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1、精选优质文档-倾情为你奉上第10讲 函数的奇偶性一【学习目标】1.理解函数奇偶性的概念及其几何意义;2.能利用定义判断函数的奇偶性;3.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.二【知识梳理】1.引入:“对称”是大自然的一种美,这种“对称美”在数学中也有大量的反映,让我们从图象和解析式两个方面总结下列各函数有什么共性?(1),;(2) ,. (1)与的共性:图象 ;解析式 (2)与的共性:图象 ;解析式 2.定义:(1)对于函数的定义域内的任意一个,都有,那么就叫做偶函数(2)对于函数的定义域的任意一个,都有,那么就叫做奇函数3.点拨:(1)如果函数是奇函数或偶函数,我们就说函数具有奇偶性;函数的
2、奇偶性是函数的整体性质;(2)根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数;(3)奇函数、偶函数的定义域关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于“0”(原点)对称,则该函数既不是奇函数也不是偶函数;(4)偶函数的图象关于y轴对称,反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数为偶函数,且;奇函数的图象关于原点对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数.若奇函数在时有意义,则.4.函数奇偶性的判断:(1)图象法;(2)定义法.用定义判断函数奇偶性的步骤是:先求定义域,看是否关于原点对称;再判断或是否恒成立;作出相应结论.
3、若;若提问:(1)下列函数是偶函数吗?为什么?;(2)下列函数是奇函数吗?为什么?;三【典例精析】例1判断下列函数的奇偶性:(1);(2);(3);(4);(5)f(x) =x+;(6);(7);(8).解:(1)为非奇非偶函数;(2)为非奇非偶函数;(3)奇函数;(4)为非奇非偶函数;(5)奇函数;(6)奇函数;(7)既是奇函数又是偶函数;(8)为偶函数;点拨:常用结论:(1)两个偶函数相加所得的和为偶函数.(2)两个奇函数相加所得的和为奇函数.(3)一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇非偶函数. (4)两个偶函数相乘所得的积为偶函数.(5)两个奇函数相乘所得的积为偶函数.(6)一个偶函
4、数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.例2.判断函数的奇偶性:解:当0时,0,于是当0时,0,于是综上可知, 是奇函数例3. 为R上的偶函数,且当时,则当时,x(x+1) 提问:若是奇函数呢?例4.已知函数是偶函数,求实数的值解:是偶函数,恒成立,即恒成立,恒成立,即例5.已知函数,若,求的值。解:方法一:由题意得 得,方法二:构造函数,则一定是奇函数,又 因此 所以,即例6设定义在2,2上的偶函数在区间0,2上单调递减,若,求实数的取值范围答案: 例7.设函数对任意,都有,且时,。(1)求证:是奇函数;(2)判断的单调性并证明;(3)试问当时是否有最值?如果有,求出最值;如果没有说出理由。四【
5、过关精练】一.选择题1.已知是定义在R上的奇函数,则( D )A. B.C. D.2.如果偶函数在区间上是减函数,且最大值为7,那么在区间上是( B )A.增函数且最小值为-7 B.增函数且最大值为7C.减函数且最小值为-7 D.减函数且最大值为73.函数是定义在区间上的偶函数,且,则下列各式一定成立的是( C )A. B. C. D.4.下列函数中不是偶函数的是(D )A. B. C. D.5.已知函数为偶函数,其图像与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是( A )A.0 B.1 C.2 D.4二.填空题6.已知函数为奇函数,若,则1 7.若是偶函数,则的单调增区间是 8.设是定义在上的奇函数,且时,=,则_-5_9.若在上是奇函数,且,则_>_三.解答题10.用定义判断函数 的奇偶性。11.已知函数在区间上是奇函数,函数在区间上是偶函数,求证:是奇函数12.已知分段函数是奇函数,当时的解析式为,求这个函数在区间上的
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