复变函数与积分变换重要知识点归纳

1、复变函数复习重点（一）复数的概念1 .复数的概念：zXiy,X,y是实数，xRez,yImz.i2i.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小2 .复数的表示1)模:2）幅角：在z。时，矢量与X轴正向的夹角，记为Argz（多值函数）；主值argz是位于（，中的幅角3)argz与arct吗之间的关系如下:当x0,argzarctan-；X4)5)y当x 0, y0,arg z0,arg z二角表示：z指数表示：zy arctan-x,y arctan-xcos isinzei ,其中arg z oargz;注：中间一定是 “+”（二）复数的运算1.加减法：若 zi Xi iyi,z2

2、X2。,X2i y1V23 .乘除法：1)若4Xiiy1,z2WzXiX2y1y2i X2yi乂佻；ziXiiyiz2X2iy2xiiyiX2iy2 陷yy222X2iy2X2iy2X2y2i yX2y2Xii 22oX2y2精品2)若zz1z2, 一z2乙z2感谢下载载4 .乘哥与方根1 ) 若 z z (cosi sinzeinz (cosnisinn ) zn en。2) 若 z z (cosi sinzeinz1n cos2k ni sin n” (k 0,1,2L n 1)(有n个相异的值)（三）复变函数1 .复变函数：wfz,在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个

3、点集G的映射.2 .复初等函数在z平面处处可导，处处解析;1)指数函数：ezexcosyisiny,J=Lezezo注：ez是以2 i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）3） 对数函数:Lnz ln z i (argz2k ) (k 0, 1, 2L )(多值函数)；主值：lnz ln ziargz。（单值函数）Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且lnz注：负复数也有对数存在（与实函数不同）3）乘号与哥函数:b bLnab bLnza e (a 0) z e(z 0)注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且b, b 1zbz oiz4）三角函数：sin z

4、 iziz izee e , sin z , cosz,cosz ,t gz ,ctgz 2i2cosz sin zsin z,cos z在z平面内解析，且sin z cos z, coszsin z注：有界性sinz1,cosz1不再成立；（与实函数不同）zzzz4） 双曲函数shz-,chz-；22shz奇函数，chz是偶函数。shz,chz在z平面内解析，且shzchz,chzshz。（四）解析函数的概念1 .复变函数的导数1）点可导：fzo=如0fz0zzfz0；2）区域可导：fz在区域内点点可导。2 .解析函数的概念1）点解析：fz在zo及其zo的邻域内可导，称fz在zo点解析；2）

5、区域解析：fz在区域内每一点解析，称fz在区域内解析；3）若f（z）在zo点不解析，称zo为fz的奇点；3 .解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1 .函数可导的充要条件：fzux,yivx,y在zxiy可导ux,y和vx,y在x,y可微，且在x,y处满足CD条件：此时，有fz2 .函数解析的充要条件：fzux,yivx,y在区域内解析ux,y和vx,y在x,y在D内可微，且满足CD条件：uvuv,xyyx此时fz-i-oxx注意：若ux,y,vx,y在区域D具有一阶连续偏导数，则ux,y,v

6、x,y在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足CR条件时，函数f（z）uiv一定是可导或解析的。3 .函数可导与解析的判别方法1）利用定义（题目要求用定义，如第二章习题1）2）利用充要条件（函数以fzux,yivx,y形式给由，如第二章习题2）3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数fz是以z的形式给由，如第二章习题3）（六）复变函数积分的概念与性质n1 .复变函数积分的概念：cfzdzlimfkzk,c是光滑曲线。cIIk1注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。2 .复变函数积分的性质1） cfzdzc1fzdz（c1与c的方向相反）；2）

7、 fzgzdzfzdzgzdz,是常数；ccc3） 若曲线c由G与C2连接而成，则fzdzfzdzfzdz。c5C23.复变函数积分的一般计算法1)化为线积分：fzdzudxvdyivdxudy;(常用于理论证明)ccc/2)参数方法：设曲线c：zzt(t),其中对应曲线c的起点，对应曲线曲勺终点，则cfzdzfztz(t)dt。(七)关于复变函数积分的重要定理与结论1 .柯西一古萨基本定理：设fz在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，则?fzdz0c2 .复合闭路定理：设fz在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲线，ciC,Lcn是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以ci,c2

8、,Lcn为边界的区域全含于D内，则n？fzdz?fzdz,其中c与ck均取正向；ck1ck？fzdz0,其中由c及c1(k1,2,Ln)所组成的复合闭路。3 .闭路变形原理：一个在区域D内的解析函数fz沿闭曲线c的积分，不因c在D内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使fz不解析的奇点。4 .解析函数沿非闭曲线的积分：设fz在单连域B内解析，Gz、上，r一次一一,一zz2为fz在B内的一个原函数，则fzdzGz2G4(zi,z2B),Zi说明：解析函数fz沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求由原函数即可。5。柯西积分公式：设fz在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，c

9、的内部完全属于D,Z0为c内任意一点，则fz2zTdz2ifz0zz06.高阶导数公式：解析函数f z的导数仍为解析函数，它的 n阶导数为? f Z 1dz 2-i f n ?c(z z)n1n!z (n 1,2L)其中c为f z的解析区域D内围绕zo的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全属于7 .重要结论:1 d 2 i,?Edzc (z a)0,:;。（c是包含a的任意正向简单闭曲8 .复变函数积分的计算方法1）若fz在区域D内处处不解析，用一般积分法cfzdzfztztdt2）设fz在区域D内解析，c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西一古萨定理，？cfzdz0c是D内的一条非闭曲线，

10、乙2对应曲线c的起点和终点，则有z2fzdzfzdzFz2Fz1cz13）设fz在区域D内不解析曲线c内仅有一个奇点f z?dz 2 i f z0c z Zof z?(z Zo)nydz（f（z）在c内解析）Zon曲线c内有多于一个奇点：？fZdz?fzdz（g内只有一个奇c点Zk)n或：？fzdz2iResf(z),Zk(留数基本定理)ck1若被积函数不能表示成,则须改用第五章留数定理来计(ZZo)算。(八)解析函数与调和函数的关系1 .调和函数的概念：若二元实函数(x,y)在D内有二阶连续偏导数22且满足0,xy(x,y)为D内的调和函数。2 .解析函数与调和函数的关系解析函数fZuiv的

11、实部u与虚部v都是调和函数，并称虚部v为实部u的共辗调和函数。两个调和函数u与v构成的函数f(Z)uiv不一定是解析函数；但是若u,v如果满足柯西一黎曼方程，则uiv一定是解析函数。3 .已知解析函数fZ的实部或虚部，求解析函数fZuiv的方法。1)偏微分法：若已知实部uux,y,利用CR条件，得,；xy对,上两边积分，得vdygx(*)yxx再对(*)式两边对x求偏导，得dygx(*)xxx由CR条件，-u,得-u-udygx,可求由gx;yxyxx代入（*）式，可求得虚部v-dygxox2）线积分法：若已知实部uux,y,利用CR条件可得,v.v,u,u.dvdxdydxdyxyyx故虚部

12、为v二-udxdyc；xo，y0yx由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中xo，yo与x,y是解析区域中的两点。3）不定积分法：若已知实部uux,y,根据解析函数的导数公式和CR条件得知，工u.vu.ufziixyxy将此式右端表示成z的函数Uz,由于fz仍为解析函数，故fZuzdzc（c为实常数）注：若已知虚部v也可用类似方法求生实部u.（九）复数项级数1 .复数列的极限1）复数列nanibn（n1,2L）收敛于复数abi的充要条件为limana,limbnb（同时成立）nnnn2）复数列n收敛实数列an,bn同时收敛。2 .复数项级数1）复数项级数n（nanO）收敛的充

13、要条件是级数烝与4同n0n0n0时收敛；2）级数收敛的必要条件是nimn0。注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。（十）哥级数的敛散性1 .哥级数的概念：表达式Cn（ZZo）n或CnZn为哥级数n0n02 .哥级数的敛散性1）哥级数的收敛定理一阿贝尔定理（Abel）:如果哥级数gzn在n0Z00处收敛，那么对满足z的一切Z,该级数绝对收敛；如果在Z0处发散，那么对满足|z闻的一切Z,级数必发散。2）哥级数的收敛域一圆域事级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。比值法如果nimIcn

14、rl0,则收敛半径R-；根值法”m国0,则收敛半径R1；如果0,则R；说明在整个复平面上处处收敛；如果，则R0;说明仅在zz。或z。点收敛；注：若事级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。（如cnz2n）n03.哥级数的性质1）代数性质：设anzn,bnzn的收敛半径分别为Ri与R2,记n0n0则当zR时，有（线性运算）n_nn(anbn)zanZbnZn0n0n0(anZn)( bnZn)n 0n 0(anb。 an A Ln 0abn)zn（乘积运算）2)复合性质：设当| | r时，fann,当|zR时,n 0且 |g z I r ,则当 z R时，fg Z ang z n on 0g

15、z解析3）分析运算性质：设备级数anzn的收敛半径为R 0, n 0其和函数f zanzn是收敛圆内的解析函数;n 0在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且f zn 1nanzn 0在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变;zf z dz0an n 1zn 0 n 1zR（十一）哥函数的泰勒展开1.泰勒展开：设函数fz在圆域|zzR内解析，则在此圆域内n7一一fz可以展开成哥级数fzzzn；并且此展开式是唯n0n!一的。注：若fz在z0解析，则fz在z0的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径Rza;其中R为从z0到fz的距z0最近一个奇点a之间的距离。2.常用函数在Z00的泰勒展开式1)2z2!3-L3!

16、n!2)3)sinz1)0(2n1)!2n1z3z3!5z5!(1)2n1z(2n1)!4)cosz工前10(2n)!2z2!4z4!(2n)!3.解析函数展开成泰勒级数的方法1)直接法：直接求由cn9nz0，于是nzZo。2)间接法：利用已知函数的泰勒展开式及哥级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。（十二）事函数的洛朗展开1.洛朗级数的概念:cnZZon,含正曷项和负曷项。n2.洛朗展开定理：设函数fz在圆环域RzzoR2内处处解析,c为圆环域内绕z的任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆环域内，有fzcnzZ0n,且展开式唯3.解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间

17、接法展开。*4.利用洛朗级数求围线积分：设fz在rzzozz0R内解析，c为R内的任何一条正向简单闭曲线，则2fzdz2ic1。具中c1为f(z)在rzzoR内洛朗展开式中六的系数。说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中(z4)1的系数。（十三）孤立奇点的概念与分类1O孤立奇点的定义：fz在Z0点不解析，但在Z0的0|zZo内解析。2。孤立奇点的类型：1）可去奇点：展开式中不含ZZ0的负事项；2fZC0GZZ0C2zZoLc mC (m 1)mm 1(Z Z0)(Z Z0)g Z m , (Z Z0)2）极点：展开式中含有限项ZZ0的负事项;C12C0C1(ZZ0)C2(ZZ0)L(Z

18、Z0)其中gZcmC(m1)(ZZ0)LC(Z4)m1Q(Z4)mL在Z0解析,ILgZ00,m1,cm0;3）本性奇点：展开式中含无穷多项ZZ0的负事项;fZ L%L言C0 C1(Z Z0) L Cm(Z Z0)m L（十四）孤立奇点的判别方法1 .可去奇点：limfzC0常数；Zz02 .极点：limfzZz03 .本性奇点：limfz不存在且不为。Zz04 .零点与极点的关系1）零点的概念：不恒为零的解析函数fz,如果能表示成fZ（ZZ0）mZ,其中z在Z0解析，Z00,m为正整数，称Z0为fz的m级零点;2）零点级数判别的充要条件zo是f z的m级零点fnZo0,(n1,2,Lm1)m

19、fZ03)零点与极点的关系：Z0是fZ的m级零点Zo是:的m级极点;fz4)重要结论若za分别是Z与Z的m级与n级零点，则za是zgz的mn级零点；当mn时，za是的mn级零点；z当mn时za是一z的nm级极点；z当mn时za是一J的可去奇点；z当mn时，za是zz的l级零点，lmin(m,n)当mn时，za是zz的l级零点，其中lm(n)(十五)留数的概念1.留数的定义：设Z0为fZ的孤立奇点，fZ在Zo的去心邻域0ZZ0|内解析，c为该域内包含Z0的任一正向简单闭曲线，则称积分,?fZdz为fZ在Z0的留数(或残留)，记作2i.c1.Resfz,zqfzdz02i?c2.留数的计算方法若Z

20、0是fz的孤立奇点，则Resfz,z0c1,其中ci为fz在Z0的去心邻域内洛朗展开式中(ZZ0)1的系数。1)可去奇点处的留数：若Z0是fZ的可去奇点，则Resfz,z002)m级极点处的留数法则I若zo是fz的m级极点，则Resf z 41(m 1)!m 1dlimmi(zz z0 dzm rzo) f特别地，若zo是fz的一级极点，则Resfz,zlim(zz)fz/0zzo注：如果极点的实际级数比m低，上述规则仍然有效。法则II设fzP-z-,Pz,Qz在zo解析，Pzo0,QzPzPzQzoo,Qzoo,贝URes(-,zQzQ4(十六)留数基本定理设fz在区域D内除有限个孤立奇点z

21、izLz外处处解析，c为D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则9fzdz2iResfz,zjcn1说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数fz在c内各孤立奇点处留数的局部问题。积分变换复习提纲、傅里叶变换的概念Ff(t)f(t)ejwtdtF(w)1 1jt_F1F()F()ejtdf(t)2二、几个常用函数的傅里叶变换1Fe(t)-j1Fu(t)()jF(t)1F12()三、傅里叶变换的性质位移性(时域)：Ff(tto)ejWt0Ff(t)位移性(频域)：Fejw0tf(t)F(w)wwwoF(wwo)位移性推论：Fsinwotf(t)pF(wwo)F(wwo)位移性推论：Fco