第十一章动量定理 - 理论力学CAI

1、2022-2-18理论力学CAI111.1动量定理动量定理1.质点的动量定理质点的动量定理Fmvt)(dd质点的动量对时间的导数等于质点受到的作用力。质点的动量对时间的导数等于质点受到的作用力。mvp 质点的动量定理：质点的动量定理：Ftpdd2022-2-18理论力学CAI2质点系运动时，系统中的所有质点在每一瞬质点系运动时，系统中的所有质点在每一瞬时都具有各自的动量。质点系中所有质点动量的时都具有各自的动量。质点系中所有质点动量的集合，称为质点系的动量。集合，称为质点系的动量。),(2211nnvmvmvmp iiim vp2022-2-18理论力学CAI3mrmriiiCmvmviiiC

2、Cmvp czizizcyiyiycxixixmvvmpmvvmpmvvmp2022-2-18理论力学CAI4 椭圆规机构中，椭圆规机构中，OCACCBl；滑块滑块A和和B的质量均为的质量均为m，曲曲柄柄OC和连杆和连杆AB的质量忽略不计；的质量忽略不计；曲柄以等角速度曲柄以等角速度 绕绕O轴旋转；图轴旋转；图示位置时，角度示位置时，角度为任意值。为任意值。求：求：图示位置时，系统的总动量。图示位置时，系统的总动量。AOBC2022-2-18理论力学CAI5 解：将滑块解：将滑块A和和B看作为两个看作为两个质点，整个系统即为两个质点所质点，整个系统即为两个质点所组成的质点系。求这一质点系的组成

3、的质点系。求这一质点系的动量可以用两种方法：动量可以用两种方法： 第一种方法：先计算各个质点第一种方法：先计算各个质点的动量，再求其矢量和。的动量，再求其矢量和。 第二种方法：先确定系统的质第二种方法：先确定系统的质心，以及质心的速度，然后计算心，以及质心的速度，然后计算系统的动量。系统的动量。AOBC2022-2-18理论力学CAI6第一种方法：第一种方法：先计算各个质点先计算各个质点的动量，再求其矢量和。的动量，再求其矢量和。BBAAmmvvp建立建立Oxy坐标系。在角度坐标系。在角度 为任为任意值的情形下意值的情形下cos2sin2lxlyBAAOBC2022-2-18理论力学CAI7B

4、BAAmmvvp建立建立Oxy坐标系。在角度坐标系。在角度为任为任意值的情形下意值的情形下cos2sin2lxlyBAsin2sin2cos2cos2llxvllyvBBAAAOBC2022-2-18理论力学CAI8BBAAmmvvpsin2sin2cos2cos2llxvllyvBBAAjipcos2sin2lmlm)cos(-sin2ji lmAOBC2022-2-18理论力学CAI9解：第二种方法：先确定系统解：第二种方法：先确定系统的质心，以及质心的速度，然后的质心，以及质心的速度，然后计算系统的动量。计算系统的动量。质点系的质心在质点系的质心在C处，其速度处，其速度矢量垂直于矢量垂直

5、于OC，数值数值为为vC = l vC = l (sin icos j )系统的总质量系统的总质量mC= mA+ mB=2m系统的总动量系统的总动量)cos(-sin2jip lmAOBC2022-2-18理论力学CAI10iiiitmtFvpd)d(dd对于质点对于质点对于质点系对于质点系iiiiiiiFtvmtpd)d(ddeii)(ddddFFvmttpii 2022-2-18理论力学CAI110ii iiFF iiFFee 内力主矢内力主矢外力主矢外力主矢eddFtp ei)(ddFvmtii 对于质点系对于质点系质点系动量定理：质点系的动量对时间的一阶导质点系动量定理：质点系的动量对

6、时间的一阶导数，等于作用在这一质点系上的外力主矢数，等于作用在这一质点系上的外力主矢 。2022-2-18理论力学CAI12质点系动量定理的投影形式质点系动量定理的投影形式eeexddddddzzyyxFtp,Ftp,Ftp 动量定理的积分形式动量定理的积分形式ItFpptt 0de0I质点系统的冲量质点系统的冲量质点系统动量在一段时间内的改变量等于系统中质点系统动量在一段时间内的改变量等于系统中所有质点冲量的矢量和。所有质点冲量的矢量和。2022-2-18理论力学CAI132022-2-18理论力学CAI14 运动分析，设经过运动分析，设经过 时间时间后，流体后，流体AB运动到位置运动到位置

7、ab， 例例 流体流过弯管时，在截面流体流过弯管时，在截面A和和B处的平均流速分别处的平均流速分别为为 求流体对弯管产生的动压力求流体对弯管产生的动压力(附加动压力附加动压力)。 设流体不可压缩，流量设流体不可压缩，流量Q(m3/s)为常量，为常量， 密度为密度为 (kg/m3）。）。),m/s(,21vv解：解：取截面取截面A与与B之间的流体之间的流体作为研究的质点系。作为研究的质点系。2022-2-18理论力学CAI15AaBbABabppppp 12 vtQvtQpppAaBb 由质点系动量定理；由质点系动量定理；RFFW)vv(Qtplimdtdpt 21120 2022-2-18理论

8、力学CAI16)FFW(R212 )(121vvQR投影形式投影形式)( 121xxxvvQR)( 121yyyvvQR与与 相反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力相反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力1R)FFW()vv(QR2112 RFFWvvQtpdtdpt21120)( lim 动反力动反力静反力静反力2022-2-18理论力学CAI173. 动量守恒定律动量守恒定律eddFtp 0eF2022-2-18理论力学CAI18 例例 质量为质量为M的大三角形柱体的大三角形柱体, 放于光滑水平面上放于光滑水平面上, 斜面上另放斜面上另放一质量为一质量为m的小三角形柱体的小三角形柱体,求

9、小三角形柱体滑到底时求小三角形柱体滑到底时,大三角形大三角形柱体的位移。柱体的位移。解解：选两物体组成的系统为研究对象。选两物体组成的系统为研究对象。受力分析受力分析， ,F)e(x0 xI水平方向常量。rvravvv v设大三角块速度小三角块相对大三角块速度为 则小三角块运动分析运动分析，2022-2-18理论力学CAI190 axmv)v(M由水平方向动量守恒及初始静止由水平方向动量守恒及初始静止；则0 )vv(m)v(Mrx)ba(mMmXmMmXrx mmMXXmmMvvrxrx 2022-2-18理论力学CAI20 11.2质心运动定理质心运动定理mmiiiCvv根据质点系质心的位矢

10、公式根据质点系质心的位矢公式mmiiiCrreidd)(ddFmvtvmtcii mmiiiCaaeFamC 投影形式投影形式eeezCzyCyxCxFma,Fma,Fma 2022-2-18理论力学CAI21eFamC 质心运动定理质心运动定理质点系的总质量与质点系质心质点系的总质量与质点系质心加速度的乘积，等于作用在这一质点系上外力的主矢。加速度的乘积，等于作用在这一质点系上外力的主矢。质心运动定理揭示了动量定理的实质：外力主质心运动定理揭示了动量定理的实质：外力主矢仅仅确定了质点系质心运动状态的变化矢仅仅确定了质点系质心运动状态的变化。2022-2-18理论力学CAI22FFF1.三个圆

11、盘的运动是否一样？2.三个圆盘质心的运动是否一样？F2022-2-18理论力学CAI232022-2-18理论力学CAI24对于刚体或刚体系统，其质心容易确定，应用动对于刚体或刚体系统，其质心容易确定，应用动量定理时，主要采用质心运动形式质心运动定理量定理时，主要采用质心运动形式质心运动定理。eFamC ei)(dd)(ddFvmmviCiCtteiiCiCFammami 第第i个刚体的质量；个刚体的质量；m 刚体系统的总质量；刚体系统的总质量；vCi 第第i个刚体质心的速度；个刚体质心的速度；vC 系统质心的速度；系统质心的速度；aCi 第第i个刚体质心的加速度；个刚体质心的加速度；aC 系

12、统质心的加速度系统质心的加速度2022-2-18理论力学CAI25p 电动机的外壳和定子的总质量为电动机的外壳和定子的总质量为 m1 ,质心质心C1与转子转轴与转子转轴 O1 重合重合 ；转子质量为；转子质量为 m2 ，质心质心 O2 与转轴不重合与转轴不重合 ，偏心距，偏心距 O1O2 = e 。若转子若转子以等角速度以等角速度 旋转旋转 。 求：电动机底座所受的约束力。求：电动机底座所受的约束力。2022-2-18理论力学CAI26选择包括外、壳、定子、转子的电动机作为刚体系统选择包括外、壳、定子、转子的电动机作为刚体系统 2、系统所受的外力、系统所受的外力定子所受重定子所受重m1g;转子

13、所受重力转子所受重力m2g;底座所受约束力底座所受约束力 Fx、Fy、M。 3、各刚体质心的加速度、各刚体质心的加速度aC1 aO1=0 ; aC2 aO1e 2 (向心加速度向心加速度) 4、应用质心运动定理、应用质心运动定理,FamxiCixie eyiCiyiFam 2022-2-18理论力学CAI27,FamxiCixie eyiCiyiFam xFtemmcos0221gmgmFtemmy21221sin0temFxcos22temgmgmFysin22212022-2-18理论力学CAI2811.3 变质量系统的质心运动定理变质量系统的质心运动定理 质点系在运动过程中，若不断发生系统外的质点并入，或系统内的质点排出，以致系统的总质量随时间不断改变时，称为变质量系统。mvctmmt+tvc+ vc mv2022-2-18理论力学CAI29系统动量的变化为：mvmvvvmmpcccmvctmmt+tvc+ vc mv2022-2-18理论力学CAI30 例 11.7 一载人输送带以v =1.5m/s的速度运行，行人列队步入输送带前的绝对速度为v1=0.9m/s（见图），人的体重以800N/s的速率加到输送带上。试问需多大的驱动力才能使载人输送带保持恒速运动？ 解：行人进入输送带时，沿x轴的相对速度为 m/s6 . 0)m/s5 . 1 ()m/s9 . 0(1vv