中值定理与导数应用1ppt课件

1、第三章第三章 中值定理与导数的运用中值定理与导数的运用 第第 一一 节节 中值定理中值定理一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理0)( , ),( )()( 3 ),( )2( , )1( )( fbabfafbabaxf使使得得则则至至少少存存在在一一点点）（内内可可导导在在上上连连续续在在满满足足条条件件：若若几何解释几何解释: :.,的的在在该该点点处处的的切切线线是是水水平平上上至至少少有有一一点点在在曲曲线线弧弧CABab1 2 xyo)(xfy CAB证证上连续上连续在在,)(baxfmMbaxf ,)(和最小值和最小值上必有最大值上必有最大值在在讨论：讨论：,)1(mM 若若,)

2、(baxMxf 则则),(bax 0)( xf有有0)( ),( fba就就有有此此时时，任任取取一一点点,)2(mM 若若)()(bfaf )()(bfafmM 于于二二数数中中至至少少有有一一个个不不等等与与无妨设无妨设)()(bfafM 取取到到，的的最最大大值值不不在在区区间间端端点点即即：)(xf因此因此Mfba )(),( 使使得得至至少少存存在在一一点点下证：下证：0)( f),(,),()(babaxf 又又内可导内可导在在,)(点点可可导导在在 xf右右可可导导点点左左在在因因而而,)( xf且且)( )( )( fff ),(ba ),(baxx 很很小小，就就可可使使取取

3、Mf )( , 0 x若若那么有那么有xfxf )()( 0 0 x令令得得xfxfx )()(lim0 0 )( f )( f,0 x若若那么有那么有xfxf )()( 0 0 x令令得得xfxfx )()(lim0 0 )( f )( f12式式，得得由由)2)(1()( f 0 00)( f证毕。证毕。留意留意:假设罗尔定理的三个条件中有一个不满足假设罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论能够不成立其结论能够不成立.下面举例阐明。下面举例阐明。 21210101xxxxxxf,)( )(点点不不连连续续。在在1)(),2()0( xxfff不满足条件不满足条件(1).xyo)(xfy

4、120)( 20 f使使一一点点）内内找找不不到到，在在（,)( )(222 xxxf),2()2()(2 , 2ffxf 连连续续，上上在在点点不不可可导导，在在)22(0)( xxfxyo2 2xy 不满足条件不满足条件20)( 22 f使使一一点点）内内找找不不到到，在在（4 , 1,)( )3(2 xexfxxyo142xey ),()(41ff 不满足条件不满足条件3 321, 462210 , 1)( )4(2xxxxxxf 例例1 1.10155的的正正实实根根有有且且仅仅有有一一个个小小于于证证明明方方程程 xx证证, 15)(5 xxxf设设,1 , 0)(连连续续在在则则x

5、f. 3)1(, 1)0( ff且且由零点定理得：由零点定理得：. 0)(),1 , 0(00 xfx使使至少有一点至少有一点,),1 , 0(011xxx 假设另有假设另有. 0)(1 xf使使的的条条件件尔尔定定理理为为端端点点的的区区间间上上满满足足罗罗以以在在10,)(xxxf使使得得之之间间在在至至少少存存在在一一个个),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但 )1 , 0( , 0 x矛盾矛盾!.10的的正正实实根根为为唯唯一一小小于于x).()(bfaf 去去掉掉了了与与罗罗尔尔定定理理相相比比条条件件中中)()()( fabafbf 结结论论亦亦可可写写成成注：

6、注：二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理)( )()( ),( ),()2(,)1()(abfafbfbababaxf ，使得，使得那么至少有一点那么至少有一点内可导内可导在在上连续上连续在在满足条件：满足条件：如果函数如果函数ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM几何解释几何解释:.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧分析分析:).()(bfaf 条件中与罗尔定理相差条件中与罗尔定理相差弦弦AB方程为方程为)()()()(axabafbfafy )(xL ,)(ABxf减减去去弦弦曲曲线线., 两两端端

7、点点的的函函数数值值相相等等所所得得曲曲线线在在ba)()(xLxf )(x )()()()()(axabafbfafxf 作辅助函数作辅助函数)()()()()()(axabafbfafxfx 证证由知得：由知得：上连续，上连续，在在,)(bax ）内可导，）内可导，在（在（bax,)( 且且abafbfxfx )()()( )( 0 )(a 0 )(,b 即即)()(ba 根据罗尔定理，得：根据罗尔定理，得：, ）（至至少少存存在在一一点点ba 使得使得0 )( 即即0 abafbff)()()( 即即)( )()(abfafbf 证毕。证毕。)()()( )(abfafbfi 拉格朗日中

8、值公式拉格朗日中值公式注：注：时，上式也成立。时，上式也成立。ba )()()( ) ,( )(ababafafbfii 使得使得至少存在一个数至少存在一个数定理结论的另一形式：定理结论的另一形式：10),(ba 由由于于a 0ab 从而从而10 aba 记记aba 那么那么)(aba 这样，拉格郎日公式可表示为这样，拉格郎日公式可表示为),)( )()(ababafafbf )(10 ,),()(内内可可导导在在在在设设baxf).10()()()(000 xxxfxfxxf则有则有),(,00baxxx ).10()( 0 xxxfy也也可可写写成成.的的精精确确表表达达式式增增量量 y

9、此式称为有限增量公式此式称为有限增量公式.注注: : 拉格朗日公式准确地表达了函数在一个拉格朗日公式准确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系数之间的关系. .推推 论论)( lim)( )()( lim), )1(. ),( , )( 0000 xfxfAAxfbaxbabaxfxxxx 则则为为有有限限数数或或且且若若内内可可导导上上连连续续，在在在在设设)( lim)( )()( lim,( )2(0000 xfxfAAxfbaxxxxx 则则为为有有限限数数或或且且若若证证1xxfxxfxfx )()(lim)(000

10、0 xxxxfx )( lim00 ) ( lim00 xxfx xxx 0)( lim0 xfxx )( lim)(00 xfxfxx )1 , 0(, )( ,sin,)( xfxxxxxxxf求求设设例例 000022解解时时，0 x )( xf )(2xx2时时，0 x )( xf )sin(xx xx sin)()(sin xx xsinxxcos时，时，0 xxx2lim0 0 )( lim)0(0 xffx )cos(sinlim0 xxxx 0 )( lim)0(0 xffx 00 )( f 00002xxxxxxxxf,cossin , ,)( 定理定理.)(,)(上是一个常

11、数上是一个常数在区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数IxfIxf证证Ixx 21, 任取两点任取两点上可导上可导在在Ixf)(的的条条件件，格格朗朗日日定定理理为为端端点点的的区区间间上上满满足足拉拉在在以以21xxxf,)(格格朗朗日日定定理理，得得：因因而而在在该该区区间间上上应应用用拉拉 )()(12xfxf)( 12xxf 之间）之间）与与介于介于（21xx ）（120 xx 0 )()(12xfxf 的任意性，得的任意性，得与与由由21xx上上是是常常数数函函数数。在在区区间间Ixf)(证毕证毕例例3 3).11( ,2arccosarcsin:

12、 xxx 证明证明证证1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf设设)11(11)(22xxxf , 0 )1 , 1(,)( xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即,2)( xf)1 , 1( x)1 , 1( x2)1()1( ff又又,2)( xf1 , 1 x即即).11( ,2arccosarcsin xxx 例例4 4.)1ln(1,0:xxxxx 时时当当证明证明证证),1ln()(xxf 设设理理，上上应应用用拉拉格格朗朗日日中中值值定定在在, 0 x)0(),0)()0()( xxffxf 得得,11)(, 0)0(xxff 1)

13、1ln( xx代入上式，得代入上式，得x 0 x 111 , 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理)( )( )()()()( ),(),()( ),()(),(2,)(),(1:)()( FfaFbFafbfbabaxFbaxFxfbaxFxfxFxf ，使得，使得那么，至少存在一点那么，至少存在一点内每一点处均不为零内每一点处均不为零在在内可导，且内可导，且都在开区间都在开区间）（上连续上连续都在闭区间都在闭区间）（满足条件满足条件及及如果函数如果函数柯西中值定理柯西中值定理证证作辅助函数作辅助函数).()()()()(

14、)()()()(aFxFaFbFafbfafxfx ，且且内内可可导导上上连连续续，在在在在则则),(,)(babax )( )()()()()( )( xFaFbFafbfxfx )()(,)(,)(baba 即即又又00使使得得存存在在一一点点根根据据罗罗尔尔定定理理得得：至至少少),(ba 0 )( 即即0 )( )()()()()( FaFbFafbff即即)( )( )()()()( FfaFbFafbf 证毕。证毕。注注)()(aFbF 0 )( ),)()( FbaaFbF使得使得（至少存在一点至少存在一点，则根据罗尔定理得：，则根据罗尔定理得：若若但这与已知条件矛盾！但这与已知

15、条件矛盾！注注 从几何上看，从几何上看，柯西中值定理就是拉格郎日中值定理的参数方式。柯西中值定理就是拉格郎日中值定理的参数方式。,)(xxF 特特别别，若若取取, 1)(,)()( xFabaFbF)()()()()()( FfaFbFafbf )()()( fabafbf 即即即即:)(1 F)(2 Fxoy )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦该点处的切线平行于该点处的切线平行于在在一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式例例5 5 )()( ),1 , 0(, 0)1(, 1)0(,)1 , 0(,1

16、, 0)(ffffxf 使使得得试试证证明明至至少少存存在在一一点点并并且且内内可可导导在在上上连连续续在在设设函函数数分析分析: )()( ff 要证要证0)( )( ff即即0)( | xxxf即即),()(xxfxF 设设上上应应用用罗罗尔尔定定理理。在在1 , 0证证)()( xxfxF 设设内内可可导导上上连连续续，在在，在在)1 , 0( 10)(xf)()( ,)1 , 0( 10)(xxfxFxF 且且内内可可导导上上连连续续，在在，在在0)1( , 1)0( ff)0(0)0(fF 0 )1(1)1(fF 001 即即)1()0(FF 根据罗尔定理，得：根据罗尔定理，得：），使得），使得，（至少存在一点至少存在一点10 0)( F)( )(xxfxf 即即0)( )( ff即即 )()( ff 证毕证毕例例6 6).()()(),(:,),(,)(012101010fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数证证分析分析:结论可变形为结论可变形为 2)(01)0()1(fff xxxxf)()(2,)(2xxg 设设条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则1 , 0)(),(xgxf使使得得至至少少存存在在一一点点由由柯柯西西中中