第六章—水文频率计算

1、6.4 6.4 水文频率计算水文频率计算 正态分布正态分布 分布线性分布线性 皮尔逊皮尔逊型分布型分布 对数正态分布对数正态分布水文频率计算水文频率计算 矩法矩法 参数估计参数估计 适线法适线法 其他方法其他方法6.4.1 6.4.1 线型分布线型分布 6.4.1.1 6.4.1.1 正态分布正态分布 自然界中许多随机变量如水文测量误差、抽自然界中许多随机变量如水文测量误差、抽样误差等一般服从或近似服从正态分布。正态样误差等一般服从或近似服从正态分布。正态分布具有如下形式概率密度分布具有如下形式概率密度 式中式中:为平均数为平均数(总体均值总体均值EX)； 标准差；标准差； e为自然对数的底为

2、自然对数的底222)(21)(axexf 正态分布的密度曲线有以下正态分布的密度曲线有以下3个特点个特点 （1）单峰。）单峰。 （2）关于均值）关于均值对称，即对称，即Cs=0. （3）曲线两端趋于无限，并以）曲线两端趋于无限，并以x轴为渐近线轴为渐近线 正态分布概率密度函数只包括两个参数，即均值正态分布概率密度函数只包括两个参数，即均值和均方差和均方差。因此，若某个随机变量服从正态分布，。因此，若某个随机变量服从正态分布，只要求出只要求出均值均值和均方差和均方差值，则分布便确定。值，则分布便确定。正态分布曲线在正态分布曲线在 处出现拐点。处出现拐点。a 正态分布的密度曲线与正态分布的密度曲线

3、与x轴所围成的面积等轴所围成的面积等1。在。在 区间所对应的面积占全面积的区间所对应的面积占全面积的68.3%， 区间所区间所对应的面积占全面积的对应的面积占全面积的99.7%a3af（x）68.3% 6.4.1.2 6.4.1.2 皮尔逊皮尔逊型分布型分布 皮尔逊皮尔逊型曲线是一条一段有限，一点无限型曲线是一条一段有限，一点无限的不对称单峰曲线，数学上称为伽马分布，器的不对称单峰曲线，数学上称为伽马分布，器概率密度函数为概率密度函数为式中：式中：参数参数，a a0 0为皮尔逊三型分布的形为皮尔逊三型分布的形状、尺度和位置参数，状、尺度和位置参数，0,00,0。)(10)()()(oaxaae

4、axxf)(10)()()(oaxaaeaxxf)21 (;2;402svsvsCCxaCCxC 水文计算中，一般需要求出制定频率水文计算中，一般需要求出制定频率p所对应的所对应的随机变量随机变量xp,这要通过对密度曲线进行积分，求出等这要通过对密度曲线进行积分，求出等于或大于于或大于xp的累积频率的累积频率p值，即值，即 直接由上式计算直接由上式计算P值非常麻烦，实际做法是通过值非常麻烦，实际做法是通过变量转换，根据拟定的变量转换，根据拟定的Cs值进行积分，并将成果制值进行积分，并将成果制成专用表格，从而使计算工作大大简化。成专用表格，从而使计算工作大大简化。 令令 dxxfxxPPPxP)

5、()(v-xEXCEX 则有则有 ?是标准化变量，称为离均系数，是标准化变量，称为离均系数，?的均值为的均值为0，标准差为标准差为1。这样经过标准化变化后在化简可得。这样经过标准化变化后在化简可得 在进行频率计算时，由样本估计出的在进行频率计算时，由样本估计出的Cs值，查值，查?值表得出不同的值表得出不同的P的的?p值，然后利用估计出的值，然后利用估计出的x、Cv值即可求出与各种值即可求出与各种p相应的相应的xp值，从而可绘出频率值，从而可绘出频率曲线。如何求得皮尔逊三型分布曲线的参数曲线。如何求得皮尔逊三型分布曲线的参数 、Cv、Cs是关键。是关键。 )1(xCpEXEXCvddx p),(

6、)(pdCsfPx6.4.2 6.4.2 参数估计参数估计 在概率分布函数中都有一些表示分布特征的在概率分布函数中都有一些表示分布特征的参数，水文频率曲线线型选定之后，为了具体确参数，水文频率曲线线型选定之后，为了具体确定概率分布函数，就得估计出这些参数。由于水定概率分布函数，就得估计出这些参数。由于水文现象的总体通常是无限的，我们无法取得，这文现象的总体通常是无限的，我们无法取得，这就需要用有限的样本观测资料去估计总体分布线就需要用有限的样本观测资料去估计总体分布线型中的参数，故称为参数估计。型中的参数，故称为参数估计。 由样本估计总体的方法有很多，例如矩法、由样本估计总体的方法有很多，例如

7、矩法、概率权重矩法、线性矩法、权函数法即适线法等。概率权重矩法、线性矩法、权函数法即适线法等。一般情况下，这些方法各有各的特点，均可独立一般情况下，这些方法各有各的特点，均可独立使用。我国工程水文中通常采用适线法，而其他使用。我国工程水文中通常采用适线法，而其他方法估计参数，一般作为适线法的初估值。方法估计参数，一般作为适线法的初估值。 6.4.2.16.4.2.1矩法矩法 矩法是用样本矩估计总体矩，并通过矩和参矩法是用样本矩估计总体矩，并通过矩和参数之间的关系，来估计频率曲线参数的一种方法。数之间的关系，来估计频率曲线参数的一种方法。该发计算简单，事先不用选定频率曲线线型，因该发计算简单，事

8、先不用选定频率曲线线型，因此，是频率分析计算常用的办法。此，是频率分析计算常用的办法。 由于各阶原点矩和中心矩都与统计参数之间由于各阶原点矩和中心矩都与统计参数之间有一定的关系。因此，可以用矩来表示参数。有一定的关系。因此，可以用矩来表示参数。 设水机标量设水机标量x的分布函数为的分布函数为F(x)，则，则x的的r阶原点矩阶原点矩和中心矩分别为和中心矩分别为 和和式中式中:f(x)为随机变量为随机变量X的概率密度函数。的概率密度函数。 对于样本，对于样本，r阶样本原点矩阶样本原点矩 和和r阶样本中心矩阶样本中心矩 分别为分别为 r=1,2, r=2,3,. 式中：式中：n为样本容量为样本容量

9、dxxfmr)(xrdxxfxExr)()(rrmrrniinirirxxnxnm)(111_1 样本特征值的数学期望值与总体同一特征值比较样本特征值的数学期望值与总体同一特征值比较接近，如接近，如n n足够大时，其差别更微小。经过证明，样足够大时，其差别更微小。经过证明，样本原点矩本原点矩 的数学期望正好是总体原点矩的数学期望正好是总体原点矩mr, ,但样但样本中心矩本中心矩 的数学期望不是总体的中心矩，把的数学期望不是总体的中心矩，把 经经过修正后，再求其数学期望，则可得到过修正后，再求其数学期望，则可得到 。修正的。修正的数值称为该参数的无偏估计量，然后用它作为参数数值称为该参数的无偏估

10、计量，然后用它作为参数估计值。估计值。rmrrr323221)2)(1()(1)(1nnnEnnExnxnii 用上述无偏估值公式计算出来的参数作为总体参数的用上述无偏估值公式计算出来的参数作为总体参数的估计时，只能说有很多个同容量的样本资料，用上式计估计时，只能说有很多个同容量的样本资料，用上式计算出来的统计参数的均值，可望等于或近似等于相应总算出来的统计参数的均值，可望等于或近似等于相应总体参数。而对于某一个具体的样本，计算出参数可能大体参数。而对于某一个具体的样本，计算出参数可能大于或小于总体参数，两者存在误差。因此，用有限样本于或小于总体参数，两者存在误差。因此，用有限样本资料算出来的

11、统计参数，去估计总体的统计参数总会出资料算出来的统计参数，去估计总体的统计参数总会出现一定的误差，这种随机抽样引起的误差，在统计上称现一定的误差，这种随机抽样引起的误差，在统计上称为统计误差。为统计误差。3321)3()1(1)1(1visivniiCnKCnKCxnx抽样误差抽样误差统计参数的均方误公式：统计参数的均方误公式：4222216523162432124312ssCsvsvvCsxCCnCCCCnCCnnsv6.4.2.2 6.4.2.2 适线法适线法适线法适线法:根据估计的频率分布曲线和样本经验点据分根据估计的频率分布曲线和样本经验点据分布配合最佳来优选参数的方法布配合最佳来优选

12、参数的方法优点优点:层次清楚，方法灵活，操作容易层次清楚，方法灵活，操作容易实质是通过样本的经验分布去探求总体的分布实质是通过样本的经验分布去探求总体的分布适线法适线法:目估适线法、计算机优化适线法目估适线法、计算机优化适线法经验频率曲线经验频率曲线 如图所示的折线经验分布曲线，如消除折线而如图所示的折线经验分布曲线，如消除折线而画成一条光滑的曲线，水文计算中习惯上称为经验画成一条光滑的曲线，水文计算中习惯上称为经验频率曲线，在样本确定的情况下，这条曲线基本上频率曲线，在样本确定的情况下，这条曲线基本上取决于样本中每一项在图上的位置，即每一项的纵、取决于样本中每一项在图上的位置，即每一项的纵、

13、横坐标。经验频率曲线的形状与每一项频率的估算，横坐标。经验频率曲线的形状与每一项频率的估算，关系极为密切。关系极为密切。 x 1200 1000 800 0 20 40 6080100W（%）某地年降雨量经验分布曲线某地年降雨量经验分布曲线年降雨量（年降雨量（mm）经验频率经验频率 经验频率的估算在于对样本序列中的每一项估算其经验频率的估算在于对样本序列中的每一项估算其对应的频率。设一个总体，共有无穷项，我们随机地将对应的频率。设一个总体，共有无穷项，我们随机地将其分成许多个样本（设为其分成许多个样本（设为k个），每个样本都含有个），每个样本都含有n项且项且相互独立。各个样本中的各项可按大小自

14、大而小的次序相互独立。各个样本中的各项可按大小自大而小的次序安排如下。安排如下。 第一个样本第一个样本: 第二个样本第二个样本: 第第 k 个样本个样本: 现在每个样本中取出同序来研究，设取第现在每个样本中取出同序来研究，设取第m项，则有项，则有 *1*1*21*11,.,.,nmxxxx*2*2*22*12,.,.,nmxxxx*2*1,.,.,nkmkkkxxxx*2*1,.,mkmmxxx 其在总体中都有一个对应的出现概率为其在总体中都有一个对应的出现概率为 水文资料只是一个样本，期望它处于平均情水文资料只是一个样本，期望它处于平均情况，即期望样本中第况，即期望样本中第m项的频率是许多样

15、本中通项的频率是许多样本中通序号概率的均值序号概率的均值 当当k 较大时，可以证明较大时，可以证明 上式在水文计算中通常称为期望公式，以此上式在水文计算中通常称为期望公式，以此估计经验频率。估计经验频率。*2*1,.,mkmmPPP).(121mkmmPPPkP1Pnm频率与重现期频率与重现期（1）当研究暴雨洪水时，一般）当研究暴雨洪水时，一般P50%,采用采用PT1PT11 目估适线法目估适线法 目估适线法估计频率曲线参数的具体步骤如下目估适线法估计频率曲线参数的具体步骤如下（1 1）将实测资料由大到小排列，计算各项的经验频）将实测资料由大到小排列，计算各项的经验频率，在频率格纸上点绘经验点

16、据（纵坐标变量取值，率，在频率格纸上点绘经验点据（纵坐标变量取值，横坐标经验频率）横坐标经验频率）（2 2）选定水文频率分布线型（一般选用皮尔逊）选定水文频率分布线型（一般选用皮尔逊型）型）（3 3）假定一组参数）假定一组参数 、CvCv、CsCs。为了使假定值接。为了使假定值接近实际，可用矩法或其他方法求出近实际，可用矩法或其他方法求出3 3个参数的值作为个参数的值作为假定值。当用矩法估计时，假定值。当用矩法估计时，CsCs的误差太大，一般不的误差太大，一般不计算，假定为计算，假定为CvCv的某一倍数的某一倍数x（4 4）根据初估的）根据初估的 、CvCv、CsCs，计算，计算X Xp p值

17、。以值。以为纵坐标，为纵坐标，P P为横坐标，即可得到频率曲线。将为横坐标，即可得到频率曲线。将此线画在绘有经验点据的图上，看与经验点据此线画在绘有经验点据的图上，看与经验点据配合的情况，若不理想，则修改参数（主要调配合的情况，若不理想，则修改参数（主要调整整CvCv以及以及Cs)Cs)再次进行计算。再次进行计算。（5 5）最后根据频率曲线与经验点据的配合情况，）最后根据频率曲线与经验点据的配合情况，从中选择一条鱼经验点据配合较好的曲线作为从中选择一条鱼经验点据配合较好的曲线作为采用曲线。相应于该曲线的参数便看作是总体采用曲线。相应于该曲线的参数便看作是总体参数的估值。参数的估值。x 为避免配

18、线时修改参数的盲目性，需要了为避免配线时修改参数的盲目性，需要了解统计参数对频率曲线的影响解统计参数对频率曲线的影响均值均值对频率曲线的影对频率曲线的影1）当皮尔逊）当皮尔逊型频率型频率曲的两个参数曲的两个参数Cv和和Cs不变时，由于均值不变时，由于均值 的的不同，可以使频率曲不同，可以使频率曲线发生很大的变化。线发生很大的变化。2）均值大的均值小的）均值大的均值小的曲线陡曲线陡 变差系数变差系数Cv对频率曲线的影响对频率曲线的影响 为了消除均值为了消除均值 的影的影响，我们以模比系数响，我们以模比系数K为变量绘制频率曲为变量绘制频率曲线，见右图。图中线，见右图。图中Cs=1.0。Cv=0时，时，随机变量的取值都等随机变量的取值都等于均值，此时频率曲于