第01章 数字技术基础_v4

1、数字电路与数字逻辑数字电路与数字逻辑 北京邮电大学信息与通信工程学院：陈杰E-mail: 版权：孙文生版权：孙文生引引 论论n什么是数字系统什么是数字系统n数字系统的优越性数字系统的优越性n主要内容主要内容n学习方法学习方法版权：孙文生版权：孙文生典型的数字系统典型的数字系统: 计算机计算机1946年美国宾夕法尼亚大学年美国宾夕法尼亚大学机械计算器：算盘机械计算器：算盘3000年以前年以前便携式计算机便携式计算机台式计算机台式计算机 集成电路的发展，使数字设备变得越来越小巧，集成电路的发展，使数字设备变得越来越小巧，更加便于携带。更加便于携带。由由1万万8千个电子管，千个电子管，6千个开关，千

2、个开关，1万个电容器，万个电容器，7万个电阻、万个电阻、1千千5百个继电器组成的，占地面积百个继电器组成的，占地面积1800平方英尺、重达平方英尺、重达30吨。吨。版权：孙文生版权：孙文生数字技术的应用越来越广泛版权：孙文生版权：孙文生区分数字与模拟区分数字与模拟n模拟信号模拟信号：是时间和幅值上是时间和幅值上连续连续的信号的信号n模拟电路：模拟电路：n用于实现模拟信号的处理用于实现模拟信号的处理n放大电路作为基本单元放大电路作为基本单元n输入、输出为模拟信号输入、输出为模拟信号n数字信号数字信号：是时间和幅值上是时间和幅值上离散离散的信号的信号n数字电路：数字电路：n用于实现数字信号的处理用

3、于实现数字信号的处理n逻辑门电路作为基本单元逻辑门电路作为基本单元n输入、输出为数字信号输入、输出为数字信号版权：孙文生版权：孙文生数字技术的优越性数字技术的优越性n信息的处理信息的处理n所处理的为数字信号所处理的为数字信号, , 避免了器件的非线性失真。避免了器件的非线性失真。n应用灵活，易于实现算法。应用灵活，易于实现算法。n信息的传输信息的传输n传输数字信号传输数字信号, 减弱了外界干扰对信号的影响。减弱了外界干扰对信号的影响。n允许内置错误检测和校验机制。允许内置错误检测和校验机制。n信息的存储信息的存储n采用数字存贮技术采用数字存贮技术, 受外界影响小。受外界影响小。n易于信息的存取

4、。易于信息的存取。版权：孙文生版权：孙文生定义数字系统定义数字系统n数字系统数字系统 是指利用数字技术处理和传输信息的系统。是指利用数字技术处理和传输信息的系统。放大电路(模拟)传感器模拟A/D转换电路模拟数字数字运算逻辑控制(数字电路)数字D/A转换电路功率放大(模拟)模拟执行机构模拟数字信号波形变换与整形数字信号版权：孙文生版权：孙文生主要内容主要内容n逻辑代数逻辑代数n组合逻辑电路组合逻辑电路n时序逻辑电路时序逻辑电路n可编程逻辑器件可编程逻辑器件n数模与模数转换数模与模数转换版权：孙文生版权：孙文生学习方法学习方法n用心n多思考n找规律n细心n注意观察n发现关键n既来之，则安之数字电路

5、与数字逻辑数字电路与数字逻辑 北京邮电大学 信息与通信工程学院第一章 数字技术基础版权：孙文生版权：孙文生第一章 数字技术基础 语言语言是一种编码，随各国文化的不同而改变。数字数字则不同，不论哪种语言，也不管怎样读那些数字，地球上几乎所有的人都用同样的方式来写数字： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 本章重点讲授数字电路的理论基础本章重点讲授数字电路的理论基础逻辑代数逻辑代数。主要内容：1. 数制和编码2. 逻辑代数基础3. 逻辑函数的标准型4. 逻辑函数的化简版权：孙文生版权：孙文生1.1 数制和编码数制和编码数制数制 数制是数制是进位计数制进位计数制的简称，日常生活中最常用的简称，日

6、常生活中最常用的是十进制，但数字系统采样的是二进制。的是十进制，但数字系统采样的是二进制。n进位计数制进位计数制n十进计数制十进计数制 (13.25)10n二进计数制二进计数制 (1101.01)2n十六进计数制十六进计数制 (D.4)16版权：孙文生版权：孙文生1. 计数制计数制深入深入十进计数制十进计数制 在十进制数中，采用了在十进制数中，采用了0、1、2、9十个不同的十个不同的数码数码；在计数时在计数时“逢十进一逢十进一”和和“借一当十借一当十”；各个数码处于十进制；各个数码处于十进制数的不同数位时，所代表的数值是不同的，例如：数的不同数位时，所代表的数值是不同的，例如：565.65。5

7、65.65 5102 6101 5100 610-1 510-2数码数码: : 基本数字符号基本数字符号0 9。基数基数：一种进制中可能用到数码的个数。一种进制中可能用到数码的个数。权权：数码处于不同的位置对应的系数不同，这个系数就叫做权。数码处于不同的位置对应的系数不同，这个系数就叫做权。运算规则运算规则: : 逢十进一，借一当十逢十进一，借一当十. .mmnnmnnaaaaaaaaa10101010 . M1100111021并列表示并列表示多项式表示多项式表示十进制数的两种表达方式十进制数的两种表达方式版权：孙文生版权：孙文生n任意十进制数的任意十进制数的按权展开式按权展开式: :122

8、110022111010 101010 101010)(nmiiimmnnnnaaaaaaaN其中其中: n 为整数的位数为整数的位数, m 为小数位数为小数位数, ai 为为0 9.1. 计数制计数制深入深入十进计数制十进计数制(565.65)105102 6101 5100 610-1 510-2n实例：实例：版权：孙文生版权：孙文生1. 计数制计数制推广推广二进计数制二进计数制世界上有世界上有1010种人，懂二进制的和不懂二进制的。种人，懂二进制的和不懂二进制的。 十进制 二进制 数 码 09 0, 1 基 数 10 2 实 例 13.25 1101.01 权 10i 2i 运算规则 逢

9、十进一 借一当十 逢二进一 借一当二 按 权 展 开 ( )Naiiimn10110 122)(nmiiibN 版权：孙文生版权：孙文生1. 计数制计数制推广推广二进计数制二进计数制n任意二进制数的任意二进制数的按权展开式按权展开式: :1221100221122 222 222)(nmiiimmnnnnbbbbbbbN其中其中: n 为整数的位数为整数的位数, m 为小数位数为小数位数, bi 为为0，1.(1101.01)21231 1220211 1200 02-112-2n例如：例如：版权：孙文生版权：孙文生1. 计数制计数制推广推广十六进计数制十六进计数制n为什么要引入十六进制？为什

10、么要引入十六进制？ 二进制数在计算机系统中处理很二进制数在计算机系统中处理很方便，但当位数较多时，比较难方便，但当位数较多时，比较难记忆及书写，为了减小位数，通记忆及书写，为了减小位数，通常将二进制数用十六进制表示。常将二进制数用十六进制表示。 (1010 0110)2 = (A6)16n数码数码：0 9, A F， 对应于十进制数的对应于十进制数的015.n基数基数：16.版权：孙文生版权：孙文生1. 计数制计数制推广推广八进计数制八进计数制 十进制 二进制 八进制 十六进制 数 码 09 0, 1 07 09, AF 基 数 10 2 8 16 实 例 13.25 1101.01 15.2

11、 D.4 权 10i 2i 8i 16i 运算规则 逢 R 进一, 借一当 R 按权展开 ( )Naiiimn10110 ( )Naiiimn212 ()Naiiimn818 ()Naiiimn16116 版权：孙文生版权：孙文生n数码数码: 基本符号基本符号0,1,2, ., (R-1)n基数基数: Rn权权: Rin运算规则：逢运算规则：逢R进一，借一当进一，借一当R.1. 计数制计数制浅出浅出R 进计数制进计数制例如例如: ( 53.62)7 57137067-127-2 ( 38.898 )10 ( 24.3 )5 25145035-1 ( 14.6 )10版权：孙文生版权：孙文生2.

12、 数制转换数制转换十六进制十六进制 二进制二进制 八进制八进制1位位 4位位3位位 1位位按权展开按权展开基数乘除基数乘除 十进制十进制2-3 =0.1252-2 =0.252-1 =0.520 =121 =222 =423 =8 24 =16 25 =32 26 =64 27 =128 28 =256 29 =512 210=1024(69.6875)10=(1000101.1011)2取余取余 取整取整常用表格常用表格版权：孙文生版权：孙文生二进制与十六进制之间的转换二进制与十六进制之间的转换十六进制十六进制 二进制二进制例：例：( 7D.A6 )16 = ( 0111 1101 . 10

13、10 0110)2 = ( 1111101.1010011)2版权：孙文生版权：孙文生二进制与十六进制之间的转换二进制与十六进制之间的转换二进制二进制 十六进制十六进制例例: ( 1011011.01 )2 = ( 0101 1011.0100 )2 = ( 5B.4)16版权：孙文生版权：孙文生二进制与八进制之间的转换二进制与八进制之间的转换n二进制数转换为八进制数二进制数转换为八进制数从小数点起每三位分一组，不足三位补零从小数点起每三位分一组，不足三位补零 例例: ( 111001010.100101)2 = ( 712.45 )8 ( 11010101.01011)2 = ( 011 0

14、10 101 . 010 110)2 = ( 325.26 )8 n八进制数转换为二进制数八进制数转换为二进制数将每一位数表示成三位二进制数将每一位数表示成三位二进制数 例例: ( 712.45 )8 = ( 111 001 010 . 100 101)2 ( 325.26 )8 = ( 011 010 101 . 010 110)2 = ( 11010101.01011)2 版权：孙文生版权：孙文生 例例: ( 712.43 )8 = ( 111 001 010.100 011)2 = ( 0001 1100 1010 . 1000 1100)2 = ( 1CA.8C )16 ( 8FA.3

15、 )16 = ( 1000 1111 1010.0011 )2 = ( 100 011 111 010.001 100 )2 = ( 4372.14 )8八进制与十六进制之间的转换八进制与十六进制之间的转换十六进制十六进制 二进制二进制 八进制八进制版权：孙文生版权：孙文生十进制和非十进制之间的转换十进制和非十进制之间的转换nR 进制数转换为十进制数进制数转换为十进制数原则：原则：写出写出R进制数的按权展开式，然后相加。进制数的按权展开式，然后相加。 例例: ( 24.3 )8 2 81 + 4 80 + 3 8-1 16 + 4 + 0.375 ( 20.375 )10 ( 234.3 )5

16、 2 52 + 351 + 45035-1 50 + 15 + 4 + 0.6 ( 69.6 )10 ( 110.01 )2 1 22 + 121 + 02002-1 12-2 4+ 2 + 0 + 0.25 ( 6.25 )10版权：孙文生版权：孙文生十进制和非十进制之间的转换十进制和非十进制之间的转换n十进制转换为十进制转换为R 进制数进制数整数部分与小数部分分别整数部分与小数部分分别计算计算n整数部分：可表示为以整数部分：可表示为以R为基的如下形式为基的如下形式 (NI)10=an-1Rn-1 +an-2Rn-2 + a1R1 + a0R0 等式两边除以基数等式两边除以基数R，得到：，得

17、到： (NI)10/R = an-1Rn-2 +an-2Rn-3 + a1R0 + a0/Rn小数部分：可表示为以小数部分：可表示为以R为基的如下形式为基的如下形式 (NF)10 = a-1R-1 + a-2R-2 + + a-mR-m 等式两边乘以基数等式两边乘以基数R，得到：，得到： R (NF)10 = a-1 + a-2R-1 + + a-mR-m+1余数整数版权：孙文生版权：孙文生n十进制转换为十进制转换为R 进制数进制数整数部分整数部分 基数连除法基数连除法 (除以基数除以基数R取余数取余数)a. 整数部分除以基数整数部分除以基数R, , 余数做为等值的余数做为等值的R进制数最低位

18、进制数最低位; ; b. 将商再除以将商再除以R, ,余数做为等值的余数做为等值的R进制数的次低位进制数的次低位; ; c. 重复步骤重复步骤b, ,直到商等于零为止直到商等于零为止. .小数部分小数部分 基数连乘法基数连乘法 (乘以基数乘以基数R取整数取整数) a. 小数部分乘以基数小数部分乘以基数R, ,积的整数部分为积的整数部分为R进制数的最高位进制数的最高位; ; b. 将小数部分再乘以基数将小数部分再乘以基数R, ,其积的整数部分为次高位其积的整数部分为次高位; ; c. 重复步骤重复步骤b, ,直到达到要求的精度为止直到达到要求的精度为止. .十进制和非十进制之间的转换十进制和非十

19、进制之间的转换版权：孙文生版权：孙文生十进制转换为非十进制n例：将例：将(69.6875)10转换为二进制数转换为二进制数(69.6875)10=(1000101.1011)2版权：孙文生版权：孙文生十进制转换为非十进制例：将（例：将（835.6875)10转换为十六进制数转换为十六进制数(835.6875)10 = （343.B)16版权：孙文生版权：孙文生十进制转换为非十进制2-3 =0.1252-2 =0.252-1 =0.520 =121 =222 =423 =8 24 =16 25 =32 26 =64 27 =128 28 =256 29 =512 210=1024(68.625)

20、10= (64+4+0.5+0.125)10 =(1000100.101)2常用表格常用表格利用下面的表格，有时能较快地实现十进制到二进制的转换。利用下面的表格，有时能较快地实现十进制到二进制的转换。(80)10= (64+16)10=(1010000)2(130)10= (128+2)10=(10000010)2(32)10= (100000)2(126)10= (128-2)10=(1111110)2版权：孙文生版权：孙文生1.2 数制和编码编码 所谓编码，就是用若干位特定二进制数码来表示自然数、字所谓编码，就是用若干位特定二进制数码来表示自然数、字母和符号等信息。母和符号等信息。n二进制

21、编码n自然二进制码、格雷码自然二进制码、格雷码 n二十进制编码n8421码、余3码、BCD循环码n可靠性编码n奇偶校验码、汉明码信息信息代码代码编码编码n 位代码共有位代码共有 2n 种不同的种不同的组合，能够对组合，能够对 2n 种不同信种不同信息进行编码。息进行编码。版权：孙文生版权：孙文生1. 二进制编码二进制编码例：例：假设有十六种状态假设有十六种状态, 分别以分别以0 15表示表示, 试对其进行编码试对其进行编码. 自然二进制码自然二进制码n编码方式与二进制数完全相同编码方式与二进制数完全相同n有权码，每位代码都有固定权值有权码，每位代码都有固定权值 格雷码格雷码(循环码循环码) n

22、相邻代码仅一位不同，从编码的相邻代码仅一位不同，从编码的形式上减少了出错的可能性。形式上减少了出错的可能性。n是一种无权码，很难从某个代码是一种无权码，很难从某个代码识别它所代表的数值。识别它所代表的数值。 n具有反射性，故通常又叫格雷反具有反射性，故通常又叫格雷反射码或循环码。射码或循环码。n 格雷码编码方法：利用反射性格雷码编码方法：利用反射性.版权：孙文生版权：孙文生2. 二二-十进制编码十进制编码 将十进制数的将十进制数的0 9分别用分别用4位二进制码表示，这种表示方法称为十进位二进制码表示，这种表示方法称为十进制数的二进制编码，简称二制数的二进制编码，简称二-十进制码或十进制码或BC

23、D码码(Binary Coded Decimal) 。 四位二进制数有四位二进制数有0000 1111十六种组合，要从这十六种组合十六种组合，要从这十六种组合中选出十种组合作为中选出十种组合作为09的代码，其方案很多，下面仅介绍几种。的代码，其方案很多，下面仅介绍几种。 BCD码的特点：码的特点：n用四位二进制数表示一位十进制数，用四位二进制数表示一位十进制数，n具有二进制数的形式，又具有十进制的特点。具有二进制数的形式，又具有十进制的特点。版权：孙文生版权：孙文生常用二常用二-十进制编码十进制编码 版权：孙文生版权：孙文生应用举例应用举例例例 试分别用试分别用8421BCD码、码、2421码

24、和余码和余3码表示码表示(68.73)10 注意：注意：(13.25)10 = (15.2)8 = (1101.01)2 = (D.4)16 = (0001 0011.0010 0101)8421BCD解解: (68.73)10 = (0110 1000.0111 0011 ) 8421BCD (68.73)10 = (1100 1110.1101 0011 )2421 (68.73)10 = (1001 1011.1010 0110 ) 余余3码码 版权：孙文生版权：孙文生字母与字符的编码字母与字符的编码nASCII码码n微机中普遍采用微机中普遍采用ASCII码，用码，用7位二进制数位二进制

25、数对对127个字符进行编个字符进行编码，其中前码，其中前32个是一些不可打印的控制符号个是一些不可打印的控制符号 。n扩展扩展ASCII码码n采用采用8为二进制数进行编码。为二进制数进行编码。n汉字编码：汉字编码：n国标汉字分为两级，一级汉字为国标汉字分为两级，一级汉字为3755个，二级为个，二级为3008个，图个，图形符号为形符号为682个，共个，共7445个。个。数字电路与逻辑设计1.2 逻辑代数基础版权：孙文生版权：孙文生1.2 逻辑代数基础逻辑代数基础逻辑代数体系逻辑代数体系逻辑常量逻辑常量0, 1逻辑变量逻辑变量A, B, C, x, y定律、定理定律、定理规则规则逻辑运算逻辑运算公

26、理公理 逻辑代数逻辑代数是是1847年由英国数学家乔治年由英国数学家乔治布尔（布尔（George Boole)首先首先创立的，是逻辑设计的数学基础创立的，是逻辑设计的数学基础, 又称又称布尔代数布尔代数, 开关代数开关代数。 逻辑代数与普通代数有着不同概念，逻辑代数表示的不是数的逻辑代数与普通代数有着不同概念，逻辑代数表示的不是数的大小之间的关系，而是逻辑的关系，如大小之间的关系，而是逻辑的关系，如“真真”、“假假”，“是是”、“非非” 等。等。版权：孙文生版权：孙文生1.2.1 1.2.1 基本概念基本概念 n逻辑常量逻辑常量: 0, 1n仅表示两种不同状态，如命题的真假，信号的有无等仅表示

27、两种不同状态，如命题的真假，信号的有无等.n可参与逻辑运算，逻辑运算按位进行，没有进位可参与逻辑运算，逻辑运算按位进行，没有进位.n逻辑变量逻辑变量n符号符号 A, B, C, x, y n含义含义 条件存在与否；结果为真还是假条件存在与否；结果为真还是假.n取值取值 0, 1 逻辑代数逻辑代数是用来处理逻辑运算的代数体系。所谓是用来处理逻辑运算的代数体系。所谓逻辑运算逻辑运算， 就是按照人们事先设计好的规则，进行逻辑推理和逻辑判断。就是按照人们事先设计好的规则，进行逻辑推理和逻辑判断。 版权：孙文生版权：孙文生1.2.1 1.2.1 基本概念基本概念n基本逻辑运算：基本逻辑运算：与逻辑与逻辑

28、运算，又叫逻辑乘。运算，又叫逻辑乘。 n表达式表达式 FA B= A B = A B n数学意义数学意义仅当决定事件仅当决定事件 F 发生的所有条件均具备时，事件发生的所有条件均具备时，事件 F 才发生。才发生。n逻辑与门：实现逻辑与门：实现“与与”逻辑运算的电路。逻辑运算的电路。与逻辑与逻辑A BF版权：孙文生版权：孙文生真值表n真值表真值表是由输入变量的所有可能取值组合及对应的输出值所构是由输入变量的所有可能取值组合及对应的输出值所构成的表格成的表格。n真值表直观地反映了变量取值组合和函数值的关系，真值表直观地反映了变量取值组合和函数值的关系， 便于把一便于把一个实际的逻辑问题抽象为一个数

29、学问题。个实际的逻辑问题抽象为一个数学问题。 n在列真值表时，变量取值按二进制数递增规律排列。在列真值表时，变量取值按二进制数递增规律排列。例例: 设计一个多数表决电路设计一个多数表决电路 三人三人(用用A, B, C 表示表示)对某一提案进对某一提案进行表决行表决, 对提案赞成则按下电键对提案赞成则按下电键, 用逻辑用逻辑1表示表示; 否则不按电键否则不按电键, 用逻辑用逻辑0表示表示; 表决表决结果用指示灯显示结果用指示灯显示,多数赞成时指示等亮多数赞成时指示等亮, 用逻辑用逻辑1表示表示, 反之则不亮反之则不亮,用逻辑用逻辑0表示，表示，根据文字叙述建立真值表。根据文字叙述建立真值表。多

30、数表决电路的真值表版权：孙文生版权：孙文生1.2.1 1.2.1 基本概念基本概念n基本逻辑运算基本逻辑运算：或逻辑或逻辑运算，又叫逻辑加。运算，又叫逻辑加。n表达式表达式 FA+ +BAB n数学意义数学意义 决定事件决定事件F发生的各种条件中，只要有一个或以上条件具备发生的各种条件中，只要有一个或以上条件具备时，事件时，事件F就发生。就发生。 n逻辑或门逻辑或门或逻辑或逻辑版权：孙文生版权：孙文生1.2.1 1.2.1 基本概念基本概念n基本逻辑运算：基本逻辑运算：非逻辑非逻辑运算，又称求补运算。运算，又称求补运算。 n数学意义数学意义 结果同条件相反。结果同条件相反。 n表达式表达式 F

31、An逻辑非门逻辑非门非逻辑非逻辑逻辑运算次序逻辑运算次序n优先次序优先次序: 非非, 与与, 或或n可以用括号改变次序可以用括号改变次序 例例: F = A + B C + ADE F = (A + B) C + ADE版权：孙文生版权：孙文生1.2.2 1.2.2 复合逻辑运算复合逻辑运算与非与非逻辑运算逻辑运算F1=AB或非或非逻辑运算逻辑运算F2=A+B与或非与或非逻辑运算逻辑运算F3=AB+CDn导出逻辑：导出逻辑：版权：孙文生版权：孙文生1.2.2 1.2.2 复合逻辑运算复合逻辑运算异或异或逻辑运算逻辑运算同或同或逻辑运算逻辑运算n导出逻辑：导出逻辑：版权：孙文生版权：孙文生1.2

32、.3 逻辑代数的基本定律和规则逻辑代数的定律逻辑代数的定律 版权：孙文生版权：孙文生基本定律的证明方法：利用真值表例：用真值表证明反演律例：用真值表证明反演律A BAB A+ BA BA+B000110111110111010001000 A B= A+B A+ B=AB版权：孙文生版权：孙文生1.2.3 逻辑代数的基本定律和规则n代入规则代入规则n可用于推广基本定律、公式可用于推广基本定律、公式. .n对偶规则对偶规则n便于记忆基本定律、公式便于记忆基本定律、公式. .n反演规则反演规则n用于求逻辑函数的反函数用于求逻辑函数的反函数. .版权：孙文生版权：孙文生1.2.3 逻辑代数的基本定律

33、和规则CBACBACB)(ACACA(1) 代入规则代入规则 在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边所有的某一变量在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边所有的某一变量X，都代之以一个逻辑函数都代之以一个逻辑函数 F，则此等式仍然成立。这个规则就称为，则此等式仍然成立。这个规则就称为代入规则。代入规则。采用代入规则采用代入规则, 可将反演律推广到多变量情况。可将反演律推广到多变量情况。版权：孙文生版权：孙文生1.2.3 逻辑代数的基本定律和规则(2) 对偶规则对偶规则 将逻辑函数将逻辑函数 F 中的中的 “ ”“”，“0”“1” 得得 F , ,即为即为 F F 的对偶式的对偶式. .推论：若推论：

34、若 FG，则，则 F G ( F ) = F1CDB)(AF0)(CDABF逻辑函数逻辑函数: :对偶函数对偶函数: : 在前面介绍的定理中，每行的公式都是互为对偶式，因此在前面介绍的定理中，每行的公式都是互为对偶式，因此 ，利用对偶规则可使需要证明和记忆的公式减半。利用对偶规则可使需要证明和记忆的公式减半。 版权：孙文生版权：孙文生1.2.3 逻辑代数的基本定律和规则(3) 反演规则反演规则 将逻辑函数将逻辑函数 F 中的中的 “ ”“”，“0”“1”, ,原变量原变量反反变量，变量，得得 F, ,即为即为 F F 的的反函数反函数. .1CD)BA(F0)(CDABF逻辑函数逻辑函数: :

35、反反 函函 数数: :)GE)(D(CBAFG)EDC(BAF逻辑函数逻辑函数: :反反 函函 数数: :例：例：版权：孙文生版权：孙文生1.2.3 逻辑代数的基本定律和规则逻辑代数的常用公式CABACAAB (5)CAABBCDCAAB CAABBCCAAB (4)BABAA (3)AABA (2)ABAAB (1)吸收律吸收律版权：孙文生版权：孙文生常用公式的证明方法：利用基本定律BCCAABB)C(1AC)AB(1CAAB等式右边等式右边 由此可以看出：与或表达式中，两个乘积项分别包含由此可以看出：与或表达式中，两个乘积项分别包含同同一因子一因子的的原原变量和变量和反反变量，而两项的剩余

36、因子包含在第三个变量，而两项的剩余因子包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的。乘积项中，则第三项是多余的。CAABBCDECAAB公式可推广：公式可推广：例：证明吸收律例：证明吸收律CAABBCCAAB 成立成立BC)AA(CAABABACABCABC版权：孙文生版权：孙文生逻辑代数的常用公式异或异或/同或逻辑运算同或逻辑运算 异或逻辑异或逻辑运算的结果与输入变量中取值为运算的结果与输入变量中取值为1的个数的个数有关，变量有关，变量取值为取值为1的个数为奇数，则输出为的个数为奇数，则输出为1; 否则，输出为否则，输出为0。BACACBCBAACABCBACBACBAAAAAAAAA, . 5)

37、()()( . 4)()( . 31 ; 0 . 21 ; 0 . 1则若1.3 逻辑函数及其表示方法数字电路与逻辑设计版权：孙文生版权：孙文生逻辑代数基础基本概念n逻辑表达式逻辑表达式n用有限个与、或、非等逻辑运算符，按某种逻辑关系将用有限个与、或、非等逻辑运算符，按某种逻辑关系将逻辑变量逻辑变量(A、B、)和逻辑常量和逻辑常量(0、1)连接起来，所得连接起来，所得的表达式称为的表达式称为逻辑表达式逻辑表达式。n逻辑函数逻辑函数n假设输出假设输出F由若干逻辑变量由若干逻辑变量A、B、C 经过有限的逻辑经过有限的逻辑运算所决定，即运算所决定，即F = f(A,B,C,)，若输入变量确定以后，若

38、输入变量确定以后， F值也被唯一确定，值也被唯一确定， 则称则称F是是A、B、C 的逻辑函数。的逻辑函数。n逻辑函数的取值：逻辑逻辑函数的取值：逻辑0 0和逻辑和逻辑1 1；它们不代表数值大小，；它们不代表数值大小，仅表示相互矛盾、相互对立的两种逻辑状态。仅表示相互矛盾、相互对立的两种逻辑状态。版权：孙文生版权：孙文生逻辑代数基础基本概念逻辑表达式的几种形式：逻辑表达式的几种形式：“与或与或”式式“或与或与”式式“与非与非-与非与非”式式“或非或非-或非或非”式式“与或非与或非”式式 逻辑函数除了可以用逻辑函数除了可以用逻辑表达式逻辑表达式表示外，还可以用表示外，还可以用真值真值表、波形图、逻

39、辑图和卡诺图表、波形图、逻辑图和卡诺图等表示。等表示。 一个逻辑函数可以多种等价的逻辑表达式，它们之间可一个逻辑函数可以多种等价的逻辑表达式，它们之间可以相互转换。以相互转换。CABA CABA CAAB C)B)(AA( CAABF版权：孙文生版权：孙文生逻辑函数的标准表达式逻辑函数的标准表达式n逻辑函数的表达式逻辑函数的表达式n逻辑函数的表达式可以有多种形式，它们与逻辑电路相对应。逻辑函数的表达式可以有多种形式，它们与逻辑电路相对应。n标准表达式具有唯一性标准表达式具有唯一性，与函数真值表严格对应。，与函数真值表严格对应。n逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式 (标准积之和式、标准

40、与或式标准积之和式、标准与或式)n逻辑函数的最大项表达式逻辑函数的最大项表达式 (标准和之积式、标准或与式标准和之积式、标准或与式)n求标准表达式问题求标准表达式问题n真值表真值表 标准表达式标准表达式n任意函数式任意函数式 标准表达式标准表达式版权：孙文生版权：孙文生最小项与标准积之和式n最小项最小项n是一种是一种乘积项乘积项, 包含包含全部全部逻辑变量逻辑变量.n通常用通常用 m i 来表示来表示.n最小项的性质最小项的性质n只有在其相应的组合下值为只有在其相应的组合下值为1.n任意两不同最小项的乘积恒等于任意两不同最小项的乘积恒等于0.n全部最小项之和必为全部最小项之和必为1.n标准积之

41、和式标准积之和式n全部由最小项之和组成的与或式全部由最小项之和组成的与或式.n又叫标准与或式，或最小项表达式又叫标准与或式，或最小项表达式.下标下标i ：把最小项中的原变量记为：把最小项中的原变量记为1，反变量记为反变量记为0，变量取值按顺序排列成，变量取值按顺序排列成二进制数，其等值十进制数就是下标二进制数，其等值十进制数就是下标i 。 版权：孙文生版权：孙文生最小项与标准积之和式例例 已知函数已知函数 F 的真值表如下所示，则它的标准与或式为：的真值表如下所示，则它的标准与或式为： )7 , 6 , 5 , 3( mmmm ABCCABCBABCA7653mF70iiimDC)B,F(A,

42、由真值表可以看出，任何函数标准与或式唯一。由真值表可以看出，任何函数标准与或式唯一。 若函数若函数F不是一个标准与或式，对每个与不是一个标准与或式，对每个与项中所缺的变量项中所缺的变量X，则可通过反复使用下列公，则可通过反复使用下列公式来得到标准与或式：式来得到标准与或式：XAAX)XA(X版权：孙文生版权：孙文生最大项与标准和之积式n最大项最大项n是一种是一种逻辑和项逻辑和项, 包含包含全部全部逻辑变量逻辑变量.n通常用通常用 Mi 来表示来表示.n最大项的性质最大项的性质n只有在其相应的组合下值为只有在其相应的组合下值为0.n任意两不同最大项之和恒等于任意两不同最大项之和恒等于1.n全部最

43、大项之积必为全部最大项之积必为0.n标准和之积式标准和之积式n全部由最大项之积组成的或与式全部由最大项之积组成的或与式.n又叫标准或与式，或最大项表达式又叫标准或与式，或最大项表达式.下标下标i ：把最大项中的原变量记为：把最大项中的原变量记为0，反变量记为反变量记为1，变量取值按顺序排列成，变量取值按顺序排列成二进制数，其等值十进制数就是下标二进制数，其等值十进制数就是下标i 。 版权：孙文生版权：孙文生最大项与标准和之积式例例 已知函数已知函数 F 的真值表如下所示，则它的标准或与式为：的真值表如下所示，则它的标准或与式为： )4 , 2 , 1 , 0( MMMM C)BAC)(B)(A

44、CBC)(AB(AF4210M由真值表可以看出，任何函数标准或与式唯一。由真值表可以看出，任何函数标准或与式唯一。 若函数若函数F不是一个标准或与式，对每个或不是一个标准或与式，对每个或项中所缺变量项中所缺变量X，则可通过反复使用下列公式，则可通过反复使用下列公式来得到标准或与式：来得到标准或与式：)XX)(A(AXXA版权：孙文生版权：孙文生最小项与最大项的关系n相同编号的最小项和最大项存在互补关系相同编号的最小项和最大项存在互补关系iiMm n若干个最小项之和表示的表达式若干个最小项之和表示的表达式F，其，其反函数反函数F可用等同个与这些最小项相对可用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表

45、示。应的最大项之积表示。 例：例：7531753175317531MMMM mmmm mmmmFmmmmFBCAmCBAM33版权：孙文生版权：孙文生两种标准表达式的关系例例 已知函数已知函数 F 的真值表如下所示，则它的标准或与式为：的真值表如下所示，则它的标准或与式为： )4 , 2 , 1 , 0( MMMM C)BAC)(B)(ACBC)(AB(AF4210M(3,5,6,7) mmmm ABCCABCBABCAF7653m它的标准与或式为：它的标准与或式为： 同一逻辑函数既可以表示为标准与或式，同一逻辑函数既可以表示为标准与或式，也可以表示为标准或与式。一个逻辑函数的最也可以表示为标

46、准或与式。一个逻辑函数的最小项集合与它的最大项集合，互为补集。小项集合与它的最大项集合，互为补集。)4 , 2 , 1 , 0( )7 , 6 , 5 , 3(),(CBAF版权：孙文生版权：孙文生不完全确定的逻辑函数不完全确定的逻辑函数 n前面讨论的逻辑函数，对每一组输入变量的取值，都对应一个完前面讨论的逻辑函数，对每一组输入变量的取值，都对应一个完全确定的函数值全确定的函数值(0或或1)，这种函数称为，这种函数称为完全确定的逻辑函数完全确定的逻辑函数。n在实际应用中，有时只要求某些最小项在实际应用中，有时只要求某些最小项(或最大项或最大项)对应的函数有对应的函数有确定值，而其余项可以取任意

47、值。通常，把这种可以取任意值最确定值，而其余项可以取任意值。通常，把这种可以取任意值最小项小项(或最大项或最大项)称为称为任意项任意项、无关项或、无关项或约束项约束项，记为，记为或或d。这种。这种含有任意项的逻辑函数称为含有任意项的逻辑函数称为不完全确定的逻辑函数不完全确定的逻辑函数。例例 设一个计电路，要求输入为一位设一个计电路，要求输入为一位8421BCD码，当输入代码中码，当输入代码中含有偶数个含有偶数个1时输出为时输出为1，否则输出为，否则输出为0，试列出电路的真值表，试列出电路的真值表，写出标准与或式写出标准与或式 。版权：孙文生版权：孙文生例例 电路输入为一位电路输入为一位8421

48、BCD码，当输入代码中含有偶数个码，当输入代码中含有偶数个1时输出时输出 为为1，否则输出为，否则输出为0。试列出电路的真值表，写出标准与或式。试列出电路的真值表，写出标准与或式。 解：设输入用解：设输入用ABCD表示，输出用表示，输出用F表示；在列真值表时，表示；在列真值表时，m10 m15六六 个伪码为任项，列真值表如下表所示：个伪码为任项，列真值表如下表所示：13,14,15)(10,11,12,)(0,3,5,6,9D)C,B,F(A,m13,14,15)(10,11,12,)(1,2,4,7,8D)C,B,F(A,M1.4 逻辑函数的化简逻辑函数的化简数字电路与逻辑设计版权：孙文生版

49、权：孙文生1.4 逻辑函数的化简逻辑函数的化简函数化简的目的函数化简的目的 逻辑电路所用门的数量少逻辑电路所用门的数量少 每个门的输入端个数少每个门的输入端个数少 逻辑电路构成级数少逻辑电路构成级数少 保证保证逻辑逻辑电路能可靠地工作电路能可靠地工作降低成本降低成本提高电路的工作提高电路的工作速度和可靠性速度和可靠性版权：孙文生版权：孙文生逻辑函数的化简逻辑函数的化简最简函数式标准最简函数式标准 表达式中项数最少表达式中项数最少 每项变量数最少每项变量数最少版权：孙文生版权：孙文生逻辑函数的化简逻辑函数的化简简化逻辑函数方法简化逻辑函数方法 代数法代数法 卡诺图法卡诺图法版权：孙文生版权：孙文

50、生代数化简法方法：方法： 消元：利用消元：利用BABAA消去多余变量消去多余变量A 并项：并项： 利用利用ABAAB将两项并为一项，将两项并为一项，且消去一个变量且消去一个变量B 消项：消项： 利用利用A + AB = A消去多余的项消去多余的项AB 配项：利用配项：利用CAABBCCAAB和互补律、和互补律、重叠律先增添项，再消去多余项重叠律先增添项，再消去多余项 代数法化简逻辑函数的实质是代数法化简逻辑函数的实质是反复运用逻辑代数的公式和规则，反复运用逻辑代数的公式和规则，消去表达式中的多余项和多余变量，消去表达式中的多余项和多余变量，以达到最简的目的。在用代数法以达到最简的目的。在用代数

51、法化简逻辑函数时，化简逻辑函数时，往往要依靠经验和技巧往往要依靠经验和技巧，带有一定的试凑性。，带有一定的试凑性。 版权：孙文生版权：孙文生代数化简法与或式的化简A BAAB BA)CAB(C BACABABCFBACABABCF例例1 化简函数化简函数 为最简与或式为最简与或式 .解：解： 运用结合律找出给定函数式中符合吸收律的项，进行消项运用结合律找出给定函数式中符合吸收律的项，进行消项和消去多余变量。和消去多余变量。 版权：孙文生版权：孙文生ADGADEDCACF例例2 化简函数化简函数 为最简与或式为最简与或式 .解：解： 运用逻辑代数的公式函数式进行等效变换，有时需要利用运用逻辑代数

52、的公式函数式进行等效变换，有时需要利用吸收率先添加一些项，以消去某些多余项或多余变量。吸收率先添加一些项，以消去某些多余项或多余变量。 代数化简法与或式的化简DCAC ADDCAC G)AD(EADDCAC ADGADEDCACF版权：孙文生版权：孙文生代数化简法与或式的化简例例3 化简函数化简函数DEFGEFBACEFBDCAABDAADF解：解：EFBBDCA EFBBDCAA DEFG)EFBBD(CAACEF)ABA( DEFGEFBACEFBDCAABDAADF版权：孙文生版权：孙文生)()()(EDBDCDACBAF例例3 化简函数化简函数 为最简或与式为最简或与式 .代数化简法或

53、与式的化简(1) 利用或与式的公式和定律化简利用或与式的公式和定律化简(2) 利用对偶关系利用对偶关系 :( F ) = F解：解：对函数对函数 F 取对偶，再化简取对偶，再化简BDECDDACABF对函数对函数 F 再取对偶：再取对偶：)()()(DCDACBAFFCDDACAB DCACAB BDEDCABCA BDEC)AD(CAB 版权：孙文生版权：孙文生1.4.2 卡诺图化简法卡诺图化简法n卡诺图卡诺图: : 是真值表的图形表示是真值表的图形表示n将变量分成两组，构成二维表将变量分成两组，构成二维表n行列组合排列顺序为行列组合排列顺序为循环码循环码n每一个小方格对应真值表中一组每一个

54、小方格对应真值表中一组输入逻辑变量，在小方格中应填输入逻辑变量，在小方格中应填入对应于该组输入变量的函数值。入对应于该组输入变量的函数值。n两变量、三变量、四变量卡诺图两变量、三变量、四变量卡诺图n五变量卡诺图五变量卡诺图版权：孙文生版权：孙文生1. 卡诺图的结构与特点卡诺图的结构与特点版权：孙文生版权：孙文生2. 逻辑函数添入卡诺图逻辑函数添入卡诺图真值表真值表两种标准两种标准表达式表达式多种等效多种等效函数式函数式卡诺图卡诺图版权：孙文生版权：孙文生2. 逻辑函数添入卡诺图逻辑函数添入卡诺图将真值表转换为卡诺图将真值表转换为卡诺图版权：孙文生版权：孙文生2. 逻辑函数添入卡诺图逻辑函数添入

55、卡诺图(1) 标准标准积之和积之和式添入卡诺图式添入卡诺图例例 F(A,B,C,D) = (0,2,4,7,9,10,12,15)0001111000011110 11 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0CDAB(2) 标准标准和和之积之积式添入卡诺图式添入卡诺图例例 F(A,B,C,D) = (1,3,5,6,8,11,13,14)版权：孙文生版权：孙文生逻辑函数添入卡诺图逻辑函数添入卡诺图0001111000011110 11 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0CDAB(3) 任意与或式任意与或式添入卡诺图添入卡诺图例例DCBBCDDCD)C,B,F

56、(A,(4) 任意或与式任意或与式添入卡诺图添入卡诺图例例D)CB)(DBA)(DB)(AD(CD)C,B,F(A,版权：孙文生版权：孙文生3. 卡诺图的运算卡诺图的运算 卡诺图的运算，等效于逻辑函数的运算。卡诺图的运算，等效于逻辑函数的运算。n卡诺图相加卡诺图相加n对应小方格中的对应小方格中的0、1进行逻辑加进行逻辑加.BA1010 10 0 1BA1010 00 0 1BA1010 10 0 1 n卡诺图相乘卡诺图相乘n对应小方格中的对应小方格中的0, 1进行逻辑乘进行逻辑乘.n卡诺图反演卡诺图反演n对应小方格中的对应小方格中的0、1取补取补版权：孙文生版权：孙文生4. 最小项的合并最小项

57、的合并0001111000011110 11 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0CDABn对于卡诺图对于卡诺图, 变量按循环码排列变量按循环码排列, 因此因此, 凡是凡是几何位置相邻的几何位置相邻的最小项均能合并最小项均能合并.n对于卡诺图对于卡诺图, 处于轴对称位置的最小项也可以合并处于轴对称位置的最小项也可以合并.DCBDCBADCBAD C ADCBADCBAABDDCABABCD ,A BAABCACBACBADCBADCBADCBADCBA？版权：孙文生版权：孙文生4. 最小项的合并最小项的合并0001111000011110 11 1 1 1 0 1 1 0 0

58、 0 1 1 1 0 1CDABn最小项合并规律最小项合并规律n圈中的圈中的1方格必须是方格必须是2i, i 为整数为整数.n2i 个相邻的个相邻的 1 方格必须排列成方阵或矩阵形式方格必须排列成方阵或矩阵形式n在合并过程中在合并过程中, 消去圈内变化的量消去圈内变化的量, 2i个方格合并个方格合并,消去消去 i个变量个变量.n本原蕴含项：本原蕴含项：n圈为最大的合并项圈为最大的合并项n本质蕴含项：本质蕴含项：n本原蕴含项本原蕴含项n包含只有一种圈法的最小项包含只有一种圈法的最小项圈圈版权：孙文生版权：孙文生5. 卡诺图法简化逻辑函数卡诺图法简化逻辑函数n原则原则:(1) 使圈尽可能大使圈尽可能大(2) 合并的圈数尽可能少合并的圈数尽可能少(3) 任何任何1方格可以多次被圈用方格可以多次被圈用(4) 尽量去掉多余的蕴含项尽量去掉多余的蕴含项(5) 所有的所有的1方格均被圈用方格均被圈用.n步骤步骤:(1)作出函数的卡诺图作出函数的卡诺图. .(2)根据设计要求，决定是圈根据设计要求，决定是圈1写写最简最简“与或与或”式，还是圈式，还是圈0写写最简最简“或与或与”式式 ;(3)找出只有一种圈法的最小项，找出只有一种圈法的最小项，从它出发