关于光场压缩态与信息熵的研究

1、硕士学位论文关于光场压缩态与信息熵的研究51 / 51摘 要 量子光学是光学学科中新兴的前沿领域，本论文主要研究光场压缩态这一量子光学现象。首先我们对光场进行了量子化，量子化后的光场可用光子数态和位相态来描述，然后讨论了相干态的定义与其性质。接着介绍了光场压缩态的定义、产生方法，同时总结了最小测不准态、相干态、压缩态、压缩相干态等概念之间的联系和区别，澄清了对光场压缩态的模糊认识。t为了能用信息熵定义光场压缩态，论文接着介绍了信息概念，信息论的基本知识和信息方法。用信息熵定义光场压缩态是本论文的主要创新工作。首先求出单模高斯纯态时的坐标和动量空间的波函数，进而根据信息熵的定义，分别求出了坐标和

2、动量信息熵，再利用测不准关系，成功地导出了熵不确定关系。然后根据光场压缩态的广义定义和熵不确定关系，先分别求出光场振幅两分量的信息熵，然后证明了可用信息熵定义光场压缩态。光场信息熵的概念引入以后，我们可以用其来衡量光场的混乱程度，从普通光到激光到压缩光，其信息熵依次减小。然后从信息论的角度解释了压缩光的产生。压缩光产生的实质就是给系统注入更多的信息，用于解释系统的不确定度。最后讨论了热熵与信息熵的统一关系和由此产生的重大物理意义 关键词：量子光场压缩态信息熵第一章 绪论 本章先引入了光学压缩态这一概念，然后综述了国外关于光场压缩态的研究现状，最后介绍了本论文的主要工作。 §11 引

3、言 量子光学是光学学科新兴的前沿领域。近年来关于原子合作发光、共振荧光、光学双稳态、光学混沌、光学孤子、光学压缩态，原子状态相干和无粒子数反转光放大的研究发展相当迅速，由于这些量子光学现象将有可能成为新的高技术的生长点，因而受到人们的广泛重视。例如：光学双稳态系统可能应用于光计算机和光学计算技术，光学混沌可能应用于信息科学技术，超荧光的研究，对于在一些波段上相干辐射的产生，提供一条可能的途径，光场压缩态的研究，在测量技术等方面将产生重大影响，光学孤子的研究，对光通讯的发展，将直到重要推动作用；原子状态相于和无粒子数反转光放大问题的研究，将有助于解决激光科学技术中的一些问题，等等。 本论文主要研

4、究光场压缩态现象。光学压缩态具有低于真空态的噪声，其最一般定义为：我们将光场的某一分量的量子涨落小于相干态中相应分量的涨落的量子态称为光场的压缩态。1976年从理论上预言了光场 压缩态，1985年，Slusher等人在非简并四波混频中观察到7压缩量的压缩态光，1986年在参量下转换实验中人们观察到63压缩量的压缩态光，由此，关于光学压缩态的实验，已经是多种多样。但由于光学压缩态是个十分新的概念，目前对光场压缩态的讨论有许多不同的看法，甚至错误的认识。本文力图比较全面和正确地探讨光场压缩态现象，在总结前 人研究工作的基础上，从信息论的角度对光场压缩态进行了重新阐释，取得了很好的效果，有助于认识光

5、场压缩态的实质，使大家对光场压缩态的了解更进一层。 §12光场压缩态研究现状目前对光场压缩态的研究可分为三类。第一是将光场压缩态的概念推广适用至其它情况；二是研究光场压缩态的产生方法；三是关于压缩光的应用。下面做一下详细的介绍。 历史上第一次理论预言与产生压缩态都是正交压缩态，由此，人们想到是否可将压缩态的定义推广开?结果先后提出了高阶压缩和振幅平方压缩的概念，并讨论高阶压缩场和振幅平方压缩场的性质，接着人们发现各种压缩态的定义是独立的，就是说一个光场在某种情况下，可展现高阶压缩效应，但并不一定可以展现振幅平方压缩效应，反之亦然。以上讨论的都是单模光场的压缩态，目前人们也开始广泛探讨

6、多模光场等各种光场的压缩效应，取得了一定的进展。这一类的研究主要是关于光场压缩态的理论研究。 第二类研究主要是关于光场压缩态的产生方法。1985年，Slusher等人首先在非简并四波混频中观察到7压缩量的压缩态光。1986年在参量下转换实验中人们观察到63压缩量的压缩态光。1991年，Giacobino等人用光子参量振荡器产生双光束，观察到此双光束问有86的相关。1992年，KimbIe等已经在实验中测量到75的正支压缩态。1994年， Kumar等在行波相干实验中也观察到74的正交态压缩。另外，Konstanz在单片集成振荡器产生的二次谐波光束中测到40的压缩。1995年，美国斯坦福大学的R

7、ichardon等人在电流驱动的半导体激光器中，实验测到85的压缩态。另外，也已经有实验演示了微波频段的量子噪声 压缩：值得特别提出的是，shelby等已报道了用光纤干涉仪产生压缩态光 孤子和压缩态真空的实验。美国麻省理工学院的Hans等人用光纤环干 涉仪方法观察到73的光子态压缩。可见压缩态的产生方法也是多种多 样。 第三类研究则是关于光场压缩态的实际应用。仅在十多年前，人们 才初次演示光场压缩。至今，压缩态光场已经在超低噪声光检测 或称超高灵敏度光通信，比如灵敏度比传统的零差相干光通信的灵敏度提高3倍 、超低噪声光器件与设备 如光学分束器、光开关、光参量放大器与光学干涉仪等 、超精密光学测

8、量、高灵敏度光谱分析等方面的应用已经有 了初步研究。在光通信中，使用压缩态光场光源，通信容量可加倍。纵向 腔面辐射激光二极管和发光二极管的研制生产、片间、板间光学互连等工 作也将从压缩态光场技术中受益。未来，量子密码技术中，一般要用极微 弱的信号，可望得益于压缩态光场的高灵敏度检测。另外，引力场相干探 测中，可用“光子粒压缩态”信源提高干涉仪的灵敏度。总之，压缩光较之 激光所具有的优势 比如更广泛地应用于诸尖端技术领域 ，恰如甚至可 能超过激光较之荧光所具有的优势。 §13论文主要工作 本论文主要研究了能否用信息熵来定义光场压缩态的问题，属于关 于光场压缩态的理论研究这类。具体工作概

9、括如下： ?本论文比较全面地、准确地对光场压缩态现象进行了研究，总结了 最tl,N不准态、相干态、压缩态、压缩相干态等概念之间的区别和联系，澄 清了对光场压缩态的模糊认识。 ?推导了熵不确定关系。首先求出相干态与一般单模高斯纯态时的 坐标和动量分布几率，进而根据信息熵的定义，分别求出了坐标和动量信 息熵，再利用测不准关系，导出熵不确定关系。 ?根据光场压缩态的广义定义和熵不确定关系，先分别求出光场分量 的信息熵，然后证明了可以用信息熵定义光场压缩态。 ?用信息熵概念统一地描述了普通光、激光和压缩光；并从信息论的 角度解释了普通光、激光和压缩光的产生机制。 考虑到光场压缩态是一个十分新的概念，因

10、此本论文先做了一些基 ?1? j匕方交通大学硕士学位论文 础性说明。全文框架如下：第一章绪论引入光场压缩态概念，综述国外 关于光场压缩态的研究现状，并介绍论文主要工作。第二章则对光场进 行了量子化，讨论了相干态的定义和性质。第三章介绍了光场压缩态的 定义和产生方法，总结了最小测不准态、相干态、压缩态等概念之间的联 系和区别。为了能用信息熵定义光场压缩态，论文第四章介绍了信息概 念信息论的基本知识和信息方法。第五章则推导了熵不确定关系，用信 息熵重新定义光场压缩态，并从信息论的角度解释了光场压缩态的产生。 最后一章第六章则总结了全文，同时提出了三点展望。 第 章电磁场的量子化 第二章 电磁场的量

11、子化 在讨论光场压缩态之前，为了能对光学问题进行全量子论处理，必须 对电磁场进行量子化。本章将介绍电磁场的量子化方程与几种态函数。 本章第一节介绍电磁场的正则量子化方法，第二节介绍光子数态与其性 质，第三节介绍位相算符和位相态，最后一节介绍量子光学中的重要概念 相干态与其性质。 §21 电磁场的量子化 在一般的量子电动力学中，电磁场量子化是通过引入矢势做正则坐 标，引出相应正则动量，然后利用正则量子化方法对场进行量子化。这种 方法严谨，但步骤比较复杂，而在常见的量子光学中采用比较简单的仿谐 振子量子化方法，即将电磁场放在一个谐振腔，并形成驻波可看成一个 振子，再用量子力学中谐振子量子

12、化步骤对电磁场量子化。本章介绍正 则量子化方法。 对自由电磁场，自由电荷和电流为零，这时的麦克斯方程组为 v?D 0 可?B 0 v×三：一曼旦 at v×五：一粤 a t 12 在均匀介质中 D E B 卢H 22 引入矢势A ?5? j匕方交通大学硕士学位论文 云：v×五 云：一丛 23 af 在库仑规下 v-A 0，矢势A满足波动方程： V2五 肛a2A 24 u o 寸E 为正刚坐标，拉氏密度为 L 告 eE2一心 2，5 正则动量 面：-皇 ：。警：一。主：一云 26 酣 一 a 警 系统的哈密顿量为 2，7 HF：f 云?尝一L ?dV 爿 Ez一胆z

13、 dV 为方便起见，人们总是将所描述的场限制在一定的空间体积，这时 矢势可以用正交模函数展开 28 五 薹，； 丢蠹 14。e再b ； e一畔+n缸磊 ； e叶 其中 芦打 L-32ere加 29 r表示电磁场的两个偏振方向，莨为波矢。广义动量为 云：。盟 ，i。； 半M一缸；乒如 ； e唧+缸勰 ； 删 2to 正则量子化方法就是将正则坐标和动量变成算符 第二章电磁场的量子化 A 211 2甜 去 nt再扣 r e叫+n勰磊 r ci“kt 212 一i三 挚 tn 。女乒h ； e-畔一。勰o ； 。畔 量子化后的哈密顿算符 HF hwk n抽b+告 213 其中n玉与。b分别是电磁场中光

14、子的产生与湮灭算符。量子化后， 电磁场变成了光子场，口+r与a打满足对易关系 口b，口玉 阮d。 ，口¨ n4-口玉 0 214 正则坐标A与正则动量满足横对易关系 7 215 A r，t ，皿 r，t ih醪 rr 式中，T表示垂直于电磁波传播方向的横方向。量子化后电磁场状 态可以用光子数表示。在一般量子电动力学中，光子没有确定位置，自由 光子有确定动量和偏振方向，状态用波矢k与偏振方向r表示。为简单起 见，常省去r只标出k，故光子产生与湮灭算符分剐为。；和吼，相应的哈 密顿量和对易关系为 HF：h。； 。如。+丢 216 郇，n列 阮一 217 §22光子数态 电磁场经

15、过量子化以后，电磁场变成光子场，电磁场状态将用光子数 态 表示，它是哈密顿算符HF的本征态 218 光子数算符 ?7? j匕方交遗大学硕士学位论二“ a趣 ”±I竹 咒J咒女 219 电磁场的基态是真空态，表示为10 ，定义 。l0 0 220 则基态的能量 0 221 i味i0 寺h 上± 产生与湮灭算符作用在光子数态上得到 “im 72l2m一1 n：l九 九+1 12 7"女+1 222 较高激发态矢量可用产生算符连续作用在真空态上得到 器” 0，1，2 223 光子数态是正交的 行I挣蟾 炙删 224 和完备的 f-I 225 I nk m 光子数态形成H

16、ilbert空间一个完备的基矢，对光子数比较小的情况 是一个有用的表示。 光子数态In。 的一个重要性质是光场的平均值为零，对光子场的 电场强度算符 226 E：i； 警 “2。藏 ； 。叫一。磁 ； P吣 利用 222 式和光子数态的正交关系，得到 E I 227 nInI 0 既然I巩 表示有"个光子的态，那么，为什么光场电场强度的平 均值为零呢?这是因为光子数和位相是一对测不准蚕，满足测不准关系。 既然光子数态1”t 光子数完全确定，则位相必然是完全混乱，即频率为 ?R? 第二章电磁场的量子化 u；丽位相完全混乱，所以电场测量平均值为零，而光强的平均值不为零 刚E2 ； 尝 心

17、+号 2。28 §23位相算符与位相态 在经典光学中，当考虑光的干涉和衍射时最重要的量是位相。前面 又指出，光子数和位相是一对测不准量，前面讨论电磁场量子化时，只考 虑电磁场振幅而没有考虑位相，这里将讨论电磁场位相的量子化，引入光 子位相算符，并研究位相符本征态的性质。 在经典电磁场理论中，通常把复振幅写成实数振幅与位相因子的乘 积，相似的把算符a和a+也写成振幅与位相算符的乘积 a “+ 12exp 却 a+ exp 一i o aa+ 229 这样定义位相算符为 exp ip + 一1虎 230 由于 P 一i妒 。+ aa+ 一1以 231 则有 ezp ip ezp 劬 1 2

18、32 算符exp iT 用数态展开，得 f 233 exp !P j” 0 exp if ， 哪 却 + l 1 l exp iT J ，l+l exp 一i舻 n 1 234 表明SG位相算符是非么正的，也是非厄米算符，是不对应可观测的 ?9? 北方交通大学硕士学位论文 物理量，司定义如F的J巳米算符 c。s9：lezp ip +口 一icp 咖铲 扛唧 印 一exp 一i妒 235 可以证明 72，cosq 一isin9 n，5妇妒 icosp 236 这表明13和平不可能同时确定，利用量子力学中测不准关系，对任意 两力学量A和B有 LkAB丢 A，B 237 则有 AnAcos9百1 n

19、，f吣妒 百1 “”p 238 同理 AnAsinl；o寺 cosq， 239 表明光子数和位相不能同时精确地测定，这是量子化电磁场与经典 电磁场的根本区别。 可以证明co婶和sinp是不对易的，表明它们不能同时精确测定，也没 有共同表征态。但是在一定的极限条件下，cosp和si可以有共同本征 n 的线性叠加表示，取 态i妒 。I妒 为位相态，它可以用光子数态l Z 1"l 2 |P fim S+1 12。 i以p I 。 004 s一 一oezp 由于In 是正交归一的，不难证明Ip 也是正交归一的。 驴l。 So 。 l打 lim s+1 1l S一 n20 1 ?ln， 第 章

20、电磁场的量弓r叫暑 当s一。时可给出 I P 241 螂妒lP 咖P 表明S很大时I妒 是cos p的本征态。 下面再简单看一下光子数态的性质。所谓光子数态是光子数i2完全 确定的态，对这些光态光子数的测量不确定性为零，即An 0。 对光子数态，位相算符平均值为零，即 扎ICOSCp n 0 扎0 I cos2I 去序一础舻 i1 242 表明妒是在0到2z之间完全无规则分布，即表明光子数完全确定的 态，其位相完全不确定。 §24相干态 用粒子数态In 描述的单模光场，光子数有确定值，而相位则不确 定。我们也可以采用另一种描述光场的态函数，它称为相干态，用这种态 函数描述光场可以构成

21、一个波包，其相位有近似确定的值。相干态在量 子光学中是十分重要的概念，它的重要性在于相干态是实际存在的物理 态，一般激光器产生的激光就是相干态。理论上把相干态定义为湮灭算 符n的本征态矢la ： nl a 口I口 243 为了找到相干态la 的表示式，必须求解。的本征值方程 243 式。利用粒子数算符口+。的本征态矢集 In 的完备性，可把相干态 口 表示为 I n l n 244 n EC。 口 l 其中 J口 245 C。 口 n a 表示粒子数态和相干态表象间的变换函数。l 2对应在态l G a l 中光场处于n个频率为cU的光子态的概率。为求得cI。 a ，我们把 ?11? j匕方交通

22、大学硕士学位论文 244 式代人 243 式中，则有 i n “l。 j 口 ,一n 246 n一1 口C； a f ，l 21 H2U 由于上式第一个求和中” 0的项等于零，因此第一个求和是从1到 o。，我们对左边作代换”一n+1，这样，上式就变成 H 247 c“ 而ln aC a l 口2u "3U 把上式左乘 1"13f，并注意到 m I” k。，就可得C。 a 满足的 递推关系 C。1 。 7or1 口C。 口 248 这样可知 l1 Cl 口Co C2 口c1l扼 a2Co佃 I3 1 C3 口3Co 249 所以 C。 d anCo月! 250 把 250 式

23、代人 244 式，则 i a 。毫涪I” 251 由态函数的归一化条件可以确定C 1，即 J n ， C3。；Omi。潞 mom!nf I 2，52 cexp I卯 c，墓学 l 于是 22 Co 目p 一I。I 253 将 253 式代人 251 式，就得到相干态I o 的表达式 f n 254 a 2唧一“2 ，毫羔I 第二章电磁场的量子化 注意到 f 0 255 n 错f 则相干态也可以表示为 l a 唧 山1 2倒。毫呼In 0玎： o 0 256 exp 一I口122 exp + l 数学上还可以等价地把相干态表示为平移算符D a 作用于真空态1 0 上产生的态 f 0 d D 口

24、f 2，57 其中 D 口 exp +一an 258 下面来证明这一点，利用算符关系式 3 +8 如一 4t8 259 所以 exp ga+一口。n exp 一j口1 22 g矽 + g矽 一口。 260 那么 exp 口+一口”n l O 0 exp 一I口1 22 唧 + exp 一口 I 261 注意到等式 0 一a”n l exp 一aa |0 f0 + l0 2，62 所以 261 式简化为 “户 口+一a”a f 0 exp 一口I 0 263 22 exp na+ 1 它表明 256 式和 257 式是完全等价的。 现在我们来证明相干态是最小不确定态，从两是描述光子波动性的 最确

25、定性态。在量子力学中，我们知道谐振子的坐标算符q和动量算符P 与粒子算符n，n+有确定关系。 ?13? j匕方交通大学硕士学位论文 q 竞 “+。+ 声 一i学 。一n+ 264 且p，q满足对易关系 q，p ih 265 这样，单模光场的哈密顿量 IF就对应质量为1，频率为m的谐振子的 哈密顿算符 HF 吉 p2+Oj2q2 266 所以算符P，q是坐标表象中描述光场的正则动量和坐标算符。 由 264 式容易得到光场处于单模相干态I口 时P，q，p2，q2的期 望值 q 是 。m+。 竞 a+a+ 加i再 nm i厚七二 j a j 2+ 。+ 2+m+n+na q2 竞 a 口2+ 口 2

26、+2口口+1 二叫 声z 一粤产 。Ja2+ 。+ 2一。+一。+。l。 一粤产 。2+ 。 22。*一1 267 其中已应用了ni a a l。 与其复共轭式，由上式可知，正则坐 标和动量的均方涨落为 q 2 一 2 芜 户 2 一 2 粤警 268 所以 第 章电磁场的量子化 却?q 导 269 这就是海森堡关于粒子坐标和动量不确定关系力q导所允许的 最小不确定值，这说明用相干态描述的光场，能够确定一个小的波包，它 揭示出光的波动形态。 为了更清楚地了解光场的正则动量坐标算符P，q的物理意义，再引 进厄米算符XI，X2满足 x。 芸q，xz 志P 270 由 264 式可知，X1，X2与，

27、a，n+之间的关系为 Xl 寺 n+。+ X2 击 一。+ 271 由算符q，P间的对易关系 265 式可知，X1，x2满足 xl，X2 寺 272 因此，厄米算符X1和x2满足的海森堡不确定关系为 axl 2 x2 2壳 273 若光场处于相干态la ，利用 267 式，容易得到xl，X2的涨落为 x1 2 ÷x2 2 274 因此有 AXl 2 aX2 2 275 2志 可见，相干态是光场振幅算符X1和x2的最小不确定态，并且X1，X2的 量子涨落一样，而且与相干态本征值无关。这说明，光场的振幅算符对任 何相干态的量子涨落都一样，由 256 式可知，真空态 a O 是相干态的 特

28、例，因此光场振幅的量子涨落实质上是由于真空场的起伏所致，而在通 ?15? j匕方交通大学硕士学位论文 过平移算符D n 将真空态演化成相干态的过程中，光场振幅的量子涨落 保持不变。 应该指出的是，由相干态描述的光场，其光子数则有很大的不确定 性由于 a NI a exp 山三，翼学”2 a四n 唧 山1 I： 2 。襄学 。m 276 因此，光子数的均方涨落为 n l口I 277 由此可见，在lal很大时，光子数的均方涨落很大，因而用相干态描述 的光场，其光子数有很大的不确定度。此外， 276 式还表明ia 2是相 干光场的平均光子数，它反映光场的强度。 由 250 式和 253 式可知，由相

29、干态la 描述的光场处于粒子数 态In 的概率为 只 l n 口 I 278 2 唧 一I川 与产 它表示光场对所有粒子数态ln 的概率分布呈现现泊松分布形 式。 ?16? 第三章光场的压缩态 第三章光场的压缩态 从上一章的讨论我们知道，相干态是光场的振幅涨落有最小不确定 值的态，它的两正支分量Xl，X2都取最小的不确定值14，这个值通常称 为光场的真空涨落。在过去相当长一段时期里，人们一直认为真空涨落 是光场量子涨落的最小极限值。但是这一极限对许多实际应用非常不利 的，例如在光通讯问题中，提高信噪比就显得非常重要，而噪声的声源除 了通讯设备以外，还有热噪声和光场的量子噪声，即使应用处于相干态的 光场的某一正交分量X。