圆的知识点总结及典型例题

1、圆章节知识点复习、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3 、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4 、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5 、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距

2、离都相等的一条直线。点C在圆内;点B在圆上;点A在圆外;、点与圆的位置关系1、点在圆内dr2、点在圆上dr3、点在圆外dr三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离3、直线与圆相交dr无交点；2、直线与圆相切dr有一个交点;dr有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1） 无交点d R r ；相交（图3）有两个交点dRr;外切（图2）有一个交点RrdRr;内切（图4）有一个交点内含(图5)无交点dRr;dddRr图2Rr图3只要知道其中2个即可推弧AC弧AD3个结论ADCOACBEDABDCCOOBBAA以上共4个定理出其它3个结论中任意2个条件推出其他垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的

3、弧。弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧七、圆周角定理六、圆心角定理BC弧BD五、垂径定理AC弧BD定理也称1推3定理，即上述四个结论中(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧AB/CD只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论简称2推3定理：此定理中共5个结论中推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。弧BA弧BDR/rAOBDOE;ABDE;E/-DOfBCBA1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：:AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角AOB2ACB2

4、、圆周角定理的推论：推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧;即：在。中，.C、D都是所对的圆周角3 CD推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在。中，.AB是直径或.C904 C90AB是直径推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在ABC中，.OCOAOBABC是直角三角形或C90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，

5、外角等于它的内对角。即：在。中，5 .四边形ABCD是内接四边形6 CBAD180BD180DAEC九、切线的性质与判定定理(1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：:MNOA且MN过半径OA外端MN是。O的切线MAN(2)性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图)推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理:即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的

6、连线平分两条切线的夹角。即：:PA、PB是的两条切线PAPBPO平分BPA圆骞定理(1)相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。AB、CD相交于点P,PAPBPCPD推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。O中，直径ABCD,CE2AEBE圆交点的两条线段长的比例中项。O中PA是切线，PB_2PAPCPBO中，PB、PEPCPBPDPE圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。O1O2两圆公共弦定理如图：。1。2垂直平分ABO1O2O2相交于A、B两点O1O2垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式:(1)公切线长

7、：RtOQ2c中，AB2CO121OQjCO22;(2)外公切线长：CO2是半径之差；内公切线长：CO2是半径之和十四、圆内正多边形的计算(1)正三角形在。O中ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行OD:BD:OB1:73:2；(2)正四边形同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，OE:AE:OA1:1:J2:(3)正六边形同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，AB:OB:OA1:J3:2.卜五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：(1)弧长公式：lnR；180(2)扇形面积公式:nR2S36011R2n:圆心角R：扇形多对应的圆的半径l:扇形弧长S：扇形面积ArB2、圆柱：(

8、1)圆柱侧面展开图S表S侧2s底=2rh2r2(2)圆柱的体积：Vr2h(2)圆锥侧面展开图(1)S表S侧5底=Rrr21(2)圆锥的体积：Vr2h3典型例题例1.两个同样大小的肥皂I泡黏在一起，其剖面如图1所示（点O,O'是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求/TPN的大小.例2.如图，AB为OO直径，E是Be中点，OE交BC于点D,BD=3,AB=10,则AC=例3.如图，OO的直径为10,圆心。到弦AB的距离OM的长为3,则弦AB的长是（）例4.如图，在。中，AB、CD是两条弦，OEAB,OFXCD,垂足分别为EF.（1）如果/AOB=ZC

9、OD,那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？（2）如果oe=of,那么Ab与Cd的大小有什么关系？ab与cd的大小有什么关系？/为什么？/AOB与/COD呢？例5.如图3和图4,MN是。O的直径，弦AB、CE相交于MW上的一点P,/APM=/CPM.（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由.(2)理由.若交点P在。的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明例6如图，点。是/ABC的内切圆的圆心，若/BAC=80,则/BOC=（B.100°C.50°D,65°例7.如图，AB为/0的直径，C是/0上一点，D在AB的延长线上，且

10、/DCBWA.(1)CD与/0相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由.(2)若CD与/0相切，且ZD=3CT,BD=10，求/0的半径.例8.如图所示，点A坐标为（0,3）,OA半径为1,点B在x轴上.(1)若点B坐标为（4,0）,ZB半径为3,试判断ZA与/B位置关系;(2)若/B过M（2,0）且与/A相切，求B点坐标.例9.如图，已知正六边形ABCDEF,其外接圆的半径是a,/求正六边形的周长和面积.anb例10.在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB,顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8,现要建造一个内接于/ABC/的矩形水池DEFN

11、,其中D、E在AB上，如图2494的设计方案是使AC=8,BC=6.(1)求/ABC的边AB上的高h.(2)设DN=x,且h一DN-NF,当x取何值时，水池DEFNhAB的面积最大？(3)实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树.例11.操作与证明：如图所示，。是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在。处，并将纸板绕。点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.例12.已知扇形的圆

12、心角为120°,面积为300cm2.(1)求扇形的弧长；(2)若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少?例13、如图，AB是/O的直径，BC是弦，OD/BC于E,交BC于D.(1)请写出五个不同类型的正确结论;(2)若 BC=8, ED=2,求/O 的半径.例14.已知：如图等边 4ABC内接于/O,点P是劣弧PC上的一点(端点除外)使BD AP ,连结CD .OD延长BP至D ,(1)若AP过圆心O,如图Z,请你判断4PDC是什么三角形？并说明理由.(2)若AP不过圆心O,如图Z, APDC又是什么三角形？为什么?例15.如图,四边形ABCD内接于Z0,BD是/0的直径

13、，AE CD ,垂足为E, DA平分(1)求证:AE是/0的切线;(2)若 DBC 30°, DE 1cm,求BD的长.例16、如图，已知在Z0中，AB=4,3,AC是/0的直径，AQBD于F,ZA=30°(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径例17.如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90°的扇形.(1)求这个扇形的面积(结果保留).(2)在剩下的三块余料中，能否从第/块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由.(3)当/0的半径R(R0)为任意值时，(2)中的结论是否仍然成

14、立？请说明理由.例18.0)如图OA、OB是/0的两条半径，且。爪OB，点C是OB延长线上任意一点：过BC点C作CD切/0于点D,连结AD交DC于点E.求证：CD=CE(2)若将图中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F,交/0于B',其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗？为什么？(3)若将图中的半径OB所在直线向上平行移动到Z0外的CF,点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗？为什么点D是Apb上任一点(与端点 A、B不重合)，DEXAB于点E,以点D为圆心、DE长为例19、(2010山东德州)如图，在/ABC中，AB=AC,D是BC中

15、点，AE平分/BAD交BC于点E,点。是AB上一点，/0过A、E两点，交AD于点G,交AB于点F.(1)求证：BC与/0相切；(2)当ZBAC=120时，求/EFG的度数.例20、(2010广东广州)如图，O。的半径为1,点P是。上一点，弦AB垂直平分线段OP,半径作。D,分别过点A、B作。D的切线，两条切线相交于点C.(1)求弦AB的长；(2)判断/ACB是否为定值，若是，求出/ACB的大小；否则，请说明理由;(3)记ABC的面积为S,若_S_=4J3,求ABC的周长.DEB,OB与小圆相交于A,例21.(2010江西)“际形图中，FM是大圆的直径，BC与大圆相切于BC/AD,CD/BH/FM,BC/DG,DH/BH于H,设FOB,OB4,BC6,(1)求证：AD是小圆的切线；(2)在图中找出一个可用表示的角，并说明你这样表示的理由;(3)当30,求DH的长例22.(2010江苏泰州，28,12分)在平面直角坐标系中，直线ykxb(k为常数且kw0)分别交x轴、y轴于点A