系列1stata之进阶统计及计量分析讲义数据iii46非线性时间序列

1、Nonlinear time series Introduction 门限自回归模型(ThresholdAR) 平滑转换自回归模型(SmoothingTransitionAR) 非线性模型的设定与检验1Introduction 考虑如下情形：（1）假设利率制定规则为：R=alpha0+alpah1*defla+alph2*gdp+u。如果在通胀率处于不同状态下，央行发展（GDP增长率）的反应是不同的。（利率）对通货膨胀率和（2）假设两个市场的价格差按照AR(1)运行，即:dp(t)=alpha0+alpha1*dp(t-1)+u(t)由于成本，只有dp超过一定幅度时，偏离才会作出。（3）市场价

2、格率按照AR(1)运行，即:dp(t)=alpha0+alpha1*dp(t-1)+u(t)如果dp对正向冲击与负向冲击的反应不同（非对称），（4）消费模型： consume(t)=alpha0+alpha1*income(t)+u(t)如果D.income>0,D.consume>0。 D.income<0,D.consume=0。设定？设定？2Introduction Happyfamiliesareisallalike,everyunhappyway.familyunhappyinitsown Linearmsareisallalike,everynonlinearmn

3、onlinearinitsownway. 非线性的形式千变万化，在参数估计、统计推断上复杂很多。因此，非线性模型的设定检验是必 要的。3门限回归 在不同状态下y与x表现为不同的规律，这种状态取决于另外一个变量是否超过某个们限值。if z £ gì y = x1 + u,í y = x + u,if z > gî2 对于门限值的检验：beta1=beta2。但是，在备择假设下多了一个未知参数gamma（称作冗余参数，nuisance parameter)。这种情况下传统的检验统计量不再有效。这种情况下的模型也一直没有得到很用，直至Andrews（19

4、83）等给出统计量的分布。应 对gamma的估计可以采用Grid search。 注：如果gamma为已知常数，则模型的估计与检验（相同。)与传统4门限回归H0 : Beta1 = Beta2æ s% 2- s 2ö= n çnn ÷ Nonstandard distributionFns2nè1øå( y)ni=12s- x a=%2n%(OLS estimator)ttnsmin s (g )2n2ng ÎGæ s% 2- s 2 (g ) öF = sup F (g ),g ) = nnF

5、 (nç÷s (g )nnn2èøg ÎGn5门限回归人均期望与人均GNP.use lifeexp, clearGen const=1threg lexp, rx(const gnppc) thrvar(gnppc) iters(50)利率对通胀率的响应Use stab_1,clear Gen const=1.threg rat2,rx(constinf)thrvar(inf) iters(50)6门限自回归 门限回归在AR模型中的应用即门限自回归模型。ì yt = a0+ a1 yt -1+L+ ak yt -k£ g&g

6、t; g+ ut ,ififyt -dt -dí y= b+ b y+L+ b+ u ,yyî1t -1kt -kt0td : delay parameterg : thold Simulate a TAR(1) process with alpha1=-1.5,gamma=0beta1=0.5,d=1,ì yt = -1.5yt -1 + ut ,£ 0ififyt -1í y= 0.5y+ u ,> 0yît -1t -1tt7门限自回归（TAR）.matrix a=(-10.5)matrix b=1tar_sim y, n

7、(1000) coef(a) gen ly=l.yTsline ythresh(b)thregy,rx(ly)thrvar(ly)iters(100)8门限自回归（TAR） (1)虽然|alpha1|>1，但y是一个平稳过程。(2)虽然模型中没有常数项，但过程不是0均值。（3）y取正数的比例远高于y取负数的比例。 Y为几何遍历过程的充要条件（geometrically ergodic）: alpha1<1, beta1<1, alpha1*beta1<1。 过程的均值是两种体制均值的加权，权数则是y处于两种状态的概率。9门限自回归（TAR） 门限参数设定落在门限变量的某

8、个区间,比如0.15,0.85分位数。 延迟参数d可以与门限参数一起估计。由于d只能取正整数，其ols估计量具有超一致性。10TAR mTAR m: (data: usunem.dta).use usunem, clearkeep if tin(1959m1,1996m7) Gen dy=d.yForvalues i=1/12 genGen Gendyi=li.dy.q=dy1-dy12const=1threg dy, rx(const dy1-dy12)thrvar(q) iters(20)11TAR m 练习：（1）模拟tar数据，并进行回归；（2）回归TAR模型.UseGenGenvec

9、,clearly=l.dlnftapl2y=l2.dlnftapthregdlnftap,rx(lyl2y)thrvar(ly)iters(20)12SETAR(Self-exciting TAR)ìaï+ a+L+ a£ g+ u ,if - ¥ < y(1)(1) y(1) yt -1t - pt -d01pt1ïa+ a+L+ aif g£ g+ u ,< y(2)(2) y(2) yt -1t - pt -dy = í01pt12tïLïa+ a+L + aif g+ u ,<

10、y< +¥(k )(k ) y(k ) yît -1t - pk -1t -d01pt= zt , open-loop TAR mNote : ifyt -d13SETAR设定检验 H0:H1:linear mSETAR m;with k thresholds.LnL0 = LnL(a0 ,.,a p ,s )LnL = LnL(a(i=1,.,k ) ,.,a (i=1,.,k ) ,s (i=1,.,k ) ,g,.,g)k -110p1LR = 2(LnL1 - LnL0 ) 由于冗余参数gamma,LR从卡方分布。可以利用Andrews(1983)，Andre

11、ws and Ploberger(1994)的计算Sup(LR(t), Ave(LR(t)或Exp(LR(t)，并计算其临界值和p值。14平滑转换自回归设定 门限回归中，变量在不同状态下进行转换。这种转换是在某一期实现完全的转换，即直接从一种状态跳跃到另外一种状态，称之为突变。 平滑转换自回归模型中，变量逐渐地从一种状态过渡到另外一种状态，称之为渐变。其是引入平滑转换函数。yt = b1f (L) yt + (b2f (L) yt ) f (g , c) + ut ,g > 0f (g , c) = éë1+ exp(-g ( yt -d - c)ù

12、1;-1Logistic STAR :Exponential STAR : f (g , c) = 1- exp(-g ( y- c)2 )t -d0 < f (g , c) <1ìg ® 0 Þ Linear AR míg ®µÞ Threshold AR mî15平滑转换自回归转换函数观察Logistic转换函数与Exponential转换函数的形状。c=1;gamma=2,10,50,100,200,300,400.twoway(functionLogis=1/(1+exp(-10*(x-1),r

13、ange(02).twoway range(0(function 2)Exp=1-exp(-10*(x-1)2),16平滑转换自回归线性设定检验 Terasvirta(1994) LMstatistics:, ® etStep1: Regress AR(p) mStep2:(residual)åååååååpi=1pj =1pj =1pj =1j ydddLSTAR: e =+y+ vy2y3yyy1it -it - jt -d2 jt - jt -d3 jt - jt -dt1 jtppj =1pj =1j yd

14、dESTAR : e =y+ vy2yy1it -i1 jt - jt -d2 jt - jt -dtti=1Step3: H0 :dij = 0, "i, jìïc 2 (3 p) (LSTAR)LM = NR2 íïîc 2 (2 p) (ESTAR)Note:Delay parameter d can be determained by sequential LM testfrom the least p-value17平滑转换自回归模型选择 LSTAR与ESTAR的选择（Terasvirta(1994)）:å

15、9;ååpi=1pj =1pj =1pj =1j y+dddStep1: e =y+ vy2y3yyyt -i1 jt - jt -d2 jt - jt -d3 jt - jt -dt1itTest the joint significance of d3 j , j = 1, ., p. ® Prob3åååpi=1pj =1pj =1j y+ddStep2: e =y+ vy2yyt -i1 jt - jt -d2 jt - jt -dt1itTest the joint significance of d2 j = 0, j = 1, ., p. ® Prob2ååpi=1pj =1j y+dStep3: e =y+ vyt -i1 jt - jt -dt1itTest the joint significance of d1 j = 0, j = 1, ., p. ® Prob1ìIf (Prob2 < Prob3 & Prob2 <Prob1 ), ESTARRule:íElse, LSTARî18平滑转换自回归操作步骤（1） 直接设定延迟参数d，并进行线性检验。或者在d=1,max依次进