高中物理奥林匹克竞赛专题--气体动理论

1、热热 学学 篇篇自然界中物质的运动形式多种多样，前面已经讨论了自然界中物质的运动形式多种多样，前面已经讨论了物质的物质的机械运动机械运动和和电磁运动电磁运动这两种基本形式。下面将这两种基本形式。下面将研究物质运动的另一种基本形式研究物质运动的另一种基本形式分子热运动。分子热运动。热学：研究分子热运动极其与其他运动形式之间的互热学：研究分子热运动极其与其他运动形式之间的互相转化所遵循的规律。相转化所遵循的规律。1第七章第七章 气体动理论气体动理论 5656学时学时热力学热力学研究构成物质的大量微观粒子的热运动使物体研究构成物质的大量微观粒子的热运动使物体反映出来的规律反映出来的规律 如果不管物质

2、的内部结构，只从宏观角度去如果不管物质的内部结构，只从宏观角度去讨论系统的讨论系统的p,T,V, 热学热学如果从物质的内部结构出发去讨论系统的如果从物质的内部结构出发去讨论系统的p,T,V, 与微观上的关系与微观上的关系气体动理论气体动理论首先给出一些重要的基本概念首先给出一些重要的基本概念1 1、几个基本概念、几个基本概念21 1、热力学系统与外界、热力学系统与外界2 2、平衡态与状态参量、平衡态与状态参量平衡态平衡态非平衡态非平衡态 将要研究的对象称为将要研究的对象称为“热力学系统热力学系统”，简称，简称“系统系统”，除，除此之外的一切环境称为此之外的一切环境称为“外界外界”1 1、几个基

3、本概念、几个基本概念大量原子分子组成的大量原子分子组成的孤立系孤立系 mE封闭系封闭系 mE开放系开放系mE绝热系绝热系Q 3何为平衡态和非平衡态？何为平衡态和非平衡态？例：例： I真空真空II在没有外界影响情况下，系统不发生在没有外界影响情况下，系统不发生任何宏观变化的状态任何宏观变化的状态“平衡态平衡态”状态参量状态参量当一系统处于平衡态时，具有一系列可以用当一系统处于平衡态时，具有一系列可以用确定的物理量来表征的特征量确定的物理量来表征的特征量平衡态平衡态平衡态平衡态非平衡态非平衡态p，V，T，=m/V，n=N/V，4独立状态参量独立状态参量状态方程状态方程状态参量空间状态参量空间V1V

4、I2VII 非平衡态没有确定的非平衡态没有确定的状态参量状态参量，不能以参量空间的点表示，不能以参量空间的点表示各处压强温度密各处压强温度密度度等都不一致等都不一致Tp,TV,Vp,),(),(),(TpVVTVppVpTT p1p2pI真空真空II11,Vp22,Vp5有了参量空间后：有了参量空间后：平衡态平衡态参量空间的一个点参量空间的一个点3 3、热力学过程，过程曲线、热力学过程，过程曲线将系统从将系统从I I态经过一系列的中间态最后达到态经过一系列的中间态最后达到IIII态态这种状态的演化过程称为这种状态的演化过程称为“热力学过程热力学过程”准静态过程准静态过程非准静态过程非准静态过程

5、 I真空真空II准静态过程例：准静态过程例：11V,P11V,P 11V,P 11V,P I I, ,IIII，以及每一个中间态均为平衡态，以及每一个中间态均为平衡态准静态过程准静态过程4I11,VpII22V,P22,Vp6V1VI2VIIV1VI2VIIIII I真空真空II 无过程曲线！无过程曲线！5过程曲线过程曲线p1p2p1p2pp11,Vp11,Vp 11Vp 22,Vp7结论：结论：准静态过程准静态过程过程曲线过程曲线过程过程曲线上每一点曲线上每一点 过程中某个平衡态过程中某个平衡态无限缓慢进行的过程无限缓慢进行的过程4 4、温度、温度T 单位单位开尔文开尔文KtT 273摄氏温

6、度摄氏温度85 5、气体分子运动论的统计规律、气体分子运动论的统计规律由大量事实告诉我们：当系统由极大量的粒子构成时，由大量事实告诉我们：当系统由极大量的粒子构成时，粒子的行为服从一个特定规律粒子的行为服从一个特定规律-统计规律统计规律 例：例：“枷尔顿板枷尔顿板”实验实验热力学系统热力学系统大量原子分子呈现出的行为：必然性和有规则性大量原子分子呈现出的行为：必然性和有规则性个别分子原子的行为：偶然性无规性个别分子原子的行为：偶然性无规性 对热力学系统对热力学系统采用统计的方法加以研究采用统计的方法加以研究说明：说明：大量粒子的行为呈现出一种规律性大量粒子的行为呈现出一种规律性统计规律统计规律

7、 偶然性偶然性无规性无规性必然性必然性有规性有规性单个粒子单个粒子大量粒子大量粒子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92、理想气体理想气体一、状态方程一、状态方程 实验给出：质量一定的任何气体，在温度较高，压强较实验给出：质量一定的任何气体，在温度较高，压强较小的条件下小的条件下p,V,T三者之间关系为三者之间关系为m: :气体质量气体质量kg; ; M: :摩尔质量摩尔质量kg/mol V: :体积（体积（m3、L）R: :气体普适恒量（气体普适恒量（8.31J/m

8、olK） 1 1L L=10=10-3-3m3 3 p: :气体压强气体压强 N/m2 ( (Pa) ) 1Pa=1/1.013 105atm( (大气压大气压) )RTMpVm m mM m m M气体摩尔数气体摩尔数Mm10a. .气体温度恒定气体温度恒定pV= =恒量恒量（等温过程）（等温过程）b. . 压强压强p= =恒量恒量或或V/T= =恒量恒量（等压过程）（等压过程）c. . 体积恒定体积恒定V= =恒量恒量或或p/T = =恒量恒量（等容过程）（等容过程） VpcT cp cV 值得注意的是：值得注意的是：RTMmpV 是是状态状态方程方程而：而：cTcpV 或或cpcTV 或

9、或/cVcTp 或或/均为均为过程过程方程（准静态过程）方程（准静态过程）RTMpVm m mM11例：容器内氧气例：容器内氧气0.1kg，压强，压强10atm，温度，温度4 470C。因漏气，。因漏气，经过一段时间后压强变为原来的经过一段时间后压强变为原来的5/85/8，温度变为，温度变为270C。问。问容器的体积容器的体积V=? ? 漏了多少氧气？漏了多少氧气？VTpm,111漏气前漏气前VTpm,222漏气后漏气后以容器中气体为系统。已知：以容器中气体为系统。已知：mol/kgM31032 kg.m101 atmp101 KT320472731 atmp10852 KT300272732

10、 求求V及漏了多少氧气及漏了多少氧气21mmm 111RTMmVp 33351111021. 81010323201021. 81 . 0mMpRTmV 当压强单位当压强单位atm?1Pa=1/1.013 105atm(大气压大气压)12VTpm,222漏气后漏气后对末态对末态222RTMmVp 3001021. 81021. 810851032533222 RTVMpmkg.210676 所以所以kg.mmm221103330667010 通过该例说明：状态方程给出的是在每一通过该例说明：状态方程给出的是在每一个确定的平衡态下个确定的平衡态下p,V,T三者之间的关系三者之间的关系13二、理想

11、气体的压强和温度的微观本质二、理想气体的压强和温度的微观本质对每个分子用对每个分子用1 1 冲量定理；冲量定理；2 2 一些统计假设一些统计假设气体的压强气体的压强 p与微观量的关系：与微观量的关系：VNn 为为分子数密度；分子数密度；fm为为一个分子的质量一个分子的质量2v为为分子速度平方的平均值分子速度平方的平均值 222221211iNvN)vvv(Nviv为第为第i个分子的个分子的速度速度引入分子的引入分子的平均平动动能：平均平动动能：222121vm)vm(fft ,k 于是有：于是有：t ,knp 32 231vnmpf N个分子个分子imiv14tknp,32 :pN个分子构成的

12、气体系统的压强个分子构成的气体系统的压强宏观量宏观量t ,k ：平均一个分子的平动动能：平均一个分子的平动动能微观量微观量结论是：结论是：什么是什么是压强的微观本质？压强的微观本质？压强的大小反映了分子平均平动动能的大小（分子数密度压强的大小反映了分子平均平动动能的大小（分子数密度不变情况下）不变情况下）下面我们再讨论什么是温度的微观本质？下面我们再讨论什么是温度的微观本质？22,3)21(3232vmnvmnnpfftk VmmVNnmff231vp VNn Vm 22)(31v 15温度的微观本质？温度的微观本质？VRTMNmVRTMmpf nVN 分子数密度分子数密度RTMmnf fmN

13、M0 0N阿伏伽得罗常数阿伏伽得罗常数TNRn0 0NRk 玻尔兹曼常数玻尔兹曼常数nkTp 由由RTMmpV 状态方程状态方程tknp,32 nkTp tknp,32 比较比较kTt ,k23 分子的平均平动动能分子的平均平动动能微观量的统计平均微观量的统计平均 宏观量宏观量什么是什么是温度的微观本质？温度的微观本质？温度的大小反映了分子的平均平动动能的大小（直接）温度的大小反映了分子的平均平动动能的大小（直接）16RTMmpV nkTp tknp,32 231vp 22)(31v kTt ,k23 宏观量之间关系宏观量之间关系宏观量与微观量之间关系宏观量与微观量之间关系17三、内能三、内能

14、 能均分定理能均分定理自由度自由度用来确定物体空间位置的独立坐标数。记以用来确定物体空间位置的独立坐标数。记以 i a. .单原子分子单原子分子 )z , y,x( （平动自由度）（平动自由度）ti 3b.双原子分子双原子分子 刚性分子刚性分子)z , y,x( 6个自由度个自由度?1222 coscoscosrti 235平动自由度平动自由度转动自由度转动自由度非刚性分子（高温时）非刚性分子（高温时）r 由于此时振动自由度由于此时振动自由度“开放开放”srti 6123振动自由度振动自由度18前得到气体分子的平均平动动能前得到气体分子的平均平动动能kT)vvv(mvmzyxfft ,k232

15、1212222 假定：分子的速度按方向均匀分布假定：分子的速度按方向均匀分布zvvvyx222zyxvvv)v(mvmvmvmfzfyfxf22223121212121 kTkTtk21=)23(31=31=, 结论结论：分子的平均平动动能：分子的平均平动动能 是均匀分配在每个平动是均匀分配在每个平动自由度上的（自由度上的（ ）kT23kT21？当分子还兼有转动？当分子还兼有转动. .振动自由度时，是否应该每个自由振动自由度时，是否应该每个自由度上都有度上都有 的平均动能？的平均动能？kTkT2 21 1xvyvzv? 2v 31 0kTv21212 xfmkTv21212 yfmkTv212

16、12 zfm3 t221vmft ,k 19可以证明：分子的每个自由度上都有可以证明：分子的每个自由度上都有 的平均动能的平均动能能量按自由度均分原理能量按自由度均分原理 kT21所以：所以：平均一个分子的总动能平均一个分子的总动能 例：例：单原子分子气体单原子分子气体 He ,Ne ,Ar 3 tikTk23 双原子分子气体双原子分子气体 H2 ,O2 ,N2常温及以下常温及以下523 rtikTkTkTr ,kt ,kk252223 高温时（振动自由度开放）高温时（振动自由度开放）6123 srtikTkTkTkTs ,kr ,kt ,kk26212223 kTik2 20由于每个分子除了

17、动能外可能还有由于每个分子除了动能外可能还有势能。势能。所以平均一所以平均一个分子的个分子的总能量总能量应为：应为：pk +=分分子子内内原原子子间间p pp p skp, 振动学证明：谐振动在一个周期内的振动学证明：谐振动在一个周期内的平均振动势能和平均振动动能相等平均振动势能和平均振动动能相等skp, s对具有对具有 个振动自由度的分子个振动自由度的分子 = =+pk kT)srt (kTskTi22122 平均一个分子的总能量应为：平均一个分子的总能量应为：对具有一个振动自由度的分子对具有一个振动自由度的分子srti kT21 kT2s kTi2 k 分子平均总动能分子平均总动能平动平动

18、, ,转动转动, ,振动振动？210NMmN 0=NRkkT)srt (NMmNE2210 RT)srt(MmE221 现气体中有现气体中有N个分子，个分子，= k kT Ts sr rt tk kT TS Sk kT Ti i)(22122 E气体内能记以气体内能记以R Mm1 1摩尔气体的内能摩尔气体的内能RT)srt (Emol221 特别：特别：s=0=0时时RTiEmol2 结论：理想气体的内能只与温度有关结论：理想气体的内能只与温度有关RTiMmE2 RTMmpV pVi2 pVi2 irt 22kTttk2, kTrk2r , kTsk2s , kTik2 skp, kT2s k

19、TsrtkTSkTi)2(2122 RTsiMmE2 pVi2s RTiEmol2s pVi2s 平均一个分子的平均一个分子的理想气体（理想气体（N个分子的）内能个分子的）内能23例：在容积为例：在容积为2.0 10-3m3的容器中有内能为的容器中有内能为6.75 102J刚性刚性双原子分子理想气体。（双原子分子理想气体。（1）求压强；）求压强；（2 2）分子总数为）分子总数为5.4 1022个，求分子平均平动动能和气体个，求分子平均平动动能和气体的温度的温度RTiMmRTsiMmE22 5Pa1035. 1525 VEp由分子转动动能贡献由分子转动动能贡献由分子平动动能贡献由分子平动动能贡献

20、?EENtk53, J1050. 75321, NEtk kTtk23, K36232, kTtk 5/35/2理想气体温度只与分子的平均平动动能有关理想气体温度只与分子的平均平动动能有关pV25 RTMmpV )(,rktkNE 5/35/2rktkNN, 24课堂练习课堂练习1：请给出下列各式的物理意义：请给出下列各式的物理意义：kT211kT232kTi23RTi24RTMm235RTiMm26m 气体的质量，气体的质量，M该气体的摩尔质量该气体的摩尔质量分子一个自由度上的平均动能或平均振动势能分子一个自由度上的平均动能或平均振动势能分子的平均平动动能或单原子分子的平均能量分子的平均平动

21、动能或单原子分子的平均能量分子的平均总动能分子的平均总动能一摩尔刚性分子理想气体的内能一摩尔刚性分子理想气体的内能摩尔刚性分子理想气体的内能摩尔刚性分子理想气体的内能摩尔单原子分子理想气体的内能摩尔单原子分子理想气体的内能RTsiMm27 摩尔理想气体的内能，且为振动自由度开放摩尔理想气体的内能，且为振动自由度开放4216783，5kTsrt)(218 kTsrt)2(219 平均一个分子的总能量平均一个分子的总能量 925课堂练习课堂练习2 水蒸气分解为同温度的氢气和氧气，即水蒸气分解为同温度的氢气和氧气，即H2OH2+O2/2,也就是也就是1mol的水蒸气可分解为同温度的的水蒸气可分解为同

22、温度的1mol氢气和氢气和1/2mol氧气，不计振动自由度，求此过程中内氧气，不计振动自由度，求此过程中内能的增量。能的增量。6OH2 iRTRTEEmol3260H,12 5OH22 i和和252H,RTEmol 252120,2RTEmol 41545252RTRTRTE 12EEE 415RT RT3 43RT 263 麦克斯韦分子速率分布函数麦克斯韦分子速率分布函数 讨论对象：平衡态理想气体讨论对象：平衡态理想气体 分子数分子数N , ,体积体积V, , 分子质量分子质量mf , ,速度速度 v, , 不计重力不计重力 分子有多大的概率其速率出现在分子有多大的概率其速率出现在 范围内范

23、围内 0 10(m/s)； 10 20(m/s)； 20 30(m/s) 1N N2N N3N N),(321N NN NN NN个分子按速率的分布个分子按速率的分布N NN Ni ivvvii ivvvi vi iN NN N/N N/N N/NNi确定的宏观态确定的宏观态N NV V2v3v1v 连续取值连续取值 0vxvyvzv“分组”“分组”1不论分子速度的方向如何不论分子速度的方向如何2不管分子在容器中位置如何不管分子在容器中位置如何按速度的大小分组按速度的大小分组愈大愈大分子速率取值在这一区域的机会愈多分子速率取值在这一区域的机会愈多27v1N2NiNivvvi 推广到一般推广到一

24、般：“速率分布速率分布”就是要指出就是要指出NNvdvd vvfNNvd)(d 比例系数含于比例系数含于)(vf 22-2eddvAvvNNvf 分子速率分布函数分子速率分布函数?d vNvvvvd oo? N/？v)(vf由统计理论可以得到由统计理论可以得到P174 (7-3-11)1v2v或：或：速率在速率在 范围内的分子数范围内的分子数 占总分占总分子数的比子数的比 为多少？为多少？dNvvvvd NNv/dvvvd vNd速率在速率在 范围内的分子数范围内的分子数 为多少？为多少？麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数fm分子质量分子质量2/3)2(4),(kTmTmAAff kTm

25、f22 28 NdvdNvv f的物理意义的物理意义1 1分子速率在分子速率在v附近、单位速率间隔内的分子数附近、单位速率间隔内的分子数dNv占总占总分子数的比分子数的比2 2对每个分子而言，速率出现在对每个分子而言，速率出现在v附近单位速率间隔内的附近单位速率间隔内的概率概率（1）做）做 曲线曲线v)v(fvvNNvfdd)( vvfd)(为为v 附近附近dv范围的范围的曲线下的面积曲线下的面积vvvd NNd pvpv最概然速率最概然速率小窄条给定的速率小窄条给定的速率区间内的分子数占区间内的分子数占总分子数的比总分子数的比对速率分布函数的进一步讨论：对速率分布函数的进一步讨论： 的物理意

26、义如何？的物理意义如何？问问smf/500ov500501 22-2eddvAvvNNvf 29（2） 00d)(dvvfNNN1 分布函数的分布函数的归一化条件归一化条件（3 3）f(v)与与T 有关（当分子质量有关（当分子质量 一定时）一定时）fmv v)(v vf f0小小T T大大T T小小p pv v大大p pv v(4) (4) 与与 有关（当温度有关（当温度T一定时）一定时）)v(ffm小小p pv v大大p pv vv v)(v vf f0大大fm小小fm kTvm-ffvkTmvNNvf222/32e)2(4dd 30vvNNvfdd)( 1 1分子速率在分子速率在v附近、单

27、位速率间隔内的分子数附近、单位速率间隔内的分子数dNv占总占总分子数的比分子数的比2 2对每个分子而言，速率出现在对每个分子而言，速率出现在v附近单位速率间隔内的附近单位速率间隔内的概率概率vvvd 小窄条给定的速率小窄条给定的速率区间内的分子数占区间内的分子数占总分子数的比总分子数的比 kTvm-ffvkTmvNNvf222/32e)2(4dd 31（5 5）由由 可求出许多分子微观量的统计平均值可求出许多分子微观量的统计平均值)v(f 平均分子速率平均分子速率 viivNNNvNvNv )(12211 vvvfNNvvdd MRTv60. 1 vvfNNd)(d 用到用到MRTv 8 分子

28、方均根速率分子方均根速率2v 2v vvfvNNvvdd222其中其中 为摩尔质量为摩尔质量 M M)(1222121 NvNvN2iivNN MRT3 MRT 8 MRTv32 若有任意与分子速度若有任意与分子速度有关的微观量有关的微观量)(vgg？ 22-2evAvvf 32对任意一个关于分子速率对任意一个关于分子速率v的函数的函数g g(v)，其统计平均值，其统计平均值vvfvggd)()(0 如如221vmft ,k 则则 vvfvmftkd)21(20, NvgNgd)(1N0 vvfNNd)(d vvNfd)(1v2vvN 21dvvNNvvNfd)( 2121d)(d)()(vv

29、vvvvNfvvNfvg)(2211 NgNggN/NNgii vvNfNd)(d )(221121 NgNggvv N / NvgNgvvd)(121 N 1v2vvvNfd)( 2121d)(d)()(vvvvvvfvvfvgg对所有分子求平均对所有分子求平均对速率在对速率在v1v2之之间的间的分子求平均分子求平均 vvfvmfvvvvtkd)21(22121, 33除了以上两个平均值外，还有一个常用到的速率除了以上两个平均值外，还有一个常用到的速率3 3）最概然速率）最概然速率vp与与f(v)的极值点相应的速率的极值点相应的速率 kTvm-ffvkTmvNNvf222/32e)2(4dd

30、 A A222v ve eA Av vv vf f)( 2由极值条件由极值条件0d)(d vvf0122 v 1 v fpmkTv21 okNR fomNM MRTv60. 1 MRTv32 MRTvp2 称为气体的三个特征速率称为气体的三个特征速率vvNNvfdd)( pvv2vMRTMRT22 MRmkf 342322 pvv kTvm-ffvkTmvNNvf222/32e)2(4dd MRTv60. 1 MRTv32 MRTvp2 气体的三个特征速率气体的三个特征速率MRTmkTvfp22 fpmkTv22 kTmvfp212 fm2 kTfmkT2 22e)1(4dd22/32pvv-

31、pvvvNNvf 35 vNNvfdd)5( （1 1）速率在）速率在v附近单位速率间隔附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的比内的分子数占总分子数的比 NNvvfdd)3( （2 2）速率在）速率在v v+dv间隔内的分间隔内的分子数占总分子数的比子数占总分子数的比 21d)2(vvvvf 21d1vvNN（3 3）速率在）速率在v1 v2间隔内的分子间隔内的分子数占总分子数的比数占总分子数的比 21d)1(vvvvNf 21dvvN（4 4）速率在）速率在v1 v2间隔内的分间隔内的分子数子数（5 5）速率在）速率在v1 v2间隔内的分间隔内的分子的平均速率子的平均速率课堂练习：下列各式的

32、物理意义是什么？请用连接线表示课堂练习：下列各式的物理意义是什么？请用连接线表示出来出来 2121dd)4(vvvvvvfvvvf36Fv例：导体中自由电子的运动可看做类似气体分子运动。故例：导体中自由电子的运动可看做类似气体分子运动。故常称导体中的电子为电子气。设导体中有常称导体中的电子为电子气。设导体中有N个自由电子，个自由电子，电子的最大速率电子的最大速率vF. .电子的速率出现在电子的速率出现在v v+dv内的概率为：内的概率为：vANvd420 vvFFvv NNd0A 其中其中 为恒量为恒量 vf1 1）写出电子气中电子的速率分布函数）写出电子气中电子的速率分布函数 vNNvfdd

33、ANv24 0 vvF0Fvv 134d4d430202 FvvvNAvvNAvvNAFF343FvNA 2 2）求常数）求常数A 1d )(d00 vvfvvfFv由归一化条件由归一化条件373)画速率分布曲线画速率分布曲线 vNNvfddANv24 0 vvF0Fvv )v(fv0Fv4)4)求电子的平均速率求电子的平均速率 及速率倒数的平均值及速率倒数的平均值 v)v(1 FFvvdvvNAvvNAvvvvfv030204d)4(dFFvNAv434 FFFvvvvvNAvvNAvvvfvv0200d4d)4(1d1)1(FFvvNA2322 343FvNA v)v(11 v v385)

34、5)求电子的平均动能（设电子质量为求电子的平均动能（设电子质量为m） vvfvmvvfmvtd21d212020 25321Fkvm 2202022534FVVvAdvNvvdvvfvvFF 所以所以Fvv43 注意：前面已得出注意：前面已得出显然显然222169vvvF 6）求）求 内的电子数内的电子数Fvv FvvNNdvfgvgd)(0 vNNvfdd)( )v(fv0Fvv v ANvvf24 NvvNANFvv6437d42 用到用到343FvNA F Fv vv v43 N NvvfNvvfNFFvvvvd)(d)( 39oa0v02voa0v02v)(vNfv例：例：有有N个质量

35、均为个质量均为mf的同种气体分子，速率分布如图。的同种气体分子，速率分布如图。（1）说明曲线与横坐标所围面积的意义；）说明曲线与横坐标所围面积的意义；（2 2）由）由N和和v0表示出表示出a的值；的值； 020)d(SvvvNfN 002020ddvvNNNNN分分子子总总数数 N （3 3）速率在）速率在v0/23 3v0/2之间的分子数之间的分子数00212)2(21avvaaN 870av 870v 032vN127N （4 4）分子的平均平动动能）分子的平均平动动能 000020)(vvavvavvNf 0202tk,d)(21vfvvfvm 00022002tk,d21d21vvfv

36、fvNavmvNvavvm NN203631vmf 0021Savav 032vNa 40以上讨论中以上讨论中讨论对象：平衡态下的理想气体。分子数讨论对象：平衡态下的理想气体。分子数N, ,体积体积V，分子，分子质量质量mf不计重力不计重力 1.1.不管分子的速度的方向如何不管分子的速度的方向如何2.2.不论分子在容器内的空间不论分子在容器内的空间位置如何。位置如何。只考虑只考虑N个分子按速率的分布个分子按速率的分布。相应的规律。相应的规律麦氏速率分布麦氏速率分布 kTmvvevkTmNdvdNvf222/32)2(4- dvvv xvyvzvvdNvdvVd vevkTmNdNvvfkTmv

37、vd)2(4d2-22/32 41麦克斯韦速度分布麦克斯韦速度分布kTmvzyxvekTmvvvNdNvf22/32)2(ddd)( 速度速度分布函数分布函数zyxkTmvvvvvekTmNdNddd222/32 不论分子在容器内的空间位置如何不论分子在容器内的空间位置如何考虑考虑N个分子按速个分子按速度的分布度的分布速度在速度在 范围内的分子数范围内的分子数 占总分子数占总分子数N的比的比 为多少？为多少？vvvd vNd zzzyyyxxxvvvvvvvvvddd vevkTmNdNvvfkTmvvd)2(4d2-22/32 速率速率分布函数分布函数xvyvzvvdNvvdzyxvvvvv

38、dddd42 vdN)(vfzyxvvvdddv42xvyvzv vevkTmNNvvfkTmvvd)2(4dd2-22/32 xvyvzvxvdyvdzvdxvyvzvvdNkTmvzyxvekTmdvdvNdvdNvf22/32)2()( vNdzyxvvvvvdddd42 zyxkTmvvvvvekTmNNddd)2(d2-22/32 2v v42vvd zzzyyyxxxvvvvvvvvvdddv3dv vdvf3kTvvvmzyxvzyxekTmdvdvNdvdNvf2)(2/3222)2()( 434.分子平均自由程分子平均自由程d为简单起见：设一个分子以为简单起见：设一个分子以

39、运运动，其他分子静止不动动，其他分子静止不动在在t秒内走过路程为秒内走过路程为vVNn t vdn2 21dn 更精确的计算给出更精确的计算给出221dn 自由程自由程分子连续两次碰撞之间自由通过的直线路程分子连续两次碰撞之间自由通过的直线路程 t v折线折线d2v圆柱体内分子数圆柱体内分子数分子平均自由程分子平均自由程NV,1 2 3 动分子在动分子在t t时间内平均碰撞次数时间内平均碰撞次数碰撞的频繁程度碰撞的频繁程度球心在该体积中的分子球心在该体积中的分子碰撞碰撞分子数密度分子数密度t v t vdn2 碰一次碰一次在柱体中碰撞了这么多次则共走了在柱体中碰撞了这么多次则共走了 自由程有长

40、有短自由程有长有短折柱体折柱体445 偏离平衡态气体的迁移现象偏离平衡态气体的迁移现象粘滞、热传导和扩散现象粘滞、热传导和扩散现象迁移现象迁移现象一、粘滞现象一、粘滞现象管道内气体流动时流速的分布管道内气体流动时流速的分布xyyudddSSdduu u相对运动相对运动f dfd内摩擦力内摩擦力或或粘滞力粘滞力y)(yuu ?|d| f)dd(yuSd |d| f粘滞系数粘滞系数理论计算给出理论计算给出 vnmf31 45从宏观来看从宏观来看两相邻流层互施粘滞力两相邻流层互施粘滞力Sduud uf dfd从微观上看从微观上看流动动量增大流动动量增大流动动量减小流动动量减小umf由于热运动的原因：由于热运动的原因：上方分子带着较大的流动动量移动到面元上