(完整版)小学奥数-几何五大模型(相似模型)

1、任意四边形、 梯形与相似模型模型四相似三角形模型( 一 ) 金字塔模型(二 )沙漏模型AEFDADFEBGCBGC ADAEDEAF ；ABACBCAG SADE： S ABC AF 2 : AG 2 。所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形( 只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似 ) ，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。相似三角形模型，给我们提供了三角形之间

2、的边与面积关系相互转化的工具。在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。【例 1】 如图，已知在平行四边形 ABCD 中， AB 16 ， AD 10 ， BE 4 ，那么 FC 的长度是多少？DCFABE【解析】 图中有一个沙漏， 也有金字塔， 但我们用沙漏就能解决问题，因为 AB 平行于 CD ，所以 BF : FC BE : CD 4:1648 1: 4 ，所以 FC 1014【例2】 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ， AB 的长为 15 厘米， AC 被分为 60等份。如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20 等份处 ( DE 平行 AB ) ，那么小玻璃管口

3、径DE 是多大？BEADC0102030405060【解析】 有一个金字塔模型， 所以 DE : ABDC : AC ，DE :1540:60 ，所以 DE10 厘米。【例 3】 如图， DE 平行 BC ，若 AD : DB2:3 ，那么 S ADE : S ECB_ 。ADEBC【解析】 根据金字 塔模 型 AD:AB AE:AC DE:BC2: (23)2:5 ，S ADE : S ABC22 :524: 25，设S ADE4份 ， 则 SABC25 份 ， SBEC25 53 15份，所以S ADE : S ECB4:15。【例 4】 如图，ABC 中， DE ， FG ， BC 互相

4、平行， ADDFFB ，则 S ADE: S四边形 DEGF : S四边形 FGCB。ADEFGBC【解析】 设 S ADE1 份，根据面积比等于相似比的平方，所 以 SADE : SAFGAD2 : AF21: 4 ， SADE : SABC AD 2: AB21: 9， 因 此S AFG4 份， S ABC9 份，进而有 S四边形 DEGF3 份， S四边形 FGCB5 份，所以 S ADE : S四边形 DEGF : S四边形 FGCB1:3:5【巩固】如图，DE 平行 BC，且 AD2， AB5， AE4，求 AC 的长。ADEBC【解析】 由金字塔模型得AD : ABAE : ACD

5、E : BC2:5 ，所以 AC42510【巩固】如图，中，PQ ，互相平行，AD DFFMMP PB， ABCDE FGMNBC则 S ADE : S四边形 DEGF: S四边形 FGNM : S四边形 MNQP : S四边形 PQCB。ADEFGMNPQBC【解析】 设 S ADE1 份 ， SADE : SAFGAD2:AF21:4 ，因此 SAFG4份，进而有S四边形 DEGF3份，同理有 S四边形 FGNM5 份， S四边形 MNQP7 份， S四边形 PQCB9 份所以有 S ADE: S四边形 DEGF : S四边形 FGNM: S四边形 MNQP : S四边形 PQCB1:3:

6、5:7:9【总结】 继续拓展， 我们得到一个规律： 平行线等分线段后， 所分出来的图形的面积成等差数列。【例 5】 已知 ABC 中，DE 平行 BC ，若 AD : DB2:3 ，且 S梯形 DBCE 比 S ADE 大 8.5 cm2 ，求 SABC。ADEBC【解析】 根据金字塔模型AD:AB DE :BC2: (23)2:5，S ADE : S ABC22 :524: 25，设S ADE4份 ， 则S ABC25份，S梯形 DBCE254 21份 ， S梯形 DBCE 比 S ADE 大17份，恰好是8.5 cm2， 所 以S12.5 cm 2 ABC【例 6】 如图： MN 平行 B

7、C ，: 4 :9， AM4 cm ，求 BM 的长度S MPNS BCPAMNPBC【解析】 在沙漏模型中， 因为 S: S4 :9 ，所以MN : BC 2:3，在金字塔模型中有：MPN BCPAM:ABMN :BC2:3，因为 AM4 cm ， AB 42 36 cm ， 所 以BM 6 4 2 cm【巩固】如图，已知DE 平行 BC ， BO: EO3: 2，那么 AD : AB_。ADEBOC【解析】 由沙漏模型得 BO : EOBC : DE 3: 2 ，再由金字塔模型得AD:ABDE :BC2:3 【例 7】 如图， ABC 中， AE1AB，AD1AC，ED与BC平行，EOD

8、的面积是 144平方厘米。那么AED 的面积是平方厘米。AEDOBC1AB， AD1【解析】 因为 AEAC，ED与BC平行，44根据相似模型可知ED: BC 1:4， EO:OC 1:4，SCOD4S EOD 4 平方厘米，则SCDE 41 5 平方厘米，又因为 S AED : S CDEAD : DC 1:3 ，所以 S AED515(平方厘米 )33【例 8】 在图中的正方形中，A ， B ， C 分别是所在边的中点，VCDO 的面积是 VABO 面积的几倍？CFCBOBOADEAD【解析】 连接 BC ，易知 OA EF ，根据相似三角形性质，可知OB :ODAE:AD，且OA:BED

9、A:DE1:2 ，所以 VCDO的面积等于VCBO的面积；由113OA，所以 SVCDO SV CBO3SV ABO ，即 VCDO 的面积是OABEAC 可得 CO24VABO 面积的3 倍。【例 9】 如图，线段 AB 与 BC 垂直，已知 AD EC4， BDBE 6 ，那么图中阴影部分面积是多少？AADDOBECBECADOBEC【解析】 解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看作辅助线 BO，则图形关于 BO对称，有 SVADO SVCEO， SV DBOSVEBO ， 且SV ADO : SVDBO4 :62:3 设 VADO 的面积为2 份，则

10、 VDBO 的面积为 3 份，直角三角形 ABE 的面积为8 份因为 SV ABE6 10230 ，而阴影部分的面积为4 份，所以阴影部分的面积为308415解法二：连接DE 、 AC 由于 ADEC 4， BDBE6，所以 DE AC ，根据相似三角形性质，可知DE:ACBD : BA 6:103:5，根据梯形蝴蝶定理，SVDOE : SVDOA: SVCOE : SV COA32 :3 5: 35 :529:15 :15: 25，所以 S阴影 : S梯形 ADEC1515: 91515 2515: 32 ，即 S15 S；阴影梯形 ADEC32又 S1 101016 6=32 ，所以 S1

11、5 S15 梯形 ADEC22阴影梯形 ADEC32【例 10】( 2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛) 如图，四边形ABCD 和 EFGH 都是平行四边形，四边形ABCD 的面积是 16， BG : GC3:1 ，则四边形 EFGH 的面积_AEDFHBGC【解析】 因为 FGHE 为平行四边形，所以EC / / AG ，所以 AGCE 为平行四边形BG :GC3:1 ，那么 GC : BC1: 4 ，所以 SY AGCE11SY ABCD16 444又 AEGC ，所以 AE: BG GC : BG1:3 ，根据沙漏模型，FG:AFBG:AE3:1 ，所以SY FGH

12、E33SY AGCE4 3 44【例 11】已知三角形 ABC 的面积为 a ， AF : FC 2:1，E 是 BD的中点，且 EF BC，交 CD 于 G ，求阴影部分的面积ADEFGBC【解析】已知AF:FC 2:1，且EFBC，利用相似三角形性质可知EF :BCAF:AC2BC ，且 SVAEF : SVABC 4 : 9 2:3 ，所以 EF31又因为 E 是 BD 的中点，所以EG 是三角形DBC 的中位线，那么EGBC ，122EG:EFGF:EF1: 4， 可 得 SVCFG : SV AFE1:8， 所 以:3:4，所以23a SVCFG : SVABC1:18，那么 SV

13、CFG18【例 12】已知正方形 ABCD ，过 C 的直线分别交AB 、 AD 的延长线于点E、F，且AE10 cm ， AF15 cm ，求正方形 ABCD 的边长ABEDCF【解析】 方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有BC : AFCE : EF ，DC:AECF : EF ，设正方形的边长为x cm ，所以有 BCDCCECF1 ，AFAEEFEF即 xx1，解得 x6 ，所以正方形的边长为6 cm 1510方法二：或根据一个金字塔列方程即x15x ，解得 x61015【例 13】如图，三角形ABC 是一块锐角三角形余料，边BC120毫米，高 AD80 毫米，要把它加工成正

14、方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、 AC 上，这个正方形零件的边长是多少？APNBHD GC【解析】 观 察图中有金字塔模型5 个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有PNAP，PHBP ，设正方形的边长为x 毫米， PNPHAPBP1 ，即BCABADABBCADABABxx1 ，解得 x48 ，即正方形的边长为48 毫米12080【巩固】如图，在 ABC 中，有长方形 DEFG ，G 、F 在 BC 上， D 、E 分别在 AB 、 AC上， AH 是 ABC 边 BC 的高，交 DE 于 M ， DG: DE1: 2， BC12 厘米，AH8 厘米，求长方

15、形的长和宽ADMEBGHFC【解析】 观 察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以DEAD ，DGBD，所以有 DEDGADBD1 ，设 DG x ，则 DE2x ，BCABAHABBCAHABAB所以有2xx1 ，解得 x24 ， 2x48 ，因此长方形的长和宽分别是48 厘米，12877724 厘米7【例14】图中 ABCD 是边长为 12cm的正方形， 从 G 到正方形顶点C 、 D 连成一个三角形，已知这个三角形在AB 上截得的EF 长度为 4cm，那么三角形GDC 的面积是GGAEFBAEFBNDCDMC【解析】 根据题中条件， 可以直接判断出EF 与 DC 平

16、行，从而三角形 GEF 与三角形 GDC 相似，这样，就可以采用相似三角形性质来解决问题做GM 垂直 DC于M ，交 AB于 N因为 EFDC，所以三角形GEF 与三角形GDC相似，且相似比为EF :DC4:121:3，所以GN:GM1:3，又因为MNGMGN12，所以GM18 cm，所以三角形GDC 的面积为11218108 cm22【例15】如图，将一个边长为求阴影部分的面积是多少？2 的正方形两边长分别延长1 和 3，割出图中的阴影部分，E M B NOF【解析】 根据相似三角形的对应边成比例有：NF23； EM11，123232则 NF5，EM5 ，93S阴12951252303【例

17、16】( 2008年 101中学考题 ) 图中的大小正方形的边长均为整数( 厘米 ) ，它们的面积之和等于52 平方厘米，则阴影部分的面积是ABCDGHFE【解析】 设大、小正方形的边长分别为m 厘米、 n 厘米 ( mn ) ，则 m2n 252 ，所以m8 若 m 5 ，则 m2n25225052 ，不合题意， 所以 m 只能为 6 或 7检验可知只有 m 6 、 n4 满足题意，所以大、小正方形的边长分别为6厘米和 4厘米根据相似三角形性质，BG:GFAB :FE6: 43: 2，而 BG GF6，得BG3.6( 厘米 ) ，所以阴影部分的面积为：163.610.8(平方厘米 )2【例

18、17】如图， O 是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？DADA44OE3OE3CFBCFB【解析】连接 OB ,面积为 4的三角形占了矩形面积的 1， 所以 SOEB4 31,所以4OE:EA 1:3 , 所以 CE :CA5:8 ,由三角形相似可得阴影部分面积为8 (5)225 88【例 18】已知长方形ABCD 的面积为 70 厘米， E 是 AD 的中点， F 、 G 是 BC 边上的三等分点，求阴影EHO 的面积是多少厘米？AEDAEDHOHOBFGCBFGC【解析】因为 E是 AD 的中点， F 、G是 BC 边上的

19、三等分点， 由此可以说明如果把长方形的长分成6 份的话，那么 EDAD3份、 BFFGGC2份，大家能在图形中找到沙漏EOD 和 BOG ：有 EDBG = 34，所以 ODBO34 ，相当于把 BD分成( 34 )7 份，同理也可以在图中在次找到沙漏：EHD 和 BHF 也是沙漏，EDBF 32 ，由此可以推出： HDBH 32 ,相当于把 BD 分成 ( 32 )5 份，那么我们就可以把BD分成35份 (5和7的最小公倍数 ) 其中OD占15份，占14BH份，HO占6份，连接 EB 则可知 BED 的面积为70435 ，在 BD 为底的三角3562形中HO占6份，则面积为：3( 平方厘米

20、) .235【例 19】ABCD 是平行四边形，面积为72平方厘米， E 、 F 分别为 AB 、 BC 的中点，则图中阴影部分的面积为平方厘米ADAGDEOOEHBMMFCBFC【解析】 方法一：注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质设G、 H 分别为 AD、 DC的中点，连接 GH 、EF 、BD1可得 SV AED =S平行四边形 ABCD ，4对角线 BD被 EF、 AC、 GH 平均分成四段，又OMEF ，所以DO :ED23BD2:3 ， OE :EDED OD: ED32 :31:3，4BD :41111SV AEO6 (平方厘 米)，所以3S平行四边形 ABCD

21、37244SV ADO2 SV AEO12 (平方厘米 )同理可得 SV CFM 6平方厘米， SVCDM12 平方厘米所以 SV ABCSV AEOSVCFM366624(平方厘米 )，于是，阴影部分的面积为24 12 1248(平方厘米 )方法二：寻找图中的沙漏，AE:CDAO:OC 1:2， FC : ADCM:AM1: 2，因此 O,M为 AC 的三等分点，S ODM11(平方厘米 )，S平行四边形 ABCD72 121166S AEOSOCD26( 平方厘米) ，同理 S FMC 6( 平方厘米 ) ，所以4124S阴影7212 66 48(平方厘米 )【例 20】如图，三角形 PD

22、M 的面积是 8平方厘米，长方形 ABCD 的长是 6 厘米，宽是4 厘米， M 是 BC 的中点，则三角形APD 的面积是平方厘米ADANDKPPBMCBMC【解析】 本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一般需要通过这一点做垂线取 AD的中点 N，连接 MN ，设 MN 交PD于 K则三角形 PDM 被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边MK ，可知三角形 PDM 的面积等于1MKBC8 ( 平方厘米 ) ，所以 MK=8(厘米 )，那么23NK484(厘米)33因为 NK 是三角形 APD 的中位线，所以 AP2 NK8 ( 厘米 ) ，所以三角形

23、 APD3的面积为18 68(平方厘米 )23【例 21】如图，长方形 ABCD 中， E 为 AD 的中点， AF 与 BE 、 BD 分别交于 G 、 H ，OE垂直 AD于 E，交 AF 于O，已知 AH5 cm ， HF3cm ，求 AG AEDGOHFBC【解析】 由于 AB DF ，利用相似三角形性质可以得到AB: DFAH : HF 5:3，又因为 E 为 AD 中点，那么有 OE : FD 1: 2，所 以 AB:OE 5:3，利用相似三角形性质可以得到10:32AG :GOAB :OE10:3 ，1AF11040cm 而 AO25 3 4 cm ，所以 AG 413213【例

24、 22】右图中正方形的面积为1， E、 F 分别为 AB、 BD的中点， GC1FC求3阴影部分的面积ADADFEFEGGBCBHIC【解析】题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质阴影部分为三角形， 已知底边为正方形边长的一半，只要求出高， 便可求出面积可以作FH 垂直 BC于H，GI垂直 BC于I根据相似三角形性质， CI : CH CG : CF1:3 ，又因为 CHHB ，所以CI :CB 1: 6，即 BI : BC6 1:65: 6，所以 SV BGE1155 22624【例 23】

25、梯形 ABCD 的面积为12，AB2CD ，E 为 AC 的中点， BE 的延长线与 AD 交于 F ，四边形 CDFE 的面积是DCGDCFFEEABAB【解析】 延长 BF 、 CD 相交于 G 由于 E 为 AC 的中点，根据相似三角形性质，CGAB2CD ，GD1 GC1AB，22再根据相似三角形性质， AF:FD AB:DG2:1 ， GF : GB 1:3， 而S ABD :S BCDAB :CD2:1，所以 S BCD1 SABCD1 124，SGBC 2SBCD8 33S GDF1111，所以SCDFE11118又23，SEBCS GBC2S GBCS GBCS GBC6263

26、3【例 24】如图，三角形ABC 的面积为 60平方厘米， D 、 E 、 F 分别为各边的中点，那么阴影部分的面积是平方厘米AADEDEMNBFCBFCADEMNBFC【解析】 阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积， 可以将其转化为两个三角形的面积之差 而从图中来看， 既可以转化为BEF 与 EMN 的面积之差， 又可以转化为BCM 与 CFN 的面积之差(法 1)如图，连接 DE 由于 D 、 E 、 F 分别为各边的中点，那么BDEF 为平行四边形，且面积为三角形ABC 面积的一半，即 30 平方厘米；那么BEF 的面积为平行四边形 BDEF 面积的一半，为 15 平方厘米根据

27、几何五大模型中的相似模型，由于 DE 为三角形 ABC 的中位线， 长度为 BC 的一半，则 EM :BM DE :BC 1:2，所以1EMEB；3EN :FNDE :FC1:1 ，所以 EN1EF 2那 么EMN的面积占BEF面积的 111，所以阴影部分面积为23615 1112.5 (平方厘米 ) 6(法 2)如图，连接 AM 根据燕尾定理， S ABM : S BCMAE :EC 1:1 ， S ACM :S BCMAD:DB 1:1，所以 S BCO1120 平方厘米，S ABC6033而SBDC1130 平方厘米，所以S FCN17.5 平方厘米，S ABC60S BDC224那么阴影部分面积为207.512.5(平方厘米 )【总结】 求三角形的面积，一般有三种方法：利用面积公式：底高2 ；利用整体减去部分；利用比例和模型【例 25】如图 , ABCD 是直角梯形，AB 4, AD5,DE3 ，那么梯形ABCD 的面积是多少 ?ABOAFBODECDEC【解析】 延长 EO 交 AB 于 F 点，分别计算 AOD, AOB, DOC ,BOC 的面积，再求和DEBF DOOB 31 ；S DOCS BOC31S AODS AOB3 1S AODS BOC又S ABD151042S AOD3S ABD 7.5 , S AOB2.5, S BO