2010年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷(二组二试)

1、2010年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（二组二试）一、填空题（共3题，每题10分）1（10分）不满足不等式|x+2|x1|2的x应满足的条件是 2（10分）一个8行n列的阵列队伍，如果排成若干个15行15列的方阵，还余下3人，一人举旗，2人护旗则n最小等于 3（10分）自ABC内一点P，分别向BC，CA，AB边引垂线，垂足依次为D，E，F，以AF，BF，BD，CD，CE，AE为直径分别向外作半圆如图所示这六个半圆面积分别记为S1，S2，S3，S4，S5，S6，若S5S62，S1S21，那么S4S3 二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4（10分）扑克牌中的J，Q，K

2、分别看成11，12，13点，从1到13点的13张扑克牌中至多挑出几张牌，使得没有2对牌，其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和？5（10分）将1，2，3，37，这37个不同的自然数重新排成一行，记作a1，a2，a37，其中a137，a21，并使得a1+a2+ak能被ak+1整除（k1，2，36），求a3？a37？6（10分）汽车队去往受灾群众安置点运送物资，每辆汽车载重量为10吨，若每个帐篷分配1.5吨物资，则余下不足一车物资：若每个帐篷分配1.6吨物资，则尚差2车多的物资问：这个安置点最少有多少顶帐篷？2010年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（二组二试）参考答案与试题解析

3、一、填空题（共3题，每题10分）1（10分）不满足不等式|x+2|x1|2的x应满足的条件是x【分析】按题意，即：求|x+2|x1|2的解，可以分情况讨论，分三种情况：x2；x1；2x1故可以去掉绝对值，再求解【解答】解：根据分析，即：求|x+2|x1|2的解，先去绝对值，分三种情况：x2时，x+20； x10，故：|x+2|x1|2（x+2）（1x）232，成立；x2；x1时，x+20； x10，故：|x+2|x1|2x+2（x1）22+12，（不符合，舍去）；2x1时，x+20；x10，故：|x+2|x1|2x+2（1x）22x+12x；2x综上，x时，满足不等式|x+2|x1|2，即此时

4、x不满足不等式|x+2|x1|2故答案是：x2（10分）一个8行n列的阵列队伍，如果排成若干个15行15列的方阵，还余下3人，一人举旗，2人护旗则n最小等于141【分析】根据题干分析可得，这个方阵的人数是8的倍数，一个小方阵有15×15225人，设有k个方阵，那么8n225k+3，则225k+3应该是8的倍数，考虑除以8的余数，k最小为5，n最小为141【解答】解：设有k个方阵，那么8n225k+3，当k1时，225+3228，不是8的倍数；不符合题意；当k2时，225×2+3453，不是8的倍数，不符合题意；当k3时，225×3+3678，不是8的倍数，不符合题

5、意；当k4时，225×4+3903，不是8的倍数，不符合题意；当k5时，225×5+31128，是1128÷8141；答：k最小为5时，n最小为141故答案为：1413（10分）自ABC内一点P，分别向BC，CA，AB边引垂线，垂足依次为D，E，F，以AF，BF，BD，CD，CE，AE为直径分别向外作半圆如图所示这六个半圆面积分别记为S1，S2，S3，S4，S5，S6，若S5S62，S1S21，那么S4S33【分析】解：如图，连接AP、BP、CP，根据勾股定理，可得AP2BP2AF2BF2，BP2CP2BD2CD2，CP2AP2CE2EA2，所以AF2+BD2+C

6、E2BF2+CD2+EA2；然后根据圆的面积公式，可得S1+S3+S5S2+S4+S6，所以S4S3（S5S6）+（S1S2）2+13，据此解答即可【解答】解：如图，连接AP、BP、CP，根据勾股定理，可得AP2AF2+FP2，BP2BF2+FP2，可得AP2BP2AF2BF2，同理，可得BP2CP2BD2CD2，同理，可得CP2AP2CE2EA2，+，可得AF2+BD2+CE2BF2+CD2+EA2，所以（AF2+BD2+CE2）×（BF2+CD2+EA2），因此S1+S3+S5S2+S4+S6，所以S4S3（S5S6）+（S1S2）2+13故答案为：3二、解答题（共3题，每题10

7、分，写出解答过程）4（10分）扑克牌中的J，Q，K分别看成11，12，13点，从1到13点的13张扑克牌中至多挑出几张牌，使得没有2对牌，其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和？【分析】首先得到从1到13点的13张扑克牌中有112的差，进一步得到出现2anam+al（mnl）至少有5组，相当于从21组中取出这5组，尚有16组，再根据抽屉原理即可求解【解答】解：设至少挑出n张牌，但是1，2，3，5，8，13中没有2对牌，其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和，所以n6，若n7，所取的7张牌，从小到大排列为：a1，a2，a7，任取2个am和an，设aman，则21个在112的差，这些差中（

8、1）不可能出现amanakan，（2）若有amananal，即2anam+al（mnl），则不能有m1m，l1l（m1nl1），使得2anam1+al1，否则存在2对牌，其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和，即对于同一个n，出现amananal或2anam+al（mnl）具有唯一性，出现2anam+al（mnl）至少有5组，相当于从21组中取出这5组，尚有16组，16个取值在112的差，必有两个相同5（10分）将1，2，3，37，这37个不同的自然数重新排成一行，记作a1，a2，a37，其中a137，a21，并使得a1+a2+ak能被ak+1整除（k1，2，36），求a3？a37？【分析

9、】显然这37个数的总和是a37的倍数，所以总和37×19是a37的倍数，由此求出a37的值，对于a3，有38是a3的倍数，由此求出a3的值，解决问题【解答】解：这37个数的总和是a37的倍数，所以总和37×19是a37的倍数，所以a3719；对于a3，a3可以整除a1+a237+138，所以38是a3的倍数，所以a326（10分）汽车队去往受灾群众安置点运送物资，每辆汽车载重量为10吨，若每个帐篷分配1.5吨物资，则余下不足一车物资：若每个帐篷分配1.6吨物资，则尚差2车多的物资问：这个安置点最少有多少顶帐篷？【分析】题目里两种分配案所用车辆和安置点的帐篷数是一样的故分别设它们为X、Y，根据题意列出相应的不等式组在不等式组中先消元去掉Y，再求出所得关于X的不等式的解集，在X解集内取整数值代入原不等式组，求得Y的解集即可【解答】解：设所用车为X辆，帐篷为Y顶据题意得：去掉Y得：解得：30X61因求最少帐篷，所以车辆也应是最少的故车辆X从取整数31开始试起，直到找出适合所列原不等式组Y的值把X3