文字应用题求解

1、文字应用题求解 学习环境The Learning Environmentof Word Problem-solving林建祥北京大学教育学院北京 100871 中国Tel: (8610)-62755803Email: linjx 解决实际问题是学习数学的主要目的。解决实际问题的数学方法是重要科学方法。 为了具有解决问题的能力，首先要有数学知识。 但是在掌握大量数学知识之外，如何应用所学知识来解决问题的方法与策略， 也是需要 学习的。 实际问题通常由文字来描述。文字描述时许多是多余的信息。对所解决的数学问题无关。 为了便于学习，通常文字描述比较简练，条理，把多余的尽量去掉。 而且是一定有明确的解

2、答。这种简单化，从规范的文字描述题出发，学会解题， 虽与真实问题还有距离，但却是学习过程必经阶段，作为 铺垫，减少难度，然后再走向解决复杂的真实问题。 本文讨论比较规范的文字题求解的问题，同时研究设计学习环境，来提高 灵活解题的学习效率。 关键字： 应用题， 问题求解， 交互学习环境， 数学建模。 The main goal of learning Mathematics is to be able to solve real problems. To solve problem with mathematics methods is an important scientific metho

3、d. For learning problem-solving, first a lot of mathematics knowledge is needed. But the strategy and method how to use mathematics knowledge to solve problem is also needed to learn.Usually, real problem is described by words. Use words to describe problem, there are many message, that is not impor

4、tant for the solving. But in order to learn easy for new-comers, we usually made words to describe problem rather concise and articulate, and have a clear solution. This simplicity, described with clever and normal style, although it is different with real situation, but it is a stage must be gone t

5、hrough, then go toward real problem solving.This paper discuss about rather normal word-based applied problem-solving, and try to design a learning environment, help young to learn problem solving easier in the earlier stage.Keywords: Problem-solving, Learning Environment, Mathematics modeling. 1 引言

6、 解决实际问题是学习数学的主要目的。鉴于过去数学教学，过分强调纯粹数学内容的学习，解决实际问题能力训练重视不够。因而从解决实际世界的真实问题出发，提高解决问题的能力，目前正受到特别的关注。重视实际问题的解决，也有助于提高学习数学的兴趣，动力与积极性。解决实际问题的数学方法是重要科学方法。其要领是：对实际问题进行正确抽象，建立抽象数学模型，变成数学问题，然后用数学算法求得数学解。再回到实际世界加以恰当解释。为了具有解决问题的能力，首先要有数学知识。为了有效学习大量的数学知识，需要研究良好的知识表示方法。微世界-客观世界的抽象模拟，即可操作的模型，是值得探究，应用计算机技术的好表示方法。我已写过一

7、篇文章-“教学设计的威力”进行讨论。但是在掌握大量数学知识后，如何应用数学知识来解决问题的方法与策略，也是需要学习的。上文讨论限于篇幅，未涉及。本文企图在这方面，进行比较详细的补充讨论。实际问题通常由文字来描述。文字描述时许多是冗余的信息。对所解决的数学问题无关。为了便于学习，通常在开始时文字描述比较简练，条理，把多余的尽量去掉。而且一定有明确的解答。这种简单化，从规范的文字描述题出发，学习解题，虽与真实问题还有距离，但却是学习过程必经阶段，作为铺垫，减少难度，（本文先集中讨论这个较为规范的问题）然后再走向解决真实世界的复杂问题。2文字应用题求解的学习环境设计这环境的基本作用，是从文字描述的实

8、际应用领域问题，学习如何抽象出形式的符号的数学模型，然后用学过的数学计算方法求解。21 求解实际问题总过程包括下列几步：一 从文字题目分析出已知与所求两部分。每部分各有主要对象及其属性，与对象间相互关系。叫题目的意义结构。这是从题面所提供的信息，而且是在应用领域层面的结构。二 我们要解决问题，光题面所提供的信息是不够的。所以系统必须存有学过的知识。这知识是以模板形式存储的。模板有丰富的语义，但反映了符号的结构。是走向抽象数学问题的媒介与过渡。三 从所求部分找需要的模板，可能有现成的，或需要组合。然后进行归约，链接。直到已知部分可用上为止。这是要着重学习的求解技巧。四 对模型的组合进行整理，优化

9、，填进参数，解决问题，这时已是具体的数学问题，直接计算数学表达式，或需要解各种类型的方程。最后再回到具体应用领域，对结果作出恰当的解释。22 文字应用题求解的学习的学习环境应用信息技术来设计学习环境，目的是希望能减少学习的难度，而且易于理解掌握高价的思维技巧。这环境设计的指导思想，是把系统分为两层：在菜单按钮下连上程序，但把他看成黑箱，是底层。可先不管程序运行过程，只注意点击的作用即按钮的意义。菜单作为上层，可通过对各个按钮自由操作，进行解题观察，探试。这样就把学习者注意力集中于所设计的重点难点，在这里就是“如何建立模板，查找合适模板，组合模板，整理优化模板”。这是应用题灵活求解能力训练的要害

10、。 表1 从应用领域文字题 - - 数学建模 - 到求出数字解 - 到回到应用领域问题分类 选题 讲解意义结构分解 数学 建模 求数字解 解释与帮助建立新模板存在模板搜索存在模板组合模板归约数字代入解方程求微商求积分求极值解微分方程例题练习题例题练习题-建简单模板查找合适模板模板组合模板优化高级组合建简单扼要例题按模板复杂度分类。建简单模板例题1。 矩形面积为 长X 宽，今长 A = 3，宽 B = 4 ，问 矩形面积为多少？已知 所求 模 板矩形 求面积 S 长 A = 3 宽 B = 4 面积 S = A X B 平面图形 矩形 长 A = 宽 B = 面积 S = A X B = 周长

11、L = 2（A+B）= 这儿建立模板，并做适当扩充，存起来备以后用。建立了数学模型，就把实际问题变成了数学问题。可调用数学软件包的相应程序来求数学答案。数学方法已经学过，通常也都有现成的程序，现在着重是学习解实际应用问题，数学求解过程不是重点，可不必了解。最前一步，由题文分析出已知与所求，也可由机器程序自动进行。因为通常题文都比较规范，没有必要增加难度，分析出意义结构并不难。先找出若干对象（通过名词或变量）与其属性（通过名词的形容词），再找对象间的相互关系（联系名词的动词）。即按题意建立了初步的结构。 当然还有对算法的描述，需要转换为表达式，有的已经直接由表达式给出。 如果对分析结 果有疑问，

12、或且不够规范，甚至关系太复杂，则还可以进行人工干预。 总之，学习环境的设计，要能比较好集中注意力于数学模型的建立。 本文呈现一批表格，可较好展示设计的概况，与基本思想。 表2 从应用领域文字题 - - 数学建模 - 到求出数字解 - 到回到应用领域问题分类 选题 讲解意义结构分解 数学 建模 求数字解 解释与帮助建简单模板查找合适模板模板组合模板优化高级组合建立新模板存在模板搜索存在模板组合模板归约例题练习题例题练习题-建简单扼要例题按模板复杂度分类。查找合适模板例题2。 今有矩形长 A 为 4，宽 B =为5 ，求 其 面积 S 。已知 所求 模 板矩形 求面积 S 长 A = 4 宽 B

13、= 5 平面图形 矩形 长 A = 宽 B = 面积 S = A X B = 周长 L = 2（A+B）=本题找到上面现成的模板，把数值代入，进行计算，解决了问题。例题3。 今有矩形长 A 为 5面积 S为 20，求 其宽度。矩形 求 宽 B 长 A = 5 面积 S = 20本题也利用了上面所找到的同一模板，代入数值。 但不是直接计算， 而是需要解一个方程。 其他附带的必要功能： 为便于初学，系统应提供不同复杂度的典型案例。案例按所需模板的复杂程度， 由简到繁排列。模板是很好的媒介，既有丰富的语义，反映实际领域的关系，又反映抽象的数学结构。可以很好帮助初学者从具体到抽象的过渡。 表 3 从应

14、用领域文字题 - - 数学建模 - 到求出数字解 - 到回到应用领域建立新模板存在模板搜索存在模板组合模板归约问题分类 选题 讲解意义结构分解 数学 建模 求数字解 解释与帮助数字代入解方程求微商求积分求极值解微分方程建简单模板查找合适模板模板组合模板优化高级组合建简单扼要例题按模板复杂度分类。模板组合例题4。 完成工作总量由乘以工作时间计算。 今某甲每日完成5件，工作十日。乙每日完成3件，工作15日。问两人一共完成多少件。已知 所求 模 板 完成工 某甲 作总量 工作5 件/日 工作日数=10某乙 工作3 件/日 工作日数=15工作量问题模板 单位时间完成工作量D（）= 工作时间 T（） =

15、 完成工作量W（） =D（）*T（） 某甲单位时间完成工作量D（A）= 工作时间 T（A） = 某乙单位时间完成工作量D（B）= 工作时间 T（B） =完成工作总量W= W（A） + W（B） 这儿建立模板，并做适当扩充，加上参量，可存起来备以后（如例题5）用。例题5。 一工程W全由甲承担，10日完成，全由乙承担20日完成。 现由甲先进行5日，余下由乙做完。 问乙还要几天完成？。甲单位时间工作量 D（A）= W /10 工作天数T（A） = 5。乙单位时间工作量 D（B）= W /20。 求 T（B）用上上面存起来的模板，W（） = D（）* T（）W = W（A） + W（B） = D（A）

16、*T（A）+ D（B）*T（B） = W /10 * 5 + W/20 * T（B）但同样这里不是直接计算， 而是需要解一个方程。 每案例后可再附上若干练习题，让学习者独立解决，循序渐进。当然遇到困难时，仍可在中途设法得到帮助。也可在适当地方，提出质疑，促进思考，帮助更好的理解掌握。学习时，按学习者程度找难度合适的问题类型，先学案例，再找练习题。选中一个样例，环境对案例题会自动分离出该题的已知与所求。然后告诉你如何一步步建立模型，找到一批所要的模板，进行各种组合。 而练习题则要你试着自己建模，试着求解实际问题。表4 从应用领域文字题 - - 数学建模 - 到求出数字解 - 到回到应用领域问题分

17、类 选题 讲解意义结构分解 数学 建模 求数字解 解释与帮助已知 所求模 板 c a c h c模板组合例题6。 一正方形铁片，边长A= 10，从四角砍掉四个小正方形。折成一无盖盒。 问这小正方形边长多少，使盒子面积最大？ A铁片边长A = 10 小正方形边长h = 求h = ？ 使盒子体积V最大这是简单的优化问题。首先是求评价函数。需先找到，补上所缺的信息。几何图形立方盒子 底边长 a = 高 h = 体积 V = a2 * h砍掉的正方形边长 c = 盒高 h 底边长a + 2* 盒高 h = 铁片边长A由以上的现成模板可列出评价函数。然后求h的一元函数的极值。3关于模型库的建立 我们看到

18、在这学习环境框架之外，要获得真正的解题能力，还需要建立各种信息库：1 首先是各种大量的模板。要整理使条理清楚，易于检索。以支持解决各种类型的大量实际问题。11 首先对简单的典型题，建立模板。建立模型时，除本题提到的信息外，还可按常识进行适当的扩展。譬如：对矩形对象除题中涉及的长宽与面积等属性外，还可自动加上周长等。12 每项都注意补上字母符号，以便简洁表示变量间的约束关系。对象还可赋予下标与参数，从而生成这一类的实例。如：例题 4，5中的工作量表示。13 让一类的属性，可以自动为子类或实例所继承。这样条理化了的模板库，有巨大的表现力，容易检索到，并可适用于大规模的系统情况。 如：例题7。在导函

19、数对象类下找到相匹配的直线运动，然后导函数的属性就自动为直线运动所继承。 例题9。旋轮线的模板就容易在相当大的模板库中找到。并由于继承机制而得到大量的信息。 表5。 从应用领域文字题 - - 数学建模 - 到求出数字解 - 到回到应用领域建立新模板存在模板搜索存在模板组合模板归约问题分类 选题 讲解意义结构分解 数学 建模 求数字解 解释与帮助数字代入解方程求微商求积分求极值解微分方程建简单模板查找合适模板模板组合模板优化高级组合建简单扼要例题按模板复杂度分类。模板生成与扩展例题7。 直线运动可以用“位移s是时间t的函数”来描述。 速度是位移函数的变化率，即位移改变量与时间改变量之比当x -&

20、gt; 0时的极限。 简谐运动可以用 s = A sin (t) 来描述。 求 t = t0时的速度。已知 所求 模 板直线运动 位移 s 时间 t 函数关系 s = s(t) = A sin (t) 速度 v = ds/dt = 求t = t0时的 速度。导函数关系 因变量 y 自变量 x 函数关系 y = f (x) = _。 函数变化率 y = f (x) = dy/dx =_实例：因变量 y 位移 速度 质量自变量 x 时间 时间 线长度函数变化率 f 速度 加速度 线密度例题8。 由曲线 y=f(x), x=a, x=b, X轴所围成的曲边梯形。 求其面积。 曲边梯形 求所围面积.

21、y = f(x) = x = a , x = b , X 轴。定积分模板 比函数 y 变量 x 函数关系 y = f(x) = 。 下限 a = _。 上限 b = _。 总量 = INT （f (x), x, a, b ）实例： 比函数 y 变高 速度 线密度 自变量x 底位置 时间 位置 总量 面积 位移 质量模板搜索例题9。 求旋轮线一拱的 弧长。 按属性在庞大的模板库中查找模板。 如查到合适的模板，则代入，问题就容易解决。旋轮线 求其弧长。 一拱。几何图形 目录 （按维数分类）2D 曲线，3D曲线，3D曲面。2D 曲线 目录（按坐标分类） 直角坐标，极坐标，参数方程 2D曲线模板 坐标

22、系：参数方程。 方程： x = f (t), y = g (t). 参数定义域： t (a,b) 弧长 s = _ 面积S = _ 典型实例模板： 抛物线，椭圆，旋轮线-14 关于模板组合。可以由许多片段的初级模板来组成所需的复杂模板。这里组合例子是多次做直接代换。当然也可通过较复杂的消元方法来进行组合。 以上都是对模板库进行条理也即优化的多种方法：组织为层次结构，上层对象的属性可以自动为下层对象所继承，每对象可设许多参量。这样用简洁的表示，覆盖了大量的知识，又便于查找。我们的案例中表达式的约束，仅限于线性。综合起来已足以建立线性方程组约束的优化问题数学模型。当然表达式也可以包括非线性的多项式

23、。也还可以对函数引进微分运算，因而列出的约束即方程，就成为（包括了）微分方程。所以这里的讨论，已经覆盖了中学直到高校数学基础课的很多内容。当然是其中非常规范的部分。2 为了便于在建模前后，得到必要的支持。使能集中注意力于建模这个焦点。还需要：21 各种词库（名词，动词，形容词）。及同义词库。还要必要的初级模板，以帮助建立已知与所求的意义结构。（同一抽象模式，其实例可以是很不相同的领域，因而为了建立意义结构，词库就要包括大量的不同领域的词汇。也可在应用时视需要不断添加）。22 还需要建立数学解题程序库。在建立数学模型后，自动帮助解决所建立的数学问题。 这些库都应是开放式，可以随时扩充。特别在解题

24、过程中，也可随手合理增加，扩充模板库，以适合于不同领域的大量实际问题。表6。 从应用领域文字题 - - 数学建模 - 到求出数字解 - 到回到应用领域问题分类 选题 讲解意义结构分解 数学 建模 求数字解 解释与帮助高级组合例题10。 求圆盘上过圆心垂直于盘平面的轴上一点对整个圆盘的电场力。 电荷密度与距圆心距离r 成正比。 P。 b a r r0已知 所求 模 板物理力 求电场力 电场力物体甲-一点P。物体乙-圆盘（半 径为a）相对位置 点在垂直于圆盘 过圆心的轴上。 与圆心距离 = b. 需先找到必须的模板，补上所缺的信息建立或找到所需的模板： 电场力 带电点电荷Pa = 带电点电荷Pb

25、= 两带电点的距离 r = 电场力 F = Pa*Pb / r2 电荷量 电荷量P = 面电荷密度*面积微元 面电荷密度 面电荷密度 = * 距圆心距离r 圆盘的分割 沿半径分盘为同心圆环。取圆心为极坐标原点（同心圆上点半径相同，电荷密度相同）。 两点的距离 盘上电荷与圆盘的距离 r0 = 盘外电荷与圆盘的距离 b = 两点的距离r = sqrt (r02 + b2)组合所有找到或自建的模板，进行归约得到所需的模板。 4。 总结及待商榷的论点41 建构主义，是基于一种哲学，一种认识论，就是把客观的对象，分解为一组基本成分，然后在此基础上进行综合，各个不同层次的综合来处理问题。 看待数学发展的历

26、史，人们积累许多数学的经验事实，就有这样企图，找到一组基本概念，由他可以推演生成整个数学。集合论，计算模型，冯。诺儿曼模型，各种编程语言，以及一批象Mathematica, Maple的数学包的出现，都反映这种努力，提供整个数学结构可能的基本成分。用于数学教育，首先用于知识表示，各门学科，都有其基本概念，规则，从而可以规范，条理地表现知识。其次涉及解决问题，可以设立各种模板，从简单模式到建立复杂模式。也都反映了这种建构的思想。按照这样理解。建构主义对于表示数学知识本身及用于教学教育，都是非常合适的。4 2 对于一类问题的求解，通过基本成分的作用，得到解决，就成为模板，可保存起来。通常遇到问题，

27、总是先回忆有无现成的模板可直接代换，或进一步可资组合，转换，来解决问题。模版积累愈多，即经验愈丰富，解决问题能力愈强。这是一方面。如果没有现成的模板。就只能从基本成分入手，用通用的策略，来设法解决。这是另一方面。更复杂的，从当前基本成分入手，也解决不了问题。就要超越原来系统，进行更深层的分解，找到更基本成分，应用更创造性的方法，才有可能解决问题。这是突破性的进展，需要更多创新思考。象几百年未能得到解决的古典数学难题，用现成模板，用现成的基本成分，现成方法，还没有解决，就可能由于超过现有框架的能力，需要人类天才专家，用创造性的思维去努力思考。也有可能不是现有计算设备所能解决的。不过即使如此，设计一个学习环境，来帮助初学者了解解决问题的常用方法与策略，不是没有意义的。在提供丰富的模板后，也能覆盖相当范围的问题。 可以把环境设计成开放的，从解较基本问题入手，不断扩充，逐步过渡到解比较开放的问题。（由于篇幅所限，将另文阐明）。4 3 一般说来，学习数学有这样几步：1 确切掌握基本概念。2 理解概念间相互联系。3 用模板来解决问题。4 灵活解决开放问题。本文谈到的学习环境，包括了对应用题特别是文字题的求解，找现成模板解决问题，也提