多维随机变量及其分布

1、第三章多维随机变量及其分布随机向量的定义：随机试验的样本空间为S=。,若随机变量Xl（9）,X2（®）,Xn（9）定义在S上，则称（Xl）,X2（e），,Xn（3）为n维随机变量（向量）。简记为（X,X2,Xn）。二维随机向量（X,Y）,它可看作平面上的随机点。对（X,Y）研究的问题：1. （X,Y）视为平面上的随机点。研究其概率分布一一联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint2. 分别研究各个分量X,Y的概率分布一一边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度；marginal3. X与Y的相互关系;4. (X,Y)函数的分布。§ 3.1 维随机变量的分布一.离

2、散型随机变量1.联合分布律定义3.1若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个，则称(X,Y)为二维离散型随机变量。设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(Xi,yj),i,j=1,2，取这些值的概率为pj=P(X,Y)=(Xi,yi)=pX=Xi,Y=yii,j=1,2,(3.1)称(3.1)式为(X,Y)的联合分布律。(X,Y)的联合分布律可以用表格的形式表示X2p21p22p2jP2.-3-Xipi1pi2pijPi.-99rY的边缘分布率P.1>2p.j1性质：p0,i,j=1,2,(2) pij=11 ,jij2 .边缘分布律设二维离散型随机变量(X,

3、Y)的联合分布律为Pij=PX=Xi,Y=yii,j=1,2,分量X和Y的分布律分别为pi.=PX=xi=1,2,满足pJ0工pi.=1p.j=pY=yij=1,2,pJ0工p.j=1我们称p.和p.j分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布律，简称为(X,Y)的边缘分布律。二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律与边缘分布率有如下关系：pi.=pX=x=pX=xi,S=pX=xi,(Y=yj)=PX=Xi,Y=yj=pij(3.4)同理可得p.j=ipij(3.5)例1:一整数X随机地在1,2,3三个整数中任取一值，另一个整数Y随机地在1到X中取一值。试求(X,Y)的联合分布率及边缘分布率。解：

4、PX=i,Y=j=PY=j/X=iPX=i11=_Xi3i1,2,3,j.i,123X的边缘分布率11/3001/3P121/61/601/3P231/91/91/91/3P3Y的边缘11/185/181/91分布率P,1P2P3二.联合分布函数与边缘分布函数1 .定义3.2设(X,Y)是二维随机变量，对任意的实数x,y令F(x,y尸PXx,Yy(3.7)则称F(x,y)为(X,Y)的联合分布函数。(x,y)ty2 .F(x,y)的性质:性质1对于x和y,F(x,y)都是单调不减函数，即若xi<X2,对任意的实数y,则有F(xi,y)叶(X2,y);若yi<y2,对任意的实数x,则

5、有F(x,y1尸F(x,y2)。性质2对于任意的实数x,y,均有0，F(x,y)FLimF(x,y)=0,xyLimF(x,y)=0,LimF(x,y)=1。x,y性质3对于x和y,F(x,y)都是右连续的,即对任意的实数x。和y。，均有LimF(x,y)=F(xo,y),xxx0LimF(x,y)=F(x,y0)。yy0性质4若xi<x2,yi<y2,则F(x2,y2)F(x2,yi)F(xi,y2)+F(xi,yi)-0(X,Y)落于下图阴影部分的矩形区域内的概率为：F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)=Pxi<Xx2,y1<Yy2例2

6、P71,照书上讲。3.边缘分布(X,Y)的分量X,Y的分布函数分别为Fx(x)和FKy),称它们为X,Y的边缘分布函数。它们与F(x,y)的关系如下：Fx(x)=PXMx=PXx,-s<Y<+=F(x,+s),FY(y)=PY*y=P-<X<+,丫£y=F(+,y)。例2:(第一版)设(X,Y)F(x,y)1- ex2-e2y2ex2'x0,y0；0其它求：(1)(X,Y)的边缘分布函数；(2)P(1x2,-1、3)。(3)P(X>2,Y>3)=1-P(X三2,Y±3)三.连续性随机变量1 .联合概率密度定义3.3设(X,Y)的联

7、合分布函数为F(x,y),若存在非负函数f(x,y),使得对于任意的实数x,y均有xyF(x,y尸J/f(U,V)dvdU(3.12)则称(X,Y)为连续型随机变量，并称f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度，简称为概率密度。2 .f(x,y)有如下性质：性质1f(x,y)-0性质2匚;f(x,y)dxdy=1性质3若f(x,y)的连续点(x,y)处，有2F(x,y)yxxy"f(u,v)dvduxyf(x,y)性质4若随机点(X,Y)落于平面上相当任意的区域D内记为(X,Y)'D,则P(X,Y)名d=1fdy)dxdy(3.16)注：在f(x,y)非0域与D公共部分积分有非

8、0值。P71例2例3:(第一版书上例3.3)设(X,Y)的联合概率密度为:a一(xy)x-0,y-0ef(x,y)=0其他求(X,Y)的联合分布函数F(x,y);(2)PX>1(3)P(X,Y)wD,其中D=(x,y):x+yM;(4)PX2Y解：注意f(x,y)的非零域为Hxy(1)F(x,y)=Uf(x,y)dxdy,当x0,y0时，xyF(x,y)=0edx°edy(1-ex)(1-ey)其他F(x,y)=0(1 eF(x,y)= ')(1 e) x 0,y 00其他(2)PX>1=1-PX，1=1-Fx(1)=1-F(1,+=e-1P(X,Y)def(x,

9、y)dxdy=e x ydxdy = G21 v T x e xdx eydy=1(1-e(1x)exdx01,二(ex-e1)dx0(4)PX2YEyf(x,y)dxdy=exydxdy=eXdxeydyG300+o0+oO-x,-x2-x,i=1 - e40x 12一 212 12U2J >N(1/22，( 2)2)的概率密度,P(x x0) = 1 P(xx0)x0=edx-edx0口r0P(x 0) = 1IIIPX2-Y=i-e41知1 - - z2221y2' 2 I23.边缘概率密度设二维连续型随机变量(X,Y)联合分布函数、联合概率密度分别为F(x,y),f(x,

10、y),分量X,Y的边缘分布函数分别为Fx(x)、FY(y)o利用边缘分布函数与联合分布函数的关系及(3.16)式，可得xFx(x)=F(x,+尸一f(u,y)dydu(3.17)一,yFY(y)=F(+,y)=f(x,v)dxdv(3.18)+oO记：fx(x)=Mf(x，y)dy为X的边缘概率密度+oO函数；fY(y)=二f(x，y)dx为y的边缘概率密度函数。例2:P74例3:P75即下面的例5(第一版)，若二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=121 X_L2x1y22 2、2Le21-p.仃1仃i仃2。1，。2，P均为常数，且Q:2 0,1 '则称(X,Y)服从参

11、数为2,的二维正态分布，通常记为(X,Y)服从于N。尸2匕尸2)。求：(X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y)o解：fx(x)=1f(x，y)dy令宁=u：dy2d且2f(xy)中e的指数部分改写为:CJ11(x'l)22y2(y2)2+ oOfx(x)二一-2(x- ii)2x - 八.Q (U-： "V124- oo2(L 2)2x122(x1)2 (u 2(12)_)2(1) 一 一(1)1-1221x11(x-»1)-2"u-p-二二2(12)12121x-11(1)2r(u")一二22(1-2)二12:12e22是N(P一人TE)

12、的积分函数，积分=1。_(x-1)2fx(X)12二12X服从J211e即知:于 N( 1,2、1 )，同理：Y服从于N(2,22)结果表明：(1)二维正态分布N(2CT1, 1),其边缘分布都是一维正态分布N(2 一1 )和N( 2,2、 一一、一小2 )。而反之不然。(2)二维R.V.边缘分布是由联合分布唯一确定。(见第一版习题3.1)例4:(第一版域 D=(x,y):x2+y2£其联合概率密度为书上例3.4 )设(X,Y)在圆r2(r> 0)上服从均匀分布,f(x,y尸12 r02 2 2 x y r 其他22求(1)Pg<乂+寸三十;(2)(X,Y)的边缘概率密度

13、函数fx(x),fY(y)o的.3条件分布由条件概率引出条件概率分布的概念。定义1设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j,若P(Y=y/0,则称PX=x,Y=y.p.PX=x/Y=y.=ij=ijijPY=y.p.jtj例1,P77,一射手进行射击，击中目标的概率为p(0<p<1),射击到击中目标两次为止。设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律及条件分布律。解:定义2(不严格)，设(X,Y)的概率密度为f(x,y),记fX/Y(x/y)为在条件Y=y下X的条件概率密度，则f(x,y)fX/Y(x/y) ;f (x, y)f

14、Y(y)P79求条件边缘分布和密度公式的推导过程。公式3.4和3.5.例2P79,例 3 P80翳4随机变量的独立性1.概念：定义3.5设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),X,Y的边缘分布函数分别为Fx(x),FY(y)。若对任意的实数x,y,均有F(x,y)=Fx(x)R(y)(3.30)即PX£x,Y*y=PX£xPY£y则称X,Y相互独立。例1.电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位千小时)。已知X和Y的联合分布函数为：x 0, y 0其他0.5x-0.5y-0.5(xy)1 eeeF(x,y)二八0(1)问X与Y是否独立?解：独

15、立。因为：(1-e0.5x)(1-e05y)T-e0.5x-e0.5ye05(xy)2 .判断两个随机变量是否独立的定理定理3.1二维随机变量（X,Y）的两个分量X,Y相互独立的充要条件是：对任意的实数Xi<X2,yi<y2,均有Pxi<Xvx2,yi<Yy2=Pxi<XX2Pyi<Yy?。定理3.1'二维随机变量（X,Y）的两个分量X,Y相互独立的充要条件是：对任意的实数x,y,均有PX>x,Y>y=PX>xPY>y定理3.2设二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律，边缘分布律分别为pj,pi.,p.j,i,j=1,2,，

16、则X,Y相互独立的充要条件是：对任意的i,j均有pij=Pi.p.j即PX=xi,Y=yj=PX=xi,PY=yj定理3.3设连续型随机变量X,Y的概率密度分别为fx(x),fY(y),则X,Y相互独立的充要条件是：fx(x)fY(y尸f(x,y)其中：f(x,y)是(X,Y)的联合概率密度。例6:(续例3.5第一版)第二版P82,这里的结论很重要。设(X,Y)服从于N"，。 2i (x i)2(x ?(y 2)(y2)2222e2(1)11 21 2，'，。2)，证明X,Y相互独立的充要条件是：=0o证明：由第一版例3.5知(X,Y)的联合概率密度、X和Y的边缘概率密度分别

17、为f(xy)一 211 fx(x)”2(x 1)2(y 2)fY(y)充分性 若f=0,此时二元函数x(x)fY(y)=f(x,y)是(X,Y)的联合概率密度，所以X,Y相互独立;f(x,y)=f必要性若X,Y相互独立，则x(x)fY(y)取 x= 1>y- 2代入上式，即得2二二1于是：=0o例 1 P83 ,挺怪一例子，好象是为了算概率而不是为了说明这段的内容。3 .二维随机变量独立性概念的推广定义3.6设（Xi、X、Xn）是n维随机变量,其联合分布函数和一维边缘分布函数分别为F（x1、X2、，Xn）、FXi（X1）、FX2（X2）、Fx（Xn）,若对任意的实数Xi、X2、Xn均有F

18、（x1、X2、，Xn）=FXi（Xi）,Fx2（%）FXn（Xn）则称Xi、X、X相互独立。定义3.7设X、X、X、是一列随机变量，若其中任意有限个随机变量是相互独立的，则称这一列随机变量是相互独立的。狂5多维随机变量函数的分布这一节是很重要的内容，一般概率统计的考试必有这些内容的考题。特别是本节例i,3,4以及MaX（X,Y）,Min(X,Y)的分布等内容，很有代表性。一.离散型随机变量(X,Y)的函数的概率分布例1:已知(X,Y)的分布律为：XY.、-112-15/202/206/2023/203/201/20求：Z产X+Y乙=max(X,Y)的分布律。P5/202/206/203/203

19、/201/20(X,Y)取值(-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)乙取值-201134Z2取值-112222二连续型随机变量(X,Y)的函数的概率分布1.已知(X,Y)f(x,y),求Z=g(X,Y)的概率密度。(1) ZFz(z)=P(Zvz)=Pg(X,Y”=f(x,y)dxdyzg(X,Y).Z,(2) ZfZ(z)=Fz(z)2.已知(X,Y)f(x,y),求2=*+丫的概率密度定理3.4若(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),则Z=X+Y的概率密度为00fz(z)=；f(x,Z-x)dx或fz(z)=二f(z一y，y)dy。证明：P85-86.讲P85.o。推论若X,Y相互独立，它们的概率密度分别为fX(x)和fY(y),则独立和Z=X+Y的概率密度为QOfz(z)=-fX(x)fY(z-x)dx(3.36)00或fz(z尸一:fx(z-y)fY(y)dy(3.37)例1P86设X和Y是两个相互独立的随机变量,它们都服从N(0,1),即。求Z=X+Y勺概率密度。一般，设X,Y相互独立且XNdi，。；),YN(、,"2),则Z=X+Y乃然服从正态分布，且有2田”名,十。2)。此结论可以推广到个独立正态随机变量之和的情况。即若XiN(',&qu