补：复坡印矢量

1、第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波19:20 时谐电磁场问题求解的有利因素时谐电磁场问题求解的有利因素( , )( ) ( )F r tF r T t时-空可以分离求解！即： 可以独立分析物理量的 空间变化和时间变化实现时空分离的方法：实现时空分离的方法： 将场量用将场量用复数形式复数形式来表示来表示4. 5 时谐电磁场时谐电磁场 复习复习第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波19:20 时谐场量的数学表示时谐场量的数学表示 时谐场量的实数表示（瞬时表示）时谐场量的实数表示（瞬时表示）0( , )cos( )A r tAtr( )Re( )Re ( )j tjrj tmAr

2、 eeA r e( )( )( )jrmA rAr e式中：式中： 时谐场量的复数表示时谐场量的复数表示0( , )cos( )A r tAtr场量的复数形式场量的复数形式第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波19:20场量复数表达形式和瞬时（实数）形式相互转换场量复数表达形式和瞬时（实数）形式相互转换场量的复数形式：场量的复数形式：0jEE e场量的瞬时形式场量的瞬时形式：0cos()EEt 场量的复数形式转换为实数形式的方法：场量的复数形式转换为实数形式的方法：0jEE etje ()0jtE e取实部0cos()Et第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波19:20麦克斯韦

3、方程组微分形式麦克斯韦方程组微分形式 麦克斯韦方程的复数表示麦克斯韦方程的复数表示复矢量复矢量MaxwellMaxwell方程方程( , )( , )( , )( , )( , )( , )0( , )( , )r tr tr ttr tr ttr tr tr t DHJBEBD( , )( , )r tJ r tt ( )( )j( )( )j( )( )( )( )0H rJ rD rE rB rD rrB r ( )( )J rjr 第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波19:205导电媒质导电媒质理想介质理想介质瞬时矢量瞬时矢量复矢量复矢量22222200ttEEHH22220

4、0kkEEHH()k 22222200ttttEEEHHH222200cckkEEHH()cck 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程的复数表示的复数表示无源波动方程无源波动方程第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波19:206洛仑兹条件洛仑兹条件达朗贝尔方程达朗贝尔方程瞬时矢量瞬时矢量复矢量复矢量t BAAEj BAEAtAj A222222tt AAJ2222kk AAJ()k 时变电磁场为时变电磁场为统一整体统一整体位函数同时包括位函数同时包括标量位标量位和和矢量位矢量位 时谐场位函数的复数表示时谐场位函数的复数表示有源波动方程有源波动方程第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波19:

5、20 复介电常数和复磁导率复介电常数和复磁导率 复介电常数复介电常数在正弦电磁场中，复介电常数是一个复数，可以表示为在正弦电磁场中，复介电常数是一个复数，可以表示为 jc其虚部总是大于零的正数，反映媒质的极化损耗。媒质单位其虚部总是大于零的正数，反映媒质的极化损耗。媒质单位体积的极化损耗平均功率为体积的极化损耗平均功率为 222*Re )(Re )ReReEEjEEEjjEj(EJEP*cav 当频率较低时，媒质的极化损耗常常可以忽略。当频率较低时，媒质的极化损耗常常可以忽略。第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波19:20对于线性、均匀、各向同性的媒质，在没有场源的空间，麦对于线性、

6、均匀、各向同性的媒质，在没有场源的空间，麦克斯韦第一方程的复数形式为克斯韦第一方程的复数形式为 EjEjEEjjEHc )( )(式中式中)( jc当介质的电导率为当介质的电导率为不为零的有限值不为零的有限值，此时介质存在，此时介质存在欧姆损耗欧姆损耗。等效复介等效复介电常数电常数表征欧姆表征欧姆损耗损耗说明：说明：采用等效复介电常数之后，可以把导体也视为一种等效的电介质，采用等效复介电常数之后，可以把导体也视为一种等效的电介质，从而使包括导体在内的所有各向同性媒质采用同样的方法去研究从而使包括导体在内的所有各向同性媒质采用同样的方法去研究第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波19:2

7、0 介质损耗角介质损耗角对对导电媒质：导电媒质：tan导电媒质损耗角导电媒质损耗角1 弱导电媒质和良绝缘体弱导电媒质和良绝缘体1 普通导电媒质普通导电媒质1 良导体良导体导电媒导电媒质分类质分类媒质媒质导电性导电性的强弱与频率有的强弱与频率有关，同一种媒质在低频时可关，同一种媒质在低频时可能为良导体，而在高频时可能为良导体，而在高频时可能变得类似绝缘体。能变得类似绝缘体。等效复介电常数等效复介电常数虚部虚部与与实部实部的的比比, ,称为称为损耗角正切损耗角正切: : etanctan描述了传导电流与位移电流描述了传导电流与位移电流的振幅比的振幅比第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波1

8、9:20与媒质的介电性能相似，媒质的导磁性能在高频下可以用复与媒质的介电性能相似，媒质的导磁性能在高频下可以用复磁导率表示为磁导率表示为 jc 复磁导率复磁导率复磁导率的虚部也是与磁损耗相对应的。复磁导率的虚部也是与磁损耗相对应的。对于导磁媒质，其损耗角正切定义为对于导磁媒质，其损耗角正切定义为 mtan损耗越小的介质，其损耗角正切值越小。良好媒质的损耗角损耗越小的介质，其损耗角正切值越小。良好媒质的损耗角正切在正切在10-3以下。且研究表明金属导体的电导率在直到红外线以下。且研究表明金属导体的电导率在直到红外线的整个射频范围内，均可看成实数且与频率无关。的整个射频范围内，均可看成实数且与频率

9、无关。 第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波19:20例例 海水电导率海水电导率 ，相对介电常数，相对介电常数 。求海水。求海水在在 和和 时的等效复介电常数。时的等效复介电常数。4/S m 解：解：81 r r1fkHzfGHz1当当 时时1fkHz03481210cjj46.37 10/jF m 当当 时时1fGHz09481210cjj10107.16 106.37 10/jF m媒质媒质导电性导电性的强弱与频率有关，同一种媒质在低频的强弱与频率有关，同一种媒质在低频时可能为良导体，而在高频时可能变得类似绝缘体。时可能为良导体，而在高频时可能变得类似绝缘体。第4章 时变电磁场电

10、磁场与电磁波电磁场与电磁波19:2012表征电磁能量守恒关系的定理表征电磁能量守恒关系的定理积分形式：积分形式： 坡坡印廷定理印廷定理微分形式：微分形式：11()()22tE HE DH BE J d11() d()ddd22SVVVVtE HSE DH BE J 表示通过界面在单位时间内进入V内电磁场的能量表示单位时间内空间区域电磁场能量的增量 区域内场对荷电系统所作的功率 设有一闭合介质空间区域V，其内存在时变的电荷、电流和电磁场。 JV 时变电磁场的能量时变电磁场的能量第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波19:20VVSVEJ21VDEBHjSHEdd )2121(d21*)2

11、121()21(EJ21DEBHjHE 场量用复数表示时场量用复数表示时坡坡印廷定理的表示式印廷定理的表示式积分形式：积分形式：微分形式：微分形式：Poynting定理给出了时变电磁场能量传播的一个新图像，电定理给出了时变电磁场能量传播的一个新图像，电磁场能量通过电磁场传播。磁场能量通过电磁场传播。如果把复介电常数和复磁导率考虑进来，请参考第如果把复介电常数和复磁导率考虑进来，请参考第4.5.6节（节（P185）第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波19:20为对场量为对场量 取复数共轭运算。取复数共轭运算。 时谐场的平均能流密度时谐场的平均能流密度和平均能流密度矢量和平均能流密度矢量

12、0011( )( )( )TTavSS t dtE tH t dtTT 对时谐场，平均坡印廷矢量可由场矢量的复数形式计算：对时谐场，平均坡印廷矢量可由场矢量的复数形式计算：1Re2avSEH式中：式中： 、 为场量的为场量的复数表达式复数表达式；EHHH 平均能流密度：平均能流密度：第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波19:20HESPoynting定理表示闭合空间区域V内电磁场能量守恒和转化的关系式，其中 描述电磁场能量流动的物理量。代表单位时间内流出封闭面S的能量, 即流出S面的功率。坡印廷矢量的大小表示单位时间内通过垂直于能量传输方向的单位面积的电磁能量。坡印廷矢量的方向即为电

13、磁能量传播方向。 坡印廷矢量坡印廷矢量称为称为PoyntingPoynting矢量矢量 复复坡印廷坡印廷矢量矢量*21HES它的实部表示功率流密度 的时间平均值，虚部为无功功率流密度。),( trS第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波19:20例 一段长直导线l, 半径为a, 电导率为。设沿线通过直流I, 试求其表面处的坡印廷矢量, 并证明坡印廷定理。 直流导线段 解解 aIeHAIeJEz2 ,故表面处坡印廷矢量为 aAIeHES22它的方向垂直于导体表面, 指向导体里面。为证明坡印廷定理, 需将S沿圆柱表面积分: RIAlIalaAIdsaAIdsSss2222222导体内的热损

14、耗功率为 RIAlIAlAIdvJdvEdvPVVV222222电路理论中的焦耳定理. 其微分形式为 22JEJEP第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波19:20 恒定电流或低频交流电的情况下， 场量往往是通过电流、电压及负载的阻抗等参数表现，表面上给人造成能量是通过电荷在导线内传输的假象。负载只需经过极短（负载只需经过极短（t=L/c，其中其中c为光速）的时间就能为光速）的时间就能得到能量的供应。得到能量的供应。 如能量真是通过电荷在导线内传输，常温下导体如能量真是通过电荷在导线内传输，常温下导体中的电荷运动速度约中的电荷运动速度约10-5m/s，电荷由电源端到负，电荷由电源端到负

15、载端所需时间约是场传播时间的亿万倍。载端所需时间约是场传播时间的亿万倍。I第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波19:20第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波19:20例例 已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度为已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度为0cos() (/)yEe EtkzV m求：求：(1)(1)磁场强度；（磁场强度；（2 2）瞬时坡印廷矢量；（）瞬时坡印廷矢量；（3 3）平均坡印廷矢量）平均坡印廷矢量解：解：(1)(1)BEt 0sin()yyzxxEEBeee kEtxztkz 000()1xkEBHdtec stkzto000cos()()yx

16、e EtkzkEcostkze0220cos ()ztzkEek(2)(2)( )( )( )S tE tH t第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波19:20(3)(3)01( )( )TavSE tH t dtT20200cos ()zTetkzkEdtT2000cos(22) 12TztkzekEdtT2200(/2)zkEmeW另解：另解：0jkzyEe E e00jkzxkEHee 00011Re()22jkxjkzyzavekESEHeEee 2200(/)2zkEmeW第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波19:20静态电磁场静态电磁场时变电磁场时变电磁场电磁波电磁波第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波19:20分析求解电磁问题的基本出发点和强制条件分析求解电磁问题的基本出发点和强制条件DBtBEtDJH0tJ出发点出发点Maxwell方程组方程组条条 件件本构关系本构关系边界条件边界条件DEBHJE12121212()()0()0()nSnnnSeHHJeEEeBBeDD12(