第十七章 变分法

1、 从前面的定解问题的解法中，我们容易想到由于边界形从前面的定解问题的解法中，我们容易想到由于边界形状较为复杂，或由于泛定方程较为复杂，或由于其它各种条状较为复杂，或由于泛定方程较为复杂，或由于其它各种条件发生变化，将使得定解问题难以严格解出，因此又发展了件发生变化，将使得定解问题难以严格解出，因此又发展了一些切实可用的近似方法，通过本章的学习我们会看到近似一些切实可用的近似方法，通过本章的学习我们会看到近似解的价值一点也不低于严格解的价值事实上，我们应该已解的价值一点也不低于严格解的价值事实上，我们应该已经注意到，从推导数学物理方程时难免要作一些简化假定，经注意到，从推导数学物理方程时难免要作

2、一些简化假定，定解条件本身也带有或多或少的近似性，前面所谓的严格解定解条件本身也带有或多或少的近似性，前面所谓的严格解其实也是某种程度的近似其实也是某种程度的近似 如果某个定解问题不能严格解出，但另一个与它差如果某个定解问题不能严格解出，但另一个与它差别甚微的定解问题能严格解出，那么就可以运用别甚微的定解问题能严格解出，那么就可以运用微扰法微扰法求近似解求近似解量子力学教科书中一般都要介绍微扰法，限量子力学教科书中一般都要介绍微扰法，限于篇幅，本书就不再重复介绍于篇幅，本书就不再重复介绍近似解法涉及：变分法，有限差分法和模拟法等近似解法涉及：变分法，有限差分法和模拟法等 变分法变分法是研究求解

3、泛函极值（极大或极小）的方法，是研究求解泛函极值（极大或极小）的方法，变分问题即是变分问题即是求泛函的极值问题求泛函的极值问题把定解问题转化为把定解问题转化为变分问题变分问题，再求变分问题的解，再求变分问题的解变分法的优点变分法的优点: (2) 变分法易于变分法易于实现数学的统一化实现数学的统一化因为一般而言，因为一般而言，数学物理方程的定解问题都可以转化为变分问题尤数学物理方程的定解问题都可以转化为变分问题尤其是前面介绍的斯特姆刘维尔本征值问题可转化为其是前面介绍的斯特姆刘维尔本征值问题可转化为变分问题，变分法提供了施刘型本征值问题的本征变分问题，变分法提供了施刘型本征值问题的本征函数系的完

4、备性等结论的证明；函数系的完备性等结论的证明；(1) 变分法在物理上可以变分法在物理上可以归纳定律归纳定律因为几乎所有的因为几乎所有的自然定律都能用变分原理的形式予以表达；自然定律都能用变分原理的形式予以表达；(3) 变分法变分法是解数学物理定解问题常用的近似方法，是解数学物理定解问题常用的近似方法，其其基本思想基本思想是是把数学物理定解问题转化为变分问题把数学物理定解问题转化为变分问题由直接解变分问题发展了一些近似解法，其中最有用由直接解变分问题发展了一些近似解法，其中最有用的是的是里茨里茨 （Ritz）法）法 由于里茨法中的试探函数的由于里茨法中的试探函数的选取较为麻烦，计算系数矩阵也十分

5、困难，随着计算选取较为麻烦，计算系数矩阵也十分困难，随着计算机的展，又迅速发展了一种有限元法；机的展，又迅速发展了一种有限元法； (4) 变分法的应用变分法的应用不仅在经典物理和工程技术域，不仅在经典物理和工程技术域，而且在现代量子场论，现代控制理论和现代信息理论而且在现代量子场论，现代控制理论和现代信息理论等高技术领域都有十分广泛的应用等高技术领域都有十分广泛的应用有限差分法有限差分法：有限差分法把定解问题转化为代数方程，：有限差分法把定解问题转化为代数方程， 然后通过电子计算机求定解问题的数值解然后通过电子计算机求定解问题的数值解模拟法模拟法：即用一定的物理模型来模拟所研究的定解问题，：即

6、用一定的物理模型来模拟所研究的定解问题， 而在模型上实测解的数值而在模型上实测解的数值 变分法变分法是这些方法中最为重要和切实有效的方法，是这些方法中最为重要和切实有效的方法，已经广泛应用于科学研究和工程计算之中，限于篇幅故已经广泛应用于科学研究和工程计算之中，限于篇幅故本书主要详细介绍经典变分法的基本概念和理论本书主要详细介绍经典变分法的基本概念和理论定义定义17.1.1 变分法变分法 变分问题变分问题 变分法变分法就是求泛函极值的方法就是求泛函极值的方法变分问题变分问题即是求即是求泛函的极值问题泛函的极值问题17.1.1泛函泛函 变分法研究的对象是变分法研究的对象是泛函泛函，泛函是函数概念

7、的推广，泛函是函数概念的推广为了说明泛函概念先看一个例题：为了说明泛函概念先看一个例题： 考虑著名的考虑著名的最速降线落径问题最速降线落径问题。如图。如图17.1 所示，所示， 已知已知A和和B为不在同一铅垂线和不同高度的两点，要求为不在同一铅垂线和不同高度的两点，要求找出找出A、B间的这样一条曲线，当一质点在重力作用下沿间的这样一条曲线，当一质点在重力作用下沿这条曲线无摩擦地从这条曲线无摩擦地从A滑到滑到B时，所需的时间时，所需的时间T最小最小 y x A B(x,y) 图 19.1 图图17.1我们知道，此时质点的我们知道，此时质点的速度是速度是 d2dsgyt因此从因此从 A滑到滑到B所

8、需的所需的时间为时间为21+ddd22BAtBBtAAysTtxgygy即为即为21+ ( )d2BAyT y xxgy （17.1.1）yxT( )y x( )y x ( )T y x式中式中 代表对代表对求一阶导数求一阶导数 我们称上述的我们称上述的为为的的泛函泛函，而称，而称为可取的函数类，为泛函为可取的函数类，为泛函的的定义域定义域。简单地说，。简单地说，泛函就是函数的函数泛函就是函数的函数（不是复合函数（不是复合函数的那种含义）的那种含义）一般来说，设一般来说，设C是是函数的集合函数的集合，B是是实数或复数的集合实数或复数的集合， 如果对于如果对于C的任一元素的任一元素 ( )y x

9、在在B中都有一个元素中都有一个元素J与之对应，与之对应， J( )y x ( )JJ y x则称则称为为的的泛函泛函，记为，记为 必须注意，必须注意，泛函不同于通常讲的函数泛函不同于通常讲的函数决定决定通常函数值的因素是自变量的通常函数值的因素是自变量的取值取值，而决定泛函的值，而决定泛函的值的因素则是函数的的因素则是函数的取形取形如上面例子中的泛函如上面例子中的泛函T的变化的变化是由函数是由函数 ( )y xx本身的变化（即从本身的变化（即从A到到B的不同曲线）的不同曲线）值，也不取决值，也不取决所引起的它的值既不取决于某一个所引起的它的值既不取决于某一个于某一个于某一个 yyx值，而是取决

10、于整个集合值，而是取决于整个集合C中中与与的函数关系的函数关系定义定义17.1.2泛函泛函 泛函的核泛函的核 泛函通常以泛函通常以积分形式积分形式出现，比如上面描述的最速降线出现，比如上面描述的最速降线落径问题的式（落径问题的式（17.1.1）更为一般而又典型的泛函定义为）更为一般而又典型的泛函定义为 ( )( , ,)dbaJ y xF x y yx (17.1.2)其中其中 ( , ,)F x y y称为称为泛函的核泛函的核17.1.2泛函的极值泛函的极值变分法变分法对于不同的自变量函数对于不同的自变量函数 ( )y x，与此相应的泛函，与此相应的泛函 ( )J y x也有不同的数值找出一

11、个确定的自变量函数也有不同的数值找出一个确定的自变量函数 ( )y x，使泛函，使泛函 ( )J y x 具有极值（极小或极大），这种泛函的极小值与极大具有极值（极小或极大），这种泛函的极小值与极大值统称为值统称为泛函的极值泛函的极值引入泛函的概念后，对于上述的最速降线落径问题变引入泛函的概念后，对于上述的最速降线落径问题变 ( )J y x为泛函为泛函的极小值问题物理学中常见的有光学的极小值问题物理学中常见的有光学中的中的费马费马(Fermat)原理原理，分析力学中的，分析力学中的哈密顿哈密顿(Hamiton)原理原理等，都是泛函的极值问题等，都是泛函的极值问题定义定义17.1.3 变分法变

12、分法：所谓的变分法：所谓的变分法就是求泛函极值的方法就是求泛函极值的方法研究泛函极值问题的方法可以归为两类：一类叫研究泛函极值问题的方法可以归为两类：一类叫直接法直接法， 即即直接分析所提出的问题直接分析所提出的问题；另一类叫；另一类叫间接法间接法，即把，即把问题问题转化为求解微分方程转化为求解微分方程为讨论间接方法，先介绍变分和泛为讨论间接方法，先介绍变分和泛函的变分函的变分17.1.3 变分变分 定义定义 17.1.4 变分变分 如果我们将泛函取极值时的函数（或函数曲线）定义为如果我们将泛函取极值时的函数（或函数曲线）定义为 ( );y x并定义与函数曲线并定义与函数曲线 ( )y x邻近

13、的曲线（或略为变形的邻近的曲线（或略为变形的曲线）作为比较曲线，记为曲线）作为比较曲线，记为( , )( )( )y xy xx其中其中 是一个小参数；是一个小参数； ( )x是一个具有二阶导数的任意是一个具有二阶导数的任意选定函数，规定选定函数，规定 它在一个小范围内变化，这限制主要保证泛它在一个小范围内变化，这限制主要保证泛函在极值处连续在研究泛函极值时，通常将函在极值处连续在研究泛函极值时，通常将 ( )x固定，固定，而令而令变化，这样规定的变化，这样规定的好处好处在于：建立了由参数在于：建立了由参数 到泛函到泛函 ( )J y x值之间的对应关系，因此泛函值之间的对应关系，因此泛函 (

14、 )J y x就成为了参数就成为了参数 的普通函数原来泛函的极值问题就成为的普通函数原来泛函的极值问题就成为普通函数对普通函数对 的求极值的问题同时，函数曲线的求极值的问题同时，函数曲线 ( )y x的的变分定义变分定义为为0( , )|( )dyy xx(17.1.3)因此可得因此可得 ( )dyx(17.1.4)这里这里 ,y代表对代表对x求一阶导数求一阶导数 所以所以 ddyyx(17.1.5)即变分和微分可以交换次序即变分和微分可以交换次序 17.1.4 泛函的变分泛函的变分定义定义 17.1.5 泛函的变分泛函的变分 泛函的增量泛函的增量 变分问题变分问题泛函的变分定义为泛函的变分定

15、义为()dbaFFJyyxyy (17.1.6)在极值曲线在极值曲线 ( )y x附近，附近，泛函泛函 ( )J y x的增量的增量，定义为，定义为 ( , ) ( )JJ y xJ y x (17.1.7)依照上述约定，当依照上述约定，当 0时，泛函增量时，泛函增量 J的线性的线性主要部分定义为主要部分定义为泛函的变分泛函的变分，记为，记为 0|dJJ (17.1.8) 在求一元或多元函数的极值时，微分起了很大的作用；在求一元或多元函数的极值时，微分起了很大的作用；同样在研究泛函极值问题时，变分起着类似微分的作用因同样在研究泛函极值问题时，变分起着类似微分的作用因此，通常称泛函极值问题为此，

16、通常称泛函极值问题为变分问题变分问题；称求泛函极值的称求泛函极值的方法为变分法方法为变分法例例 17.1.1 计算泛函的变分计算泛函的变分【解】【解】 1721 ( )()dJ y xy exyx1172711111771111111 ( )()d(2)dd 2dd2d|d 2dJ y xyexyxxy y eyxxy y xey xxy y x eyxxy y x注意：注意：最后一步利用了一般在边界上函数变分为零的事实，即最后一步利用了一般在边界上函数变分为零的事实，即 711|0ey192 泛函的极值泛函的极值 泛函的极值问题，一般来说是比较复杂的因为它泛函的极值问题，一般来说是比较复杂的

17、因为它与泛函包含的自变量个数，未知函数的个数以及函数导与泛函包含的自变量个数，未知函数的个数以及函数导数的阶数等相关另外，在求泛函极值时，有的还要加数的阶数等相关另外，在求泛函极值时，有的还要加约束条件，且约束条件的类型也有不同，等等下面我约束条件，且约束条件的类型也有不同，等等下面我们首先讨论泛函的极值的们首先讨论泛函的极值的必要条件必要条件 17.2.1 泛函的极值的必要条件泛函的极值的必要条件欧拉拉格朗日方程欧拉拉格朗日方程 设设 ( )J y x的极值问题有解的极值问题有解( )yy x（17.2.1） 现在推导这个解所满足的现在推导这个解所满足的常微分方程常微分方程，这是用，这是用间

18、接法间接法研究泛函极值问题的重要一环研究泛函极值问题的重要一环设想这个解有变分设想这个解有变分 ( )x则则 ( )( )J y xx可视为参数可视为参数 的函数的函数 ( ) ( )( ).J y xx而当而当 0时，时， ( )( )( )y xxy x对应于式对应于式(17.2.1),即为即为 ( )( )J y xx取极值于是原来的泛函极值取极值于是原来的泛函极值问题，就化为一个求普通函数问题，就化为一个求普通函数 ( )的极值问题由函数的极值问题由函数取取极值的必要条件极值的必要条件，有，有0d|0d即有即有 0|0J（17.2.2） 1.泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数泛

19、函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数的积分形式的积分形式泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数的积分形式，泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数的积分形式， 即（即（17.1.2） ( )( , ,)baJ y xF x y y dx若考虑两端固定边界的泛函问题若考虑两端固定边界的泛函问题：积分是在区域内通过两点积分是在区域内通过两点 1122(,),(,)x yxy的任意曲线进行的，其中的任意曲线进行的，其中 12,xa xb泛函中泛函中 y为为( , )( )( )y xy xx由于由于两端固定两端固定，所以要求，所以要求 ( )0, ( )0ab，即，即 |0,|0 x ax

20、 byy由由(17.1.8)，有，有 0 ( )( )|d ( )d( )d d dbabaJ y xxJFFxxxyyFFyyxyy（17.2.3） 式式(17.2.3)的积分号下既有的积分号下既有 y，又有，又有 y，对第二项，对第二项应用分部积分法可使积分号下出现应用分部积分法可使积分号下出现yd|()ddbbaaFFFJyy xyyxy(17.2.4)根据（根据（17.2.2）,所以所以 0|0JJd ,再根据再根据（17.2.4）故有故有d|()d0dbbaaFFFJyy xyyxy（17.2.5） 因为因为 |0,|0 x ax byy并且并且 y是任意的，所以是任意的，所以 d(

21、)0dFFyxy (17.2.6) 上式上式(17.2.6)称为称为欧拉（欧拉（Euler）拉格朗日（）拉格朗日（Lagrange）方程，简称为方程，简称为E-L方程方程 此即泛函取极值的必要条件即泛函此即泛函取极值的必要条件即泛函 J的极值函数的极值函数 ( )y x必须是满足泛函的变分必须是满足泛函的变分 0J的函数类的函数类 ( )y x因此，因此， 把泛函的极值问题称为变分问题把泛函的极值问题称为变分问题 注明注明：E-L方程是泛函取极值的必要条件，而不是充分条件方程是泛函取极值的必要条件，而不是充分条件如果讨论充分条件，则要计算二阶变分，并考虑其正、负值如果讨论充分条件，则要计算二阶

22、变分，并考虑其正、负值,但对但对于实际问题中，当泛函具有明确的物理涵义，极值的存在性往往于实际问题中，当泛函具有明确的物理涵义，极值的存在性往往间接地在问题的提法中就可以肯定，所以极值的存在性是不成问间接地在问题的提法中就可以肯定，所以极值的存在性是不成问题的，只要解出题的，只要解出E-L方程，就可以得到方程，就可以得到泛函的极值泛函的极值E-L方程除了上面给出的形式方程除了上面给出的形式(17.2.6)之外之外，另外还有四种特殊情况：另外还有四种特殊情况：(1) F不显含不显含 x( ,),FF y y且且 0Fx因为因为ddd()()()dddFFFFFFFyyyxyxyxyyxy若若 0

23、,y E-L方程等价于方程等价于 FFycy （17.2.7）(2) F不依赖于不依赖于 y( ,),FF x y且且 0Fy则则E-L方程化为方程化为d()0, dFFcxyy （17.2.8）(3) F不依赖于不依赖于 y( , ),FF x y且且 0Fy则则E-L方程化为方程化为0Fy（17.2.9）由此可见由此可见 F仅为仅为 x的函数的函数 (4) F关于关于 y是线性的：是线性的： ( , ,)( , )( , )F x y yf x yg x y y则则E-L方程化为方程化为0fgyx （17.2.10） 对于含有一个自变量，多个变量函数，以及有较高阶变量对于含有一个自变量，多

24、个变量函数，以及有较高阶变量函数导数的泛函，类似上面的推导可得如下结论：函数导数的泛函，类似上面的推导可得如下结论：2. 泛函表示为多个函数的积分形式泛函表示为多个函数的积分形式1122 ( )( ,)dbnnaJ y xF x y y yyyyx|0, |=0 (1,2, )ix aix byyin则与此泛函极值问题相应的则与此泛函极值问题相应的E-L方程为方程为d()0 (1,2, )diiFFinyxy（17.2.11）3. 泛函的积分形式中含有高阶导数泛函的积分形式中含有高阶导数( ) ( )( , ,)dbnaJ y xF x y y yyx(1)( )( )( )0ny ay ay

25、 a(1)( )( )( )0ny by by b与此泛函极值问题相应的与此泛函极值问题相应的E-L方程为方程为22( )ddd()()( 1)()0dddnnnnFFFFyxyxyxy （17.2.12）4.泛函的积分形式中含有多元函数泛函的积分形式中含有多元函数( , )u x y, x y设设为为的二元函数，则的二元函数，则22111212( , , ,)d d( , )(, )( ,)( ,)0 xyxyxyJF x y u u ux yu x yu xyu x yu x y 与此泛函极值问题相应的与此泛函极值问题相应的E-L方程为方程为()()0 xyFFFuxuyu（17.2.13

26、）例例17.2.1 试求解最速降线落径问题，即变分问题试求解最速降线落径问题，即变分问题21d02BAyxgy【解】解】目前，我们只能用间接方法来求解，由于目前，我们只能用间接方法来求解，由于212yFgy不显含不显含 x，故其故其E-L方程为（方程为（17.2.7）式）式0221122yyFFyygycyygy令令 02cgc，故有，故有 221(1)yyc令令 121cc，分离变量得到，分离变量得到1dd ycyxy再令再令 12sin2cy，代入上式得到，代入上式得到112dsind(1cos )d22cxc即得到即得到121(sin)2(1c o s2)cccxy此即为摆线的参数方程，

27、积分常数可由初始位置此即为摆线的参数方程，积分常数可由初始位置 （图（图17.1的的A,B两点）决定两点）决定19.2.2泛函的条件极值问题泛函的条件极值问题 在许多泛函的极值问题中，变量函数还受到一些附加条件在许多泛函的极值问题中，变量函数还受到一些附加条件的限制，其中最常见和重要的一种是以的限制，其中最常见和重要的一种是以积分形式表示的限制积分形式表示的限制条件条件( , ,)dbaG x y yxl （17.2.14）即所谓的即所谓的等周问题等周问题：01 ( )( , ,)d , ( ), ( )( , ,)d babaJ y xF x y yxy ayy byG x y yxl (1

28、7.2.15) （注：这种问题之所以称为等周问题，是因为在历史上起源注：这种问题之所以称为等周问题，是因为在历史上起源于求一条通过两点，长度固定为于求一条通过两点，长度固定为l的曲线的曲线 ( ),y x使面积使面积 ( )dbaSy xx取极大值）取极大值）其中其中 01,l yy为常数此类问题可以仿照普通函数的为常数此类问题可以仿照普通函数的条件极值问题的拉格朗日乘子法即将附加条件条件极值问题的拉格朗日乘子法即将附加条件(17.2.14)乘以乘以参数，求其变分后，加到泛函取极值的必要条件中得到参数，求其变分后，加到泛函取极值的必要条件中得到 ( ; ,)( ; ,)d0baF x y yG

29、 x y yx于是问题转化为不带条件的由上式所表示的变分问题于是问题转化为不带条件的由上式所表示的变分问题 其对应的其对应的E-L方程为方程为d()0dFGFGyyxyy这是通过这是通过 a和和 b两点的两点的 ( )y x之下使之下使泛函取极值的必要条件泛函取极值的必要条件它实际上是一个关于它实际上是一个关于 在在附加条件（附加条件（17.2.14）( )y x的二阶常微分方程其通解中含有三个参数，即的二阶常微分方程其通解中含有三个参数，即和两个积分和两个积分常数它们可由条件常数它们可由条件 01( ), ( )y ayy by（17.2.14）来确定）来确定 .和附加条件和附加条件 例例1

30、7.2.2 求求 120 ( )() dJ y xyx的极值，其中的极值，其中 y是归一化的，即是归一化的，即 120d1yx ，且已知，且已知 (0)0, (1)0.yy【解】解】本题是求泛函的条件极值问题，可化为变分问题本题是求泛函的条件极值问题，可化为变分问题1220()d0yyx 对应的对应的E-L方程为方程为0yy其通解为其通解为cossin (0)yAxBx代入附加条件代入附加条件 (0)0, (1)0.yy得到得到( )sin( ) (1,2,)nnyxcn xn代入归一化条件得到代入归一化条件得到1220sin ( )d1ncn x x 于是得到于是得到 2nc ，故原极值问题

31、的解为，故原极值问题的解为2sin( )nyn x 而题中要求的泛函而题中要求的泛函 120() dyx的极值为的极值为12222202 cos ( )dnn xxn当当 1n 时，极值函数时，极值函数 1( )2siny xx 使得泛函数取得最小值使得泛函数取得最小值 2例例17.2.3 求泛函求泛函 20 (2 cos )dJ yyyxx在条件在条件 (0)0, ()0yy下的极值曲线下的极值曲线.【解】【解】 此时此时 xyyyyxFcos2),(2 ,则偏导数则偏导数 yFxFyy2,cos2.对应的对应的Euler方程为方程为0cos xy其通解为其通解为 21cosCxCxy,代入

32、边界条件可得代入边界条件可得 12C 12C,所以所以极值曲线为极值曲线为 2cos1yxx泛函极值问题的求解泛函极值问题的求解,通常有两种结果：通常有两种结果：（i）解析解）解析解 由变分法得到的由变分法得到的E-L方程求解，一般来说，是很困难的方程求解，一般来说，是很困难的但在分析力学中往往还是采用这一办法来求解因为历史悠但在分析力学中往往还是采用这一办法来求解因为历史悠久，它自有一套办法久，它自有一套办法（ii）近似解）近似解 所谓近似解即由泛函本身出发，而不需求解所谓近似解即由泛函本身出发，而不需求解E-L方程，方程，直接求得所需要的解直接求得所需要的解极值曲线极值曲线 ( )y x因此，常常称它为研究泛函极值问题的直接法因此，常常称它为研究泛函极值问题的直接法 下面我们以