第三章 晶格动力学和晶体的热学性1

1、第三章 晶格动力学和晶体的热学性质1.在同类原子组成的一维点阵中，若假设每个原子所受的作用力左右不同，其力常数如下图所示相间变化，且。试证明：在这样的系统中，格波仍存在着声频支和光频支，其格波频率为解： 分析：此题实际是一个一维双原子链色散问题，设相邻分子间两原子的力常数为，间距为；一个分子内两原子力常数为，且；晶格常数为；质量为M的原子位于n-1，n+1，n+3 ，质量为m的原子位于n，n+2，n+4 ，m=M；第；第n-1与第n+1个原子属于同一原子，第n与第n+2个原子属于同一原子，于是第n个原子与第n+1个原子受得力分别是相应的牛顿运动方程为 体系有N个原胞，有2N个独立的方程，上述方

2、程的格波解为将解代入方程得 整理得 由于A和B不可能同时为0，因此其系数行列式必定为0即 =0解上式得化简 存在两种不同的格波的色散关系 对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波 , 总的格波数目为2N. 2. 具有两维正方点阵的某简单晶格，设原子质量为 M ，晶格常数为 a ，最近邻原子间相互作用的恢复力常数为c ，假定原子垂直于点阵平面作横振动，试证明：此二维系统的格波色散关系为 图二 晶格常数为a的正方形点阵证明：如图所示，只考虑最近邻原子的作用，第（，）原子受到（+1，），（-1，），（， +1），（，-1）四个原子的作用力为： （+1，）对它的作用力=（-1，）对它的作用力=（，

3、 +1）对它的作用力=（，-1）对它的作用力= 由于（+1，）和（-1，）对它的作用力以及（，+1）和（，-1）对它的作用力的方向都是相反的，于是相应的运动方程为： )+(+) 用分离变量法，令则有) （1） (+) （2）则 （3） （4） 将（3）（4）分别代入其代入运动方程（1）、 （2）后，得到色散关系 则= 二维格子的色散关系3求：（a）一维单原子点阵振动的声子谱密度（频率分布函数），并作图； (b）一维双原子点阵振动的声子谱密度（频率分布函数），并作图解：（a）一维简单晶格的色散关系曲线如图所示，由色散曲线的对称性可以看出，区间对应两个同样大小的波矢区间。设单原子链长度波矢取值 每

4、个波矢的宽度状态密度 间隔内的状态数对应取值相同，间隔内的状态数目 一维单原子链色散关系 令 两边微分得到 代入一维单原子链的声子谱密度图三 一维简单晶格的色散关系解法二：对于单原子点阵振动，其色散关系为： （1）一维情况下，声子谱密度公式为 （2） 由（1）式得 （3） 将（3）代入（2），得 = ， 所以， (b）对于一维双原子点阵振动，其色散关系为: (1)则 （2）对（2）进行求导，有 （3）一维情况下，声子谱密度公式为 （4）将（3）代入（4）得 =4.设某三维晶体光频声子的色散关系为，试证明，其声子谱密度为 式中证明： 考虑空间中的无穷小间隔，与此对应的频率间隔为，设表示单位频率间

5、隔内的振动方式数，而光学波在附近的等频面是一球面，德拜波矢由下式确定：，所以下线频率为: 将此代入下式 得 当时，无意义， 5 试用德拜近似讨论同类原子所组成的下列系统的低温比热容（1）在一维系统中 ；（2）在二维系统中。解: （1） 德拜模型下格波的色散关系为： 由色散曲线的对称性可以看出，区间对应两个同样大小的波矢区间。2区间对应个振动模式，单位波矢区间对应有个振动模式。范围则包含 个振动模式。则模式密度为 利用 或得 德拜截止频率 则热容量为 作变量替换，令，得 其中讨论：1）在高温时，x是小量，上式中被积函数因此，晶格的高温热容量 2）在低温时，中的被积函数按二项式定理展开成级数 则积

6、分 由此得到低温时晶格的热容量 （2）德拜模型下格波的色散关系为： 在二维波矢空间内，格波的等频线是一个个圆周，如图所示，在区间内波速为的格波数目 式中是二维晶格的总面积，由此可得波速为的格波的模式密度 考虑到两维介质有两支格波，一支横波，一支纵波，所以格波的总的模式密度，式中 ，是纵波速度，是横波速度。 利用 或得 德拜截止频率 二维波矢空间则热容量为 式中原胞数，作变量替换得 晶体热容量 其中讨论：1）在高温时，x是小量，则=2可见，德拜模型的高温热容与经典理论是一致的；2) 在低温时，中的被积函数按二项式定理展开成级数 则有 ， 其中，由此可见，在低温时，德拜模型下的二维晶格的热容量与成正比。6 设某特殊二维系统声子频率。试证明，此系统的 ( a ）平均振动能量正比于； ( b ）声子比热容及嫡正比于