2021高三数学总复习周测（4）

1、2020-2021第一学期东莞一中高三数学周测试卷（四）2020.9.13一、选择题(本大题共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)【复数】1、已知是虚数单位，复数,则的共轭复数的虚部为（）AiB1CiD1B【注】注意（1）z还是z，（2）虚部不含i，是实数。【对数不等式的解】【绝对值不等式的解】2已知集合，集合，则（）A（0，3）B（1，3）C（0，4）D（，3）A3已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额（单位：元）服从正态分布，则该市某居民手机支付的消费额在（1900，2200）内的概率为（）附：随机变量服从正态分布，则P（+）0.6826，P（2+2）0.9

2、544，P（3+3）0.9974A0.9759B0.84C0.8185D0.4772C4设则的大小关系正确的是（）A.BCDA5已知函数，若的零点为，极值点为，则（）A1B0C1D2C6已知四棱锥的所有棱长均相等，点分别在线段上，且，则异面直线与所成角的大小为（）A.30°B45°C60°D90°D7在同一直角坐标系下，已知双曲线：的离心率为，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为2，函数的图象向右平移个单位后得到曲线D，点A，B分别在双曲线C的下支和曲线D上，则线段AB长度的最小值为（）A2B3C2D1D8某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留

3、题型”、“升级题型”、“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答已知某位参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（）A B C DA9.在ABC中,D为边BC上一点,BD=12CD,ADB=120°,AD=2.若ADC的面积为3-3,则BAC=()A.30°B.60°C.45°D.15°B10.设函数若存在唯一的整数，使得,则a的取值范围是()A. B. C. D.D(多选题)11已知函数则（）AB在区间上只有1个零点C的最小正周期为D为图象的一条对称轴ACD(多选题)12已知数

4、列的前n项和为，数列的前项和为则下列选项正确的为（）A数列是等差数列 B.数列是等比数列C数列的通项公式为DBCD二、填空题(本题共4个小题。每小题5分，共20分，将答案填在答题卡的相应位置)13.已知aR,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是；(2，4)14.如右图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆的右焦点,直线与椭圆交于B,C两点,且BFC=90°,则该椭圆的离心率是.63 15.已知点是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的方程是_。x2y8016. 2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q（0，3）是圆

5、Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切已知直线过点O（1）若直线与圆L、圆S均相切，则截圆Q所得弦长为；（2）若直线截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于，则3；125三、解答题(本题共6小题，总分70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为已知（1）求的通项公式；（2）是否存在正整数，使得且?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由17解：（1）设等差数列an的公差为d，在等差数列an中，S26，S312，a3S3S26，又S2a1+a2a32d+a3d123d6，d2从而a1a32d2

6、，则an2+2（n1）2n；-2分由a1b12，得b1T11b2=T2-T1=43-1=13，设数列bn的公比为q，q=b2b1=13，则bn=1×(13)n-1=(13)n-1；-4分（2）由（1）知，Sk=k(a1+ak)2=k(k+1)，-5分Skk（k+1）6k，整理得k25k0，解得0k5-6分又Tk=1×(1-13k)1-13=32(1-13k)=32-12×3k-1-7分Tk=32-12×3k-1139，即13k-119，解得k3-9分存在正整数k4，使得Sk6k且Tk139-10分18(10分)在中，分别为内角的对边，（1）求角；（2）若

7、，D为BC中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度条件：ABC的面积S4且BA；条件：注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分18解：（1）2b2（b2+c2a2）（1tanA）2b22bccosA（1tanA）bc（cosAsinA），-1分由正弦定理可得：sinBsinC（cosAsinA），sin（A+C）sinCcosAsinCsinA，sinAcosCsinCsinA0，-3分-4分tanC1，解得C=34-5分（2）选择条件，cosB=255，sinB=55-6分sinAsin（B+C）sinBcosC+cosBsinC=1010，由正弦定理可得：a=csinAsinC=

8、22-8分在ABD中，由余弦定理可得：AD2AB2+BD22ABBDcosB，解得AD=26-10分19（14分）在如图所示的四棱锥EABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BCE为边长为2的等边三角形，ABAE，点F，O分别为AB，BE的中点，（1）证明：平面ABE平面BCE；（2）记OCDE的重心为G，求直线AG与平面ABCD所成角的正弦值19解：（1）证明：O为BE的中点，等边BCE中，OCBE，-1分又OCOF，OFBEO，OF，BE平面ABE，OC平面ABE-3分OC平面BCE，平面ABE平面BCE；-4分（2）解：F，O为中点，OFAE，又OFABAEABABE是等腰直角三角形连接

9、AO，ABAE=2，OA1-5分OABE，OA平面ABE，平面ABE平面BCE；平面ABE平面BCEBEOA平面BCE-6分以O为原点，以为，建立如图所示的空间直角坐标系A（0，0，1），B（1，0，0），C（0，3，0），E（1，0，0），-7分四边形ABCD为平行四边形，设D（a，b，c），BC=AD，（1，3，0）（a，b，c1），D（1，3，1）-8分设平面ABCD的一个法向量为n=（x，y，z），BA=（1，0，1），BC=（1，3，0）x+z0，x+3y0，取n=（3，1，3）-10分由C，E，D的坐标可得CED的重心G（23，233，13），AG=（23，233，-23），-12

10、分设直线AG与平面ABCD所成角为，则sin|cosAG，n|=|nAG|n|AG|=2337×253=10535-14分20（12分）某景区有A,B两个出入口，在景区游客中随机选取了100人作为样本进行调查，调查结果显示从A出入口进入景区的有55人，从B出入口进入景区的有45人，（1）从上述样本中选取2人，求两人恰好从不同出入口进入景区的概率;（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，景区计划在今年国庆节当日投入1到3列往返两个景区出入口的通勤小火车，根据过去5年的数据资料显示，每年国庆节当日客流量（单位：万人）的频数表如下：国庆节当日客流量频数122以这5年的数据资料记录的3个区间客

11、流量的频率作为每年客流量在该区间发生的概率，且每年国庆节当日客流量相互独立.已知国庆节当日小火车的使用量（单位：列）受当日客流量（单位：万人）的影响，其关系如下表：国庆节当日客流量小火车的使用量123若某列小火车在国庆节当日投入且被使用，则景区当日可获得利润3万元；若某列小火车在国庆节当日投入却未被使用，则景区当日亏损0.5万元；记（单位：万元）表示该景区在国庆节当日获得的总利润，则该景区在今年国庆节当日应投入多少列小火车才能使获得利润的期望最大？20.解：（1）记“两人恰好从不同出入口进入景区”为事件,则-2分所以两人恰好从不同出入口进入景区的概率为. -3分（2）当投入1列小火车时，（万元

12、）. -4分当投入2列小火车时，若，则，此时； -5分若，则，此时；-6分此时的分布列如下表：2.56所以（万元）. -7分当投入3列小火车时，若，则，此时； -8分若，则，此时；-9分若，则，此时； -10分此时的分布列如下表：25.59所以（万元）. -11分由于，则景区在今年国庆节当日应投入3列小火车使获得利润的期望最大.-12分21.（14分）已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为F1,F2,且F2与抛物线y2=4x的焦点重合.(1)求椭圆的标准方程;(2)若过F1的直线交椭圆于B,D两点,过F2的直线交椭圆于A,C两点,且ACBD,求|AC|+|BD|的最小值.21.解(1)抛物线y2=

13、4x的焦点为(1,0)c=1-1分e=ca=1a=33a=3b2=2-2分椭圆的标准方程为x23+y22=1 -3分(2)(i)当直线BD的斜率k存在且k0时,直线BD的方程为y=k(x+1),-4分代入椭圆方程x23+y22=1,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2-6=0.-5分设B(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=-6k23k2+2,x1x2=3k2-63k2+2,-6分|BD|=1+k2·|x1-x2|=(1+k2)·(x1+x2)2-4x1x2=43(k2+1)3k2+2.-8分易知AC的斜率为-1k,所以|AC|=43(1k2+1)3

14、15;1k2+2=43(k2+1)2k2+3.-10分所以|AC|+|BD|=43(k2+1)13k2+2+12k2+3=203(k2+1)2(3k2+2)(2k2+3)203(k2+1)2(3k2+2)+(2k2+3)22=203(k2+1)225(k2+1)24=1635.当k2=1,即k=±1时,上式取等号,故|AC|+|BD|的最小值为1635.-12分(ii)当直线BD的斜率不存在或等于零时,易得|AC|+|BD|=1033>1635.-13分综上,|AC|+|BD|的最小值为1635.-14分22（10分）已知函数. (1)若,求函数的单调区间; (2)若

15、函数f(x)在区间1,2上为单调函数,求a的取值范围.22.解: (1)若,则的定义域为-1分-2分当; -3分当. -4分故函数的单调递增区间为，单调递减区间为-5分2020-2021第一学期东莞一中高三数学周测试卷（四）参考答案一、选择题： 1-5 BACAC 6-10 DDABD 11.ACD12.BCD二、填空题：13. (-2,-4) 14. 15. 16.三、解答题：17解：（1）设等差数列an的公差为d，在等差数列an中，S26，S312，a3S3S26，又S2a1+a2a32d+a3d123d6，d2从而a1a32d2，则an2+2（n1）2n；-2分由a1b12，得b1T11

16、b2=T2-T1=43-1=13，设数列bn的公比为q，q=b2b1=13，则bn=1×(13)n-1=(13)n-1；-4分（2）由（1）知，Sk=k(a1+ak)2=k(k+1)，-5分Skk（k+1）6k，整理得k25k0，解得0k5-6分又Tk=1×(1-13k)1-13=32(1-13k)=32-12×3k-1-7分Tk=32-12×3k-1139，即13k-119，解得k3-9分存在正整数k4，使得Sk6k且Tk139-10分18解：（1）2b2（b2+c2a2）（1tanA）2b22bccosA（1tanA）bc（cosAsinA），-1分

17、由正弦定理可得：sinBsinC（cosAsinA），sin（A+C）sinCcosAsinCsinA，sinAcosCsinCsinA0，-3分-4分tanC1，解得C=34-5分（2）选择条件，cosB=255，sinB=55-6分sinAsin（B+C）sinBcosC+cosBsinC=1010，由正弦定理可得：a=csinAsinC=22-8分在ABD中，由余弦定理可得：AD2AB2+BD22ABBDcosB，解得AD=26-10分19解：（1）证明：O为BE的中点，等边BCE中，OCBE，-1分又OCOF，OFBEO，OF，BE平面ABE，OC平面ABE-3分OC平面BCE，平面A

18、BE平面BCE；-4分（2）解：F，O为中点，OFAE，又OFABAEABABE是等腰直角三角形连接AO，ABAE=2，OA1-5分OABE，OA平面ABE，平面ABE平面BCE；平面ABE平面BCEBEOA平面BCE-6分以O为原点，以为，建立如图所示的空间直角坐标系A（0，0，1），B（1，0，0），C（0，3，0），E（1，0，0），-7分四边形ABCD为平行四边形，设D（a，b，c），BC=AD，（1，3，0）（a，b，c1），D（1，3，1）-8分设平面ABCD的一个法向量为n=（x，y，z），BA=（1，0，1），BC=（1，3，0）x+z0，x+3y0，取n=（3，1，3）-10

19、分由C，E，D的坐标可得CED的重心G（23，233，13），AG=（23，233，-23），-12分设直线AG与平面ABCD所成角为，则sin|cosAG，n|=|nAG|n|AG|=2337×253=10535-14分20.解：（1）记“两人恰好从不同出入口进入景区”为事件,则-2分所以两人恰好从不同出入口进入景区的概率为. -3分（2）当投入1列小火车时，（万元）. -4分当投入2列小火车时，若，则，此时； -5分若，则，此时；-6分此时的分布列如下表：2.56所以（万元）. -7分当投入3列小火车时，若，则，此时； -8分若，则，此时；-9分若，则，此时； -10分此时的分布列如下表：25.59所以（万元）. -11分由于，则景区在今年国庆节当日应投入3列小火车使获得利润的期望最