2021届人教A版（理科数学）函数的奇偶性与周期性单元测试

1、7函数的奇偶性与周期性第 5 基础巩固1.函数f(x)=1x-x的图象关于()A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称答案:C解析:f(-x)=-1x+x=-1x-x=-f(x),且定义域为(-,0)(0,+),f(x)为奇函数.f(x)的图象关于坐标原点对称.2.已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=()A.1B.5C.-1D.-5答案:B解析:令g(x)=f(x)+x,由题意可得g(-2)=g(2)=f(2)+2=3.又g(-2)=f(-2)-2,故f(-2)=g(-2)+2=5.3.(2020江西红色七校第 一次联考)设f(x

2、)是定义在R上的周期为3的周期函数,该函数在区间(-2,1上的图象如图所示,则f(2 018)+f(2 019)=()A.2B.1C.-1D.0答案:C解析:因为函数f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数,所以f(2020)=f(2020-673×3)=f(-1),f(2020)=f(2020-673×3)=f(0),由题中图象知f(-1)=-1,f(0)=0,所以f(2020)+f(2020)=f(-1)+f(0)=-1.故选C.4.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0上f(x)是减函数.若f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是()A.(

3、-,2)B.(-2,2)C.(-,-2)(2,+)D.(2,+)答案:B解析:由题意知f(-2)=f(2)=0,当x(-2,0时,f(x)<f(-2)=0.由对称性知,当x0,2)时,f(x)为增函数,f(x)<f(2)=0,故x(-2,2)时,f(x)<0,故选B.5.若偶函数f(x)在区间(-,0上单调递减,a=f(log23),b=f(log45),c=f(232),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a答案:B解析:由偶函数f(x)在区间(-,0上单调递减,可得f(x)在区间

4、(0,+)内单调递增.又因为1<log45<log23<2<232,所以b<a<c.6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=f(x).若当x0,1)时,f(x)=2x-2,则f(log1242)的值为()A.0B.1C.2D.-2答案:A解析:因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(log1242)=f(-log2252)=f-52=-f52.又f(x+2)=f(x),所以f52=f12=212-2=0.所以f(log1242)=0.7.已知定义域为R的函数f(x)在区间(8,+)内为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,则()

5、A.f(6)>f(7)B.f(6)>f(9)C.f(7)>f(9)D.f(7)>f(10)答案:D解析:由y=f(x+8)为偶函数,知函数f(x)的图象关于直线x=8对称.又f(x)在区间(8,+)内为减函数,故f(x)在区间(-,8)内为增函数.可画出f(x)的草图(图略),知f(7)>f(10).8.(2020甘肃酒泉敦煌中学一诊)定义在R上的偶函数f(x)在区间0,+)内单调递增,f13=0,则满足f(log18x)>0的x的取值范围是()A.(0,+)B.0,12(2,+)C.0,1812,2D.0,12答案:B解析:由题意知,函数f(x)是定义在R

6、上的偶函数,f(x)在区间0,+)内单调递增,且f13=0.又f(log18x)>0,则f(|log18x|)>f13,即|log18x|>13,故log18x>13或log18x<-13,解得0<x<12或x>2.故x的取值范围是0,12(2,+).故选B.9.已知定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x+1)=f(x-1),且当-1<x<0时,f(x)=2x-1,则f(log220)等于()A.14B.-14C.-15D.15答案:D解析:由f(x+1)=f(x-1),得f(x+2)=f(x+1)+1=f(x),f(x)是周期为2的

7、周期函数.log232>log220>log216,4<log220<5,f(log220)=f(log220-4)=flog254=-f-log254.当x(-1,0)时,f(x)=2x-1,f-log254=-15,故f(log220)=15.10.(2020广东百校联考)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且g(0)=0,当x0时,f(x)-g(x)=x2+2x+2x+b(b为常数),则f(-1)+g(-1)=. 答案:-4解析:由f(x)是定义在R上的奇函数可知f(0)=0,所以f(0)-g(0)=20+b=0,所以b=-1,所以f

8、(1)-g(1)=4,所以f(-1)+g(-1)=-f(1)+g(1)=-f(1)-g(1)=-4.11.(2020全国,理14)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-eax.若f(ln 2)=8,则a=. 答案:-3解析:ln2(0,1),f(ln2)=8,f(x)是奇函数,f(-ln2)=-8.当x<0时,f(x)=-eax,f(-ln2)=-e-aln2=-8,e-aln2=8,-aln2=ln8,-a=3,a=-3.12.已知奇函数f(x)的定义域为-2,2,且在区间-2,0上单调递减,则满足f(1-m)+f(1-m2)<0的实数m的取值范围为.&

9、#160;答案:-1,1)解析:f(x)的定义域为-2,2,-21-m2,-21-m22,解得-1m3.又f(x)为奇函数,且在-2,0上单调递减,f(x)在-2,2上单调递减,f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1).1-m>m2-1,解得-2<m<1.综上可知,-1m<1,即实数m的取值范围是-1,1).能力提升13.已知函数f(x)是周期为4的偶函数,当x0,2时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0在-1,3上的解集为()A.(1,3)B.(-1,1)C.(-1,0)(1,3)D.(-1,0)(0,1)答案:C解析:f(x)的图象如图所示.

10、当x-1,0)时,由xf(x)>0,得x(-1,0);当x0,1)时,由xf(x)>0,得x;当x1,3时,由xf(x)>0,得x(1,3).故x(-1,0)(1,3).14.(2020河北唐山高三摸底)设函数f(x)=x(ex+e-x),则f(x)()A.是奇函数,且在区间(0,+)内是增函数B.是偶函数,且在区间(0,+)内是增函数C.是奇函数,且在区间(0,+)内是减函数D.是偶函数,且在区间(0,+)内是减函数答案:A解析:由题意可知,f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)(e-x+ex)=-x(ex+e-x)=-f(x),故f(x)为奇函数.f&#

11、39;(x)=ex+e-x+x(ex-e-x),当x>0时,ex>e-x,所以x(ex-e-x)>0,又ex+e-x>0,所以f'(x)>0,所以f(x)在区间(0,+)内是增函数.故选A.15.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的xR,都有f(x+2)=f(x).当0x1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象在区间0,2上恰有两个不同的公共点,则实数a的值是()A.0B.0或-12C.-14或-12D.0或-14答案:D解析:因为f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期T=2.因为当0x1时,f(x)=x2,且f(

12、x)是偶函数,所以可画出函数y=f(x)在一个周期0,2上的图象如图所示.显然a=0时,y=x与y=x2在区间0,2上恰有两个不同的公共点.另当直线y=x+a与抛物线y=x2(0x1)相切时,也恰有两个不同的公共点.由题意知x2=x+a,即x2-x-a=0.故=1+4a=0,即a=-14.综上可知,a=0或a=-14.16.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(x),当x0,1时,f(x)=3x.若12<a<34,则关于x的方程ax+3a-f(x)=0在区间-3,2上不相等的实数根的个数为. 答案:5解析:f(x+2)=f(x),函数f(x)是周期为2

13、的函数.若x-1,0,则-x0,1,此时f(-x)=-3x.由f(x)是偶函数,可知f(x)=f(-x)=-3x.由ax+3a-f(x)=0,得a(x+3)=f(x).设g(x)=a(x+3),分别作出函数f(x),g(x)在区间-3,2上的图象,如图所示.因为12<a<34,且当a=12和a=34时,对应的直线为图中的两条虚线,所以由图象知两个函数的图象有5个不同的交点,故方程有5个不同的根.17.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间0,2上是增函数.若方程f(x)=m(m>0)在区间-8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x

14、2+x3+x4=. 答案:-8解析:f(x)为奇函数,且f(x-4)=-f(x),f(x-4)=-f(4-x)=-f(x),即f(x)=f(4-x),且f(x-8)=-f(x-4)=f(x),即y=f(x)的图象关于直线x=2对称,且是周期为8的周期函数.f(x)在区间0,2上是增函数,f(x)在区间-2,2上是增函数,在区间2,6上是减函数.据此可画出y=f(x)图象的草图(如图):其图象也关于直线x=-6对称,x1+x2=-12,x3+x4=4,x1+x2+x3+x4=-8.高考预测18.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间0,2上是增函数,则()A.f(-25)<f(11)<f(80)B.f(80)<f(11)<f(-25)C.f(11)<f(80)<f(-25)D.f(-2