公比为,（2）当b=2时，, 则,所以下面用数学归纳法证明不等式成立. 当时,左边=,右边=

10、,因为,所以不等式成立. 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=所以当时,不等式也成立.由、可得不等式恒成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 19已知数列的前项的和为,对一切正整数都有.()求数列的通项公式; ()当,证明.【解析】()令,则, ()证明又, 20已知数列中,点()在直线上,其中()令()求数列()设的前n项和,是否存在实数,使得数列为等差数列?若存在,试求出.若不存在,则说明理由【解析】(1)由已知得 又是以为首项,以为公比的等比数列 (2)由(1)知,将以上各式相加得 (3)解法一存在,使数列是等差数列. 数列是等差数列的充要条件是、是常数即又当且仅当,即时,

11、数列为等差数列 21数列中,且(1)求数列的通项公式;(2)设求(3)设,是否存在最大整数m,使得对 有成立?若存在,求出m的值,若不存在,说明理由【解析】(1)由题意,为等差数列,设公差为d由题意得(2)若(3)若对任意成立,即对任意成立,的最小值是,的最大整数值是7即存在最大整数m=7,使对任意,均有22数列的通项，其前项和为.（1）求； （2）令，求数列的前n项和【解析】由于，故故 （2），两式相减得故23各项均为正数的数列,且对满足的正整数,都有(1)当,时,求通项; (2)证明对任意,存在与有关的常数,使得对于每个正整数,都有.【解析】(1)由得,将,代入上式化简得,所以. 故数列为

12、等比数列,从而,即.可验证,满足题设条件.(2)由题设的值仅与有关,记为,则.考察函数,则在定义域上有故对,恒成立.又,注意到,解上式得取,即有.24设数列满足其中为实数,且()求数列的通项公式()设,求数列的前项和;()若对任意成立,证明【解析】 (1) 方法一 当时,是首项为,公比为的等比数列 ,即 当时,仍满足上式 数列的通项公式为 方法二 由题设得当时, 时,也满足上式 数列的通项公式为 (2) 由(1)得 (3)由(1)知 若,则 由对任意成立,知下面证,用反证法 方法一假设,由函数的函数图象知,当趋于无穷大时,趋于无穷大 不能对恒成立,导致矛盾 方法二假设, 即 恒成立 (*) 为

13、常数, (*)式对不能恒成立,导致矛盾, 25已知曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为（1）求数列的通项公式； （2）证明.【解析】（1）设直线，联立得，则，（舍去），即，（2）证明由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，即在恒成立，又，则有，即. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m m26已知函数R,数列,满足条件(N*),.()求数列的通项公式;()求数列的前项和,并求使得对任意N*都成立的最大正整数;()求证.【解析】()由题意, , , , 数列是首项为2,公比为2的等比数列 . (), , N*. 当时,取得最小值 由题意得,得. Z, 由题意得 ()证明

14、 . (N*) 27已知等差数列的公差为d(d0),等比数列的公比为q(q>1)设=+.+ ,=-+.+(-1 ,n (I)若= 1,d=2,q=3,求 的值;(II)若=1,证明(1-q)-(1+q)=,n; () 若正数n满足2nq,设的两个不同的排列, , 证明【解析】 ()解由题设,可得 所以, ()证明由题设可得则 式减去式,得 式加上式,得 式两边同乘q,得 所以, ()证明 因为所以 (1)若,取i=n (2)若,取i满足且 由(1),(2)及题设知,且 当时,得 即, 又所以 因此 当同理可得,因此 综上, 28已知点P在曲线C上,曲线C在点P处的切线与函数的图象交于点A

15、,与x轴交于点B,设点P的横坐标为t,点AB的横坐标分别为xAxB,记.(1)求的解析式;(2)设数列an满足,求数列an的通项公式;(3)在 (2) 的条件下,当1 < k < 3时,证明不等式.【解析】(1) 切线方程为与y = kx联立得,令y = 0得xB = 2t (2) 由 两边取倒数得 是以为首项,为公比的等比数列(时)或是各项为0的常数列(k = 3时),此时an = 1时 当k = 3时也符合上式 (3) 作差得 其中由于 1 < k < 3, 当29设数列的前项和为,对任意的正整数,都有成立,记(I)求数列的通项公式;(II)记,设数列的前项和为,求

16、证对任意正整数都有;(III)设数列的前项和为已知正实数满足对任意正整数恒成立,求的最小值【解析】（）当时，又 数列成等比数列，其首项，公比是 （）由（）知= 又当当（）由（）知一方面，已知恒成立，取n为大于1的奇数时，设则 >对一切大于1的奇数n恒成立只对满足的正奇数n成立，矛盾。另一方面，当时，对一切的正整数n都有事实上，对任意的正整数k，有当n为偶数时，设则<当n为奇数时，设则 <对一切的正整数n，都有综上所述，正实数的最小值为4 30函数是定义在R上的偶函数,且时,记函数的图像在处的切线为,() 求在上的解析式;() 点列在上,依次为x轴上的点,如图,当时,点构成以为

17、底边的等腰三角形若,求数列的通项公式;()在 ()的条件下,是否存在实数a使得数列是等差数列?如果存在,写出的一个值;如果不存在,请说明理由【解析】() 函数是定义在R上的偶函数,且 ;是周期为2的函数 由 可知=-4 , () 函数的图像在处的切线为,且, 切线过点且斜率为1,切线的方程为y=x+1 在上,有 即 点构成以为底边的等腰三角形 同理 两式相减 得 () 假设是等差数列 ,则 故存在实数a使得数列是等差数列 31 数列的概念数列数列的概念定义求通项数列的表示分类等差数列等比数列特殊数列求和特殊数列定义通项公式前n项和公式性质应用【知识网络】【考点透视】一、考纲指要1理解数列的概念

18、，了解数列通项公式的意义.二、命题落点1能合理地由数列前几项写出通项公式；如例1，例3；2掌握项和与通项的重要关系：如例2，练习5.【典例精析】例1（2005湖南）已知数列满足，则=（ ）A0BCD解析：由a1=0,得a2=由此可知: 数列an是周期变化的,且三个一循环,所以可得:a20=a2=答案：B例2:（2005上海）用个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵。对第行，记，例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，=_.解析：在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360，答案：

19、.例3.(2005湖南)自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，nN*，且x10.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，C （1）求xn+1与xn的关系式； （2）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明） （3）设a2，b1，为保证对任意x1（0,2），都有xn0，nN*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论.解析：（1）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖

20、量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为 （2）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， nN*，从而由（*）式得 因为x1>0，所以a>B猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.（3）若b的值使得xn>0，nN*由xn+1=xn(3bxn), nN*, 知0<xn<3b, nN*, 特别地，有0<x1<3B 即0<b<3x1.而x1(0, 2)，所以，由此猜测b的最大允许值是1.下证 当x1(0, 2) ，b=1时，都有xn(0, 2), nN*当n=1时，结论显然成立.假设当n=k时结论成立，即xk(0, 2)

21、,则当n=k+1时，xk+1=xk(2xk)>0.又因为xk+1=xk(2xk)=(xk1)2+11<2,所以xk+1(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.由、可知，对于任意的nN*，都有xn(0,2).综上所述，为保证对任意x1(0, 2), 都有xn>0， nN*，则捕捞强度b的最大允许值是1.【常见误区】1第项与项数之间的对应关系搞错；2不能正确地应用前和公式来求通项公式.【基础演练】1已知数列满足，则当时，（ ）A B C D2816357492将n2个正数1，2，3，n2填入n×n方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻

22、方，记f(n)为n阶幻 方对角线的和，如右图就是一个3阶幻方，可知f(3)=15，则f(4)=（ ）A32B33C34D353一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）：第1行1第2行2 3第3行4 5 6 7 则第9行中的第4个数是（ ）A132 B255C259D2604如果且,则（）A2006 B2005 C2004D10035(2004江苏) 设数列an的前n项和为Sn，Sn=(对于所有n1)，且，则的数值是_.6已知数列，且数列的前n项和，那么n的 值为 7设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点个数（整 点即横坐标和纵坐标均为整数的点） （1）求数

23、列的通项公式； （2）记数列的前n项和为Sn，且.若对于一切的正整数n，总有，求实数m的取值范围8（2002上海）已知函数f（x）abx的图象过点A（4，）和B（5，1）（1）求函数f（x）的解析式；（2）记anlog2f（n），n是正整数，Sn是数列an的前n项和，解关于n的不等式anSn0；（3）对于（2）中的an与Sn，整数96是否为数列anSn中的项?若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.9（2002上海春）某公司全年的纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工.奖金分 配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小.由1至n排序，第 1位职工得奖金元，然后再将余

24、额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给 每位职工.并将最后剩余部分作为公司发展基金. （1）设ak（1kn）为第k位职工所得奖金额，试求a2、a3，并用k、n和b表示ak；（不必证明） （2）证明akak1（k1，2，n1），并解释此不等式关于分配原则的实际意义；（3）发展基金与n和b有关，记为Pn（b）对常数b，当n变化时，求Pn（b）32 等差数列的通项与前n项的和【考点透视】一、考纲指要 1理解等差数列的概念;2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.二、命题落点1考查等差数列的概念、通项公式，即等差数列性质的灵活运用；如例1，例2；2考查等差数列的前项和公

25、式及其性质.如例3.【典例精析】例1：（2005湖南）已知数列为等差数列，且 （1）求数列的通项公式； （2）证明解析：（1）设等差数列的公差为D由即d=1.所以即（2）因为，所以 例2： (2005江苏）设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a26，a311，且其中A,B为常数.（1）求A与B的值； （2）证明数列an为等差数列； （3）证明不等式对任何正整数m、n都成立. 解析：（1）由已知，得S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18.由(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B知解得 A=-20， B=-8。（2）由（1）得，（5n-8）Sn+1-(5n

26、+2)Sn=-20n-8, 所以 (5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28, -,得, (5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20, 所以 (5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=-20. -,得 (5n+2)Sn+3-(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1-(5n+2)Sn=0.因为 an+1=Sn+1-Sn 所以 (5n+2)an+3-(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0.又因为 (5n+2),所以 an+3-2an+2+an+1=0 ,即 an+3-an+2=an+2-an+1, .又 a3-a

27、2=a2-a1=5,所以数列为等差数列 （3）由（）可知，an=1+5(n-1)=5n-4.要证了 只要证5amn>1+aman+2，因为amn=5mn-4,aman=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16,故只要证5（5mn-4）>1+25mn-20(m+n)+16+2因为=20m+20n-37,所以命题得证.例3：（2005上海）假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房预计在今后的若干年后，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%另外，每年新建住房中，中底价房的面积均比上一年增加50万平方米那么，到哪一年底（1）该市历年所建中低价

28、房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？解析：（1）设中低价房面积形成数列，由题意可知是等差数列，其中a1=250，d=50，则 令 即到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.（2）设新建住房面积形成数列bn，由题意可知bn是等比数列，其中b1=400，q=1.08，则bn=400·(1.08)n1由题意可知，有250+(n1)50>400 · (1.08)n1 · 0.85.由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，

29、到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.【常见误区】1容易把等差数列的项数搞错，导致解题错误；2不能灵活运用两个求和公式及其相应的性质解题.【基础演练】1（2006陕西）"等式sin(+)=sin2成立"是"、成等差数列"的（ ）A必要而不充分条件B充分而不必要条件C充分必要条件 D既不充分又不必要条件2（2005山东）是首项，公差的等差数列，如果，则序号等 于（ ）A667 B668 C669 D6703 (2004福建)设Sn是等差数列的前n项和，若（ ）A1B1C2D4( 2004重庆) 若是等差数列，首项，

30、则使前n 项和 成立的最大自然数n是（ ）A4005B4006 C4007D40085（2003上海）设f（x）=.利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可 求得f（5）+f（4）+f（0）+f（5）+f（6）的值为_.6（2001上海）设数列an的通项为an2n7（nN*），则|a1|a2|a15| 7 (2004全国1) 等差数列的前n项和记为Sn. 已知 （1）求通项； （2）若Sn=242，求n. 8( 2004全国3 )设数列是公差不为零的等差数列，Sn是数列的前n项和，且 ，求数列的通项公式.9（2001全国）已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项和为Sn，Sk=2550.

31、 （1）求a及k的值； （2）求.33 等比数列的通项与前n项的和【典例精析】例1：（2005山东）21 已知数列的首项，前项和为，且（）（1）证明数列是等比数列；（2）令，求函数在点处的导数解析：（1）由已知，可得两式相减得，即从而当时,，所以又所以，从而故总有，又，从而,即数列是以为首项，2为公比的等比数列（2）由（）知因为所以，从而=-= 例2:(2005天津)若公比为的等比数列的首项且满足（1）求的值； （2）求数列的前项和解析:(1)由题设，当时，由题设条件可得，因此，即解得c1或(2)由()，需要分两种情况讨论，当c1时，数列是一个常数列，即 (nÎN*)这时，数列的前n

32、项和当时，数列是一个公比为的等比数列，即 (nÎN*)这时，数列的前n项和式两边同乘，得 式减去式，得，所以(nÎN*)例3：(北京)设数列 记 （1）求a2，a3； （2）判断数列是否为等比数列，并证明你的结论； （3）求解析：（1）显然（2）因为,所以所以猜想：是公比为的等比数列.证明如下：因为所以是首项为,公比为的等比数列.（3）【常见误区】1不能完整理解等比数列的前n项和公式：，忽视的情形.2要掌握以下几种情形的极限的求法.利用利用（）要掌握分类讨论的背景转化方法.如时转化为.【基础演练】1（2005江苏）在各项都为正数的等比数列an中，首项a13，前三项和为21，

33、则a3a4 a5（ ）A33 B72 C84 D1892已知等差数列an的公差d0，且a1,a3,a9成等比数列，则的值是（）A B CD不确定3（2004全国卷3）等比数列中， ，则的前4项和为（ ）A 81 B 120 C168 D 192 4（2004浙江）已知等差数列的公差为2,若成等比数列, 则=（ ）A 4 B 6 C 8 D 105（2004全国1）已知等比数列则该数列的通项= .6 (2004北京)在函数中，若a，b，c成等比数列且则 有最_值（填“大”或“小”），且该值为_.7（2005浙江）已知实数成等差数列，成等比数列，且，求8(2004全国2)已知等差数列， （1）求的

34、通项公式； （2）令，求数列的前n项和Sn.9（2005全国3）在等差数列中，公差的等差中项. 已知数列成等比数列，求数列的通项34 数列的的前n项的和例1：已知：.（1）当a = b时，求数列的前n项和； （2）求.解析：（1）当时，它的前项和 两边同时乘以，得 ，得： 若，则：得：若，则（2）当时，当时，设（），则： 此时当时，即时，；当时，即时，例2:（2005福建）已知是公比为q的等比数列，且成等差数列. （1）求q的值； （2）设是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.解析：(1)由题意得：2a2=a1+a2,即2a2q2=a1

35、+a1q,a10,2q2-q-1=0, q=1或q=(2)若q=1,则.当n2时,故；若q=,则,当n2时, 故对于nN+,当2n9时,Sn>bn；当n=10时, Sn=bn；当n11时, Sn<bn例3：（2005湖北）设数列的前n项和为Sn=2n2，为等比数列，且（1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前n项和Tn 解析：（1）当故an的通项公式为的等差数列.设bn的通项公式为故（2）两式相减得【常见误区】1在应用时忽视条件；2在含字母参数的等比数列求和时，应分和两种情况进行讨论.3不能正确的裂项，求倒或错位出现问题.【基础演练】1（2005重庆）有一塔形几何体由若干个正

36、方体构成，构成方式如图 3-4-1所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面 各连接中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形 的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则 该塔形中正方体的个数至少是 （ ）A4B5C6D7 图3-4-12（2001天津）设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n2，则an是（ ）A等比数列，但不是等差数列B等差数列，但不是等比数列C等差数列，而且也是等比数列D既非等比数列又非等差数列3等差数列的前n项和记为，若为一个确定的常数，则下列各数中也是 常数的是（ ）AS6BS11CS12DS134等比数列an的首项a11，前n项和为Sn，若，则Sn等于（

37、）A BC2D252005湖北）设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为 .6(2004北京) 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为_，且这个数列的前21项和的值为_.7（2005辽宁）已知函数设数列满足，数列满足， （1）用数学归纳法证明； （2）证明 8已知数列的前n项和为 （1）求； （2）求证数列是等比数列.9(2004全国4 ) 已知数列为等比数列， （1）求数列的通项公式； （2）设是数列的前项和，证明3

38、5 递推数列 例1：（2005重庆）数列an满足.（1）用数学归纳法证明：；（2）已知不等式，其中无理数e=2.71828.解析：（1）当n=2时，不等式成立. 假设当时不等式成立，即那么. 这就是说，当时不等式成立.根据（1）、（2）可知：成立. （2）由递推公式及（1）的结论有 两边取对数并利用已知不等式得 故 上式从1到求和可得 即例2：（2005江西）已知数列（1）证明（2）求数列的通项公式an.解析：（1）用数学归纳法证明：当n=1时，命题正确.假设n=k时有则 而又时命题正确.由、知，对一切nN时有 （2）下面来求数列的通项：所以，,又bn=1，所以.例3：（2005重庆）数列记

39、（1）求b1、b2、b3、b4的值；（2）求数列的通项公式及数列的前n项和解析：（1）（2）因，故猜想因，（否则将代入递推公式会导致矛盾）故的等比数列., 【常见误区】1对递推关系求通项的方法（如解迭代法、累加法、换元转化法、归纳猜想证明法等）的积累，掌握常见的几种递推模型（如）的转化方法；2递推数列解答题常常与函数、不等式、几何知识点交汇，综合知识的灵活运用往往影响数列题的解题成败.【基础演练】1已知数列满足那么的值是（ ）A B C D 2若数列an满足a15, an1(nN)，则其前10项和是（ ）A200 B150 C100 D503一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中

40、数的个数的2倍）：第1行1第2行2 3第3行4 5 6 7则第9行中的第4个数是（ ）A 132 B 255 C 259 D 2604数列满足，则的整数部分（ ）A0 B1 C2 D35（2005天津）在数列中，且则_.6数列满足，且，则此数列前21项的和= .7已知正项数列an满足a1=P(0<P<1)，且 （1）求数列的通项an；（2）求证：8已知正项数列满足 （），且求证 （1）（2）9已知不等式为大于2的整数，表示不超过 的最大整数. 设数列的各项为正，且满足 （1）证明； （2）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （3）试确定一个正整数N，使得当时，对

41、任意b>0，都有本章单元测试一、选择题: （本题每小题5分，共60 分）1等差数列an中，.记，则S13等于（ ）A168B156C152D782是等比数列,其中是方程的两根,且, 则k的值为（ ）A B C D3数列满足<,则实数的取值范围是（ ）A>0 B<0 C=0 D>-34设，则的值为（ ）A9B8C7D65某工厂月生产总值平均增长率为p,则年平均增长率为（ ）A12 B C D6在数列中,已知,则等于（ ）A5 B4 C1 D47给出一系列碳氢化合物的分子式:,则该系列化合物的分子中含碳 元素的质量分数最大可无限接近于（ ）A95% B96% C97%

42、 D98%8已知1是与的等比中项,又是与的等差中项,则的值为（ ）A1或 B1或- C1或 D1或9若方程与的四个实根适当排列后,恰好组成一个首项为1 的等比数列,则m：n的值为（ ）A4 B2 C D10等比数列的首项为,其前11项的几何平均数为,若在这前11项中抽取一项后的集合平均数为,则抽出的是（ ）A第6项 B 第7项C 第9项 D 第11项 11已知二次函数y=a(a+1)x2(2a+1)x+1，当a=1，2，n，时，其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d1,d2，,dn,则 (d1+d2+dn)的值是（ ）A1 B2C3D4 12等比数列an的首项a1=1,前n项和为Sn,若，则Sn

43、等于（ ）C2D2二、填空题: （本题每小题4分，共16分）13设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为_.14在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2，4依次成等差数列，而1，y1，y2，8依次成等比数列，则OP1P2的面积是_ 15已知等差数列有一性质:若是等差数列.则通项为的数列也是等差数列,类似上述命题,相应的等比数列有性质:若是等比数列,则通项为=_的数列也是等比数列16已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0<logm(ab)<1,则m的取值范

44、围是_ 三、解答题: （本题共分）17（本小题12分）an为等差数列，公差d0,an0,(nN*),且akx2+2ak+1x+ak+2=0(kN*) （1）求证：当k取不同自然数时，此方程有公共根； （2）若方程不同的根依次为x1,x2,xn,求证：数列为等差数列 18（本小题12分）已知数列是等差数列，其前项和为。 （1）求数列的通项公式； （2）设p,q是正整数，且pq，证明 19（本小题12分） 已知点的序列An(xn，0),nN,其中x1=0,x2=a(a0),A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，An是线段An2An1的中点， （1）写出xn与xn1、xn2之间关系式(n3); （2）设an=xn+1xn，计算a1,a2,a3，由此推测数列an的通项公式，并加以证明； （3）求xn 20（本小题12分）某城市2000年末汽车拥有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车拥有量的6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该市汽车拥有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不能超过多少辆？21（本小题12分）已知数列的首项，公比且的等比数列，设数列的通项，数列的前n项之和分别为，如果存在常数k，使得对所有的适合条件的两个数列，均有