转子动力学基础

1、2022-2-181第一章第一章 转子动力学基础转子动力学基础l本章主要内容：1.涡动分析、临界转速2.重力影响 3.弹性支承影响 4.非轴对称转子影响、稳定性问题 5.初始弯曲影响 6.等加速过临界的特点2022-2-182第一节第一节 转子的涡动转子的涡动l旋转的转子是具有质量和弹性的振动系统，这与其他振动系统相同。l区别：转子是旋转的l涡动：既有自转，又有公转，是一种复合运动。不平衡力引起的同步正进动分析2022-2-183第二节第二节 JeffcottJeffcott转子涡动分析转子涡动分析Jeffcott转子：垂直安装等截面对称转子、不计重力影响。一、一、JeffcottJeffco

2、tt转子运动微分方程转子运动微分方程lJeffcott转子示意图l薄盘薄盘：h/D0.1；偏心矩：el定坐标系定坐标系：oxyz；基点：l设自转为常数，确定 的运动：lx(t)、y(t) 或 r(t)、(t)l假设：假设：扭转刚度无限大(不计扭振)l 忽略轴向位移、刚性支承l 轴的弯曲刚度为EJl E：弹性模量 J：截面惯性矩oo2022-2-184轴的弹性恢复力在坐标轴上投影为：轴的弹性恢复力在坐标轴上投影为： k轴的刚度系数对称简支梁中点刚度为：对称简支梁中点刚度为：粘性外阻尼力在坐标轴上投影为：粘性外阻尼力在坐标轴上投影为： c粘性阻尼系数 由牛顿定律可得：由牛顿定律可得：由几何关系可知

3、：由几何关系可知：2022-2-185l两边对时间求两次导数得：l代入牛顿方程得 点的运动微分方程l根据动量矩定理，可得圆盘绕重心c转动的微分方程：l对于稳态涡动，o( cossin)ITke xy02022-2-186l代入牛顿方程得 点的运动微分方程l化为标准形式为：l式中：l 弹性轴无阻尼横向振动固有频率l 相对阻尼系数运动微分方程与线性阻尼系统强迫振动相同，可设解为o2022-2-187l代入运动微分方程解得:l 点作圆周运动，参照极坐标几何关系:l故运动半径为轴的动挠度r，为动挠度r与偏心矩e间的相位差，且有:o222arctanpp 22222()(2)(t)errppt r202

4、2-2-18822222222222()(2)(1)(2)eeprrpppp r22222arctanarctan1 ()pppp / p/ p2022-2-1890pre=90pre?180pre?低转速区低转速区共振区共振区高转速区高转速区圆盘重边飞出圆盘重边飞出圆盘轻边飞出；圆盘轻边飞出；自动定心或质心转向自动定心或质心转向2022-2-1810l临界转速定义(ISO)：系统(位移)共振时主响应的特征转速。l主响应：轴颈运动或转子挠曲l对于Jeffcott转子，临界转速对应l常以cr或c表示，若以转/分或转/秒为单位，则有l 或l将转子挠度表达式代入临界转速条件得l解得l可见，阻尼总使临

5、界转速大于横向振动固有频率，与机械振动中的阻尼使固有频率降低作用相反。l当转子系统阻尼很小时，可近似认为：l此时有crp2022-2-1811lp时，/2，与阻尼系数大小无关，利用这一特点可测取转子系统的p，在小阻尼情况下可近似为临界转速。l当0时，p时，0， 三点在一条直线上l p时， 三点在一条直线上l p时，/2，r,不同转速下圆盘偏心位置见图114coo、 coo、 2022-2-1812l=，同步正涡动，或正协调进动；l=-，同步反涡动，或反协调进动；l，同方向，正涡动，或非协调正进动；l，反方向，反涡动，或非协调反进动。l当转子圆盘不在中间时，即使是无阻尼系统，其临界转速p，主要是

6、陀螺力矩影响。同步正进动轴的受力同步正进动轴的受力2022-2-1813l例：已知：轴长l=57cm，直径d=1.5cm，轴材料弹性模量l ，圆盘厚度h=2cm，直径D=16cm,材料密度 ，不计阻尼。l求：1）临界转速crl 2）e=0.1cm，0.6cr；0.8cr时的动挠度r及支反力幅值F。l解：弹性轴质量：l 圆盘质量：弹性轴中点刚度：不计轴质量时临界转速：26/1058.20cmNE33/108 . 7cmkgkgms7856. 0108 . 7574/ )5 . 1(32kgmD137. 3108 . 724/ )16(32cmNlEJk/553.1325)6457/()5 . 1

7、1058.2048(/483463min/96.1962137. 310553.12325302603rmkDcr2022-2-1814l计入弹性轴等效质量，按照振动理论，梁在中点的等效质量为原质量的17/35，则临界转速为：min/3 .185335/177856. 0137. 310553.123253035/172603rmmksDcrcmercr05625. 01)6 . 0/1 (1 . 01)/(22940. 1)137. 37856. 0(562.74)(gmmFDs0.6cr时挠度为：支反力幅为：F=kr=74.562N轴承力与重力之比为：2022-2-1815l0.8cr时挠

8、度为：l支反力幅为：F=kr=235.68Nl轴承力与重力之比为：131. 6)137. 37856. 0(68.235)(gmmFDscmercr1778. 01)8 . 0/1 (1 . 01)/(222022-2-1816第二节第二节 刚体绕定点的转动刚体绕定点的转动l力学模型：连续质量模型弹性体l 集中质量模型盘轴系统l本章以盘轴系统为分析模型l刚体在空间有六个自由度：沿三个垂直轴方向的平移和绕这三个轴的转动。l理论力学：刚体运动可分解成随基点的平动和绕基点的转动。l平动运动规律与基点选择有关；l转动运动规律与基点选择无关。l1.2.1 描述定点刚体位置的欧拉角描述定点刚体位置的欧拉角

9、l刚体球铰定点约束：约束三个平动自由度；l 只有三个转动自由度。2022-2-1817l定坐标系oxyz与动坐标系的关系 见表11和图16l关系式为：zyxo( , , )( ,)x y zx y z2022-2-1818l各方向余弦存在关系：l因此，九个方向余弦中只有三个是独立的（自由度数）。l方向余弦求解复杂，采用夹角欧拉角表示，多种定义。l1、第一种定义（图17）：l1)动坐标与静坐标重合，先绕oz轴转动角进动角；l 到达oNN1z，oN称为节线，右手法则l2)绕oN轴转角方位或挠曲角；l 到达l3)绕 转角自转角；l 到达l引入坐标轴矢量 、zo zNoNzyxokji、kji、202

10、2-2-1819l再引入oN、oN1及 的单位矢量 ，则有：l 由于：l得到：zo nnn、12022-2-1820l2、第二种定义（图18）l1)动坐标与静坐标重合，先绕oy轴转动角,到达ox1yz1；l 右手法则l2)绕ox1轴转角,到达l3)绕 转角自转角，l到达l、结合体现进动与方位角。l令ox1、oy1、oz1单位矢量为l则有zyox11zo zyxo321nnn、sin32nn2022-2-1821由此可导出欧拉角的三角函数表示的方向余弦：由此可导出欧拉角的三角函数表示的方向余弦：2022-2-1822l欧拉角表示的刚体绕定点转动的运动为l 或l1.2.2 刚体绕定点运动的角速度及

11、速度分布刚体绕定点运动的角速度及速度分布l刚体的角速度为l 或l 所在的位置称为刚体绕定点转动的瞬时转动轴，瞬时转动轴时刻不同，但总通过定点。l第一种定义法得到矢量 向定坐标系投影得2022-2-1823l利用方向余弦关系得l 向动坐标系投影得l类似，由第二种定义可得 向定坐标系和动坐标系的投影l刚体上任一点瞬时速度矢量为2022-2-1824l将速度向定坐标系和动坐标系投影得l刚体上各点角加速度和加速度为l1.2.3 刚体作定点转动时的动量矩定理刚体作定点转动时的动量矩定理l动量矩定理：刚体对定点动量矩定理：刚体对定点o的动量矩的动量矩 对时间对时间t的导数，等的导数，等于外力系对该点的主矩

12、于外力系对该点的主矩 则有l对有集中质量的刚体，动量矩为l刚体在绝对运动中对质心的动量矩 ，等于刚体随质心平移动坐标系中运动的相对于质心的动量矩 。xvoHoLcHcrH2022-2-1825l因为由速度合成定理：l则刚体相对质心的绝对运动动量矩为l由于刚体对质心的质量矩等于零，即l因此l若将固定点取在质心o上，则有l在相对随质心平移的动坐标系中，刚体对质心动量矩对时在相对随质心平移的动坐标系中，刚体对质心动量矩对时间的导数等于外力系对质心的主矩间的导数等于外力系对质心的主矩刚体相对质心的动刚体相对质心的动量矩定理。量矩定理。l因此，对质心动量矩的计算只需考虑相对转动。l刚体作定点转动时，有l

13、刚体动量矩为icivvv)()()()(iiiciiiciiiiicvmrvrmvvmrvmrHcriiicHvmrHiirv)()(2 2 2 iziyixiiiiiiiiiiiiiiiczyxrmzyxmrrmrrmrmrH）（）（）（2022-2-1826l向动坐标系投影得l式中： 为刚体对 轴的惯性矩l 为刚体对 、 轴的惯性积l 为刚体对 、 轴的惯性积l对一般具有圆截面的均质轴对称转子有l对均质薄圆盘有l式中：m圆盘质量l R圆盘半径l类似可得l于是xo iiiyxyxmIxo yo xo zo 2022-2-1827l如果 为刚体对o点的主惯性轴，则各惯性积为零，即l于是有 l一

14、般情况下的矢量关系如图19。l若刚体对动坐标系的惯性矩为常数l则有l式中：l 欧拉动力学方程zyxo0 xzzyyxIIIkIjIiIHzzyyxxoxzxzzzzxzzyyyyzyyxxxxIIILIIILIIIL)()()(2022-2-1828l1.2.4 刚体运动的动能刚体运动的动能l能量定理、拉个朗日方程运动微分方程l设刚体质量为m，基点运动方程为x(t)、y(t)、z(t)，以基点为原点的动坐标系 是刚体的惯性主轴，惯性矩分别是 ，则刚体的动能为l通常转子沿oz轴方向的运动为二阶小量，可忽略不计，即有 z(t)=0l故转子的动能计算公式为zyxozyxIII、2022-2-1829

15、第三节第三节 单盘偏置转子的涡动、回转效应单盘偏置转子的涡动、回转效应l转动惯量转动惯量：反应刚体质量分布的力学参数。l中心极转动惯量：极转动惯量： 绕通过执行的对称轴的转动惯量。绕通过执行的对称轴的转动惯量。l中心直径转动惯量：直径转动惯量： 绕通过质心的任一直径的转动惯量l均值等厚度圆盘，其转动惯量为：l圆盘的回转效应：转动的刚体有力图保持转轴方向不变的特性。转动物体的惯性的体现。pJdJ212pJmr2211412dJmrml2022-2-1830三个圆盘的动量矩：pHJ 的方向沿轴线的切线方向。若转子以角速度 HdHdt绕z轴转动，则动量矩的变化率：2022-2-1831动量矩定理：圆

16、盘在轴上的反力矩：pdLHdt圆盘的回转力矩：ppLL sinppLHJ2022-2-1832l回转效应：由于高速旋转圆盘的偏摆运动而使临界转速变化的现象（见图115）。1.3.1 单盘偏置转子运动微分方程单盘偏置转子运动微分方程l假设：无阻尼、无偏心l 不计轴质量l 如图115，圆盘的轴线在空间l画出的轨迹是个锥面。l为分析方便，建立如下坐标系：l(图116、图117）l1）定坐标系：oxyzl2）随 点平移坐标系：l3）固联于 动坐标系：ozyxooo2022-2-1833l 其中： 是轴挠度曲线的切线l 、 为两正交直径ooo2022-2-1834l薄盘运动可以用xoz、yoz平面投影x

17、(t)、y(t)表示。l采用第二种欧拉角定义有l故可以用x(t)、y(t)、(t)、(t)、(t)确定圆盘空间位置，描述运动状态。l如图118， 点的挠度x和转角为l解出盘对轴的作用力Fx和力矩Mx为：o2022-2-1835l 式中：式中和Mx的转向如图118所示。在yoz平面也有类似公式；l为了使力矩矢量都沿坐标轴正方向， My与 Mx的转向规定相反 于是有l根据质心运动定理：l代入力关系式得 点横向运动微分方程为：o2022-2-1836l化成标准形式： 式中：l由动量矩定理可建立圆盘绕 点转动的运动微分方程。 由于、都是小量，故有：l根据图117，三个轴的角速度为： 显然， 、 、 为

18、圆盘的三个中心主 惯性轴。 令圆盘对 轴转动惯量为Ip，对 、 轴转动惯量为Idl则有：oo1o1oo1o1o2022-2-1837l对 轴的角速度就是自转角速度，即：l故对三个轴的动量矩为：l分别向 、 、 轴投影得：l根据对质心的动量矩定理，对圆盘有l由于 是质心，所以重力对 、 的矩为零。l假设作用圆盘上的所有外力对 的矩为零，则由上式得：l 常数oddpIII、oxo yo oxo yo o2022-2-1838l在此条件下，可得盘的偏摆运动微分方程：l与方程 联立求解1.3.2 单盘转子涡动分析单盘转子涡动分析l设联立方程的解为：l代入联立方程，得到A、B、C、D的一次齐次方程组，根

19、据非零解的条件，方程系数行列式的值应等于零，由此得到关于自然频率的高次方程，将解得的代回联立方程，2022-2-1839l可得相应的一组A、B、C、D之间的比值。l转子运动稳定时，动挠度曲线在动坐标系中是不变的；只是绕着oz轴进动，进动角(t)一般从ox轴量起。l令总的动挠度为r，挠曲角为，由图119几何关系得l显然，r、常数，且l 常数l将以上关系式代入联立方程得2022-2-1840l由此可见：弹性轴发生弯曲不仅有离心力( )，还有回l转力矩 的影响；回转力矩改变了轴的弯曲刚l度。l上式是关于r、的齐次方程，由非零解条件得：l展开后得：l即l上式可求得得四个根，且随而变，令：l为同步正进动

20、，则方程为2m2)dpII（2022-2-1841l 存在一个正根（负根舍去）：l讨论：1）令l频率方程为：l解得：l式中： 为弹性轴 点的横向刚度l此时得到的频率数值上等于转子不旋转时的横向固有频率，即不计回转效应时转子临界转速。l频率为：l2）令 为同步反涡动，频率方程为2o2022-2-1842l 有两个正根(仍然假设为薄盘，即Ip=2Id)为l3）如果出现IpXr，则为正涡动；如果Xpky，则：cxcy。la）当0，YsXcl则：XpXr，为正涡动，为正涡动，a=|Ys|，b=Xc， 。000,902022-2-1856lb）当cy时，Xc0，Ysl则：a=，b=Xc， 。lc）当 时

21、，Xc0，Ys0l则：Xp0l则：Xp0，Ys0，且XcYsl则：Xp0l则：a=， b=Xc， lg）当cx时，Xc0，且|Xc|Ysl则：XpXr，为正涡动，为正涡动， a=|Xc|，b=Ys，lh）当时，Xc=-e，Yc=e l则：XpXr，为正涡动，为正涡动， ab=e，0090,902/ )(2cy2cxcy00180,902/ )(2cy2cx00270,45cx2cy2cx2/ )(000,00090,000180,001802022-2-1857l盘心运动轨迹和方向如图129。l通常轴的两个方向刚度差异不大，两个临界转速靠得很近，一般不允许在临界转速附近停留，故一般只能看到正进

22、动。2022-2-1858第六节第六节 非轴对称单盘转子的涡动分析非轴对称单盘转子的涡动分析l实际转子非对称典型结构见图130l假设支承刚度远大于轴的弯曲刚度，由l于轴刚度不对称，重力激励频率为转速l二倍。当转速到达临界转速一半时，会l使动挠度达到极值副临界。是引起l副临界的重要原因（图131）。2022-2-18591.6.1 非对称轴的单盘转子运动微分方程非对称轴的单盘转子运动微分方程l如图131，建立与定坐标系平行的坐标系 ，再建一动坐标系 ，令 、 为轴截面两个主惯性轴，转子以绕 轴转动，设截面两个主惯性矩为J、J，相应弯曲刚度为：l圆盘偏心为 ，相对动坐标系的相位角为el则有：l动坐

23、标系中牵连惯性力为 ，在、l轴上的分量为：l哥氏惯性力的分量为：l轴的弹性反力分量为：zyxozooozo eeS2022-2-1860l圆盘粘性外阻尼力 分量为：l式中：c圆盘粘性外阻尼系数。l弹性轴内阻尼力 分量为：l式中：ci弹性轴内阻尼系数(分析见后面章节)。l转子受到的重力 分量为：l根据质心运动定理，参考图132，得l令：RRWesin2022-2-1861l质心运动方程为：l为线性非齐次方程l利用线性叠加原理l可分别讨论重力和l偏心的作用。l1.6.2 重力作用下非对称单盘转子的涡动重力作用下非对称单盘转子的涡动l重力单独作用时运动微分方程为：l运动方程右端采用复数表示，并规定取

24、其实部，有2022-2-1862l设运动方程解为： 、l代入运动微分方程得：l求解上式，得l若忽略阻尼，即令c=ci=0，则tiggetiggeig)i2mc(m)cc ( i2pg)i2mc(m)cc ( i2pg2gi22g2gi222p2pi )pp(2ppe )4ig(p)pp(2ppe )4g(p4)2p)(2p(e )4g(p22222ti22g22222ti2222222ti22g2022-2-1863l上式中都以实部为运动方程l无阻尼情况下，取极值条件，即分母为零，则有l令：l代入上式得：l通常k/k1，k/m ，则有l表明会出现副临界现象。l根据坐标变换关系：2cr2022-

25、2-1864l可得固定坐标系下进动方程：l由此可见：重力使双刚度转子l以两倍自转角速度作正进动；l轨迹是以静平衡位置为中心的l圆，半径与k成正比。l副临界峰值比临界峰值小；l利用副临界测临界转速(安全)。l1.6.3 偏心作用下非轴对称单盘转子的涡动偏心作用下非轴对称单盘转子的涡动l仅偏心作用下运动方程为：2022-2-1865l可见偏心引起的离心惯性力在动坐标系中如同一个静力，只能产生相对静挠度e、e，且有：l代入运动方程得：l解得l动坐标系中的动挠度re和相位角e为：0eeee2022-2-1866l可见：re随动坐标系一起以自转角速度旋转。l在固定坐标系中，圆盘作同步正涡动，盘心轨迹是以

26、re为半径的圆。l讨论：1）响应与内阻尼ci无关；l 2）对无阻尼（c=0），根据动挠度极值定义临界转速，有：la)支承不对称，两临界转速之间，转子作稳态l 反进动涡动；lb)轴不对称，两临界转速之间，转子可能出现l 不稳定。2022-2-1867第七节第七节 弹性轴有初始弯曲时的转子涡动弹性轴有初始弯曲时的转子涡动l设：一Jeffcott转子，不计重力，无质量偏心，轴有初始弯曲l 圆盘处初始弯曲为rs，转子以角速度旋转，进一步弯l 曲rd，动挠度为r。见图133ls：初始盘心位置lc: 瞬时盘心位置l定坐标系：oxyl动坐标系：ol建立动坐标系运动微分方程l1）盘心绝对加速度为：l2）弹性轴

27、恢复力：2022-2-1868l3）轮盘粘性外阻尼力：l4）根据质心运动定律得：l化为标准形式微分方程：l代入坐标变换，得定坐标系方程：l由于旋转，xs、ys随时间变化，可表示为：l代入定坐标系运动方程得：l与质量偏心运动方程形式相似，但特点不同。)t(sinry)t(cosrxssss2022-2-1869l令： 式中：l 式中：l代入运动方程得：l由强迫振动可知方程稳态解为：l与偏心盘的比较：l1）动挠度：l偏心盘分子上因子为l轴弯曲分子上因子为l2）动挠度极值频率：l轴弯曲为： 偏心盘为：l无阻尼时两者相等。l3）同时存在轴初弯曲rs和盘偏心e，并假设相位差位，由线性叠加原理得：isserr 22p2022-2-1870第八节第八节 转子在越过临界转速时的行为转子在越过临界转速时的行为l临界转速附近挠度最大，主要讨论越过临界转速时的行为。l假设：转子等加速（或等减速）越过临界转速l1.8.1 变转速时转子运动微分方程变转速时转子运动微分方程l如图134，以水平Jeffcott转子为例l考虑重力影响(x、y坐标轴对调)。l质心c与盘心 坐标关系有：l求一、二阶导数得o2022-2-1871l轴的弹性反力为：l圆盘粘性阻尼力：l式中：c1圆盘横向运动阻尼