因式分解式讲义精讲

1、教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：初一课时数：1学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课类型复习授课日期及时段2016.4.1612:502:50教学目的1,熟练掌握因式分解的有关概念和运算法则。2,熟练地、灵活地运用因式分解进行计算。教学内容因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解

2、法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若/个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b)=a2-b2a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (ab)2=a22ab+b2a22ab+b2=(ab)2;(3) (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).卜卸冉补充两个常用日

3、勺公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);(7) (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(元全立方和公式)(8) (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq十字相乘例.已知a,b,c是ABC的三边，且a2b2c2abbcca,则ABC的形状是(A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形)三、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式例1、分解因式：amanbmbn例2、分解因式：2ax10ay5bybx练习:分解因式1、a2abacbc2、xy3.abacb

4、dcd（二）例3、分组后能直接运用公式分解因式:axay例4、分解因式:a22abb2练习:分解因式3、x2x9y23y4、2z2yz5.x5+x4+x3+x2+x+1综合练习:(1)2xy(2)2ax,2,bxbxax(3)6xy9y216a28a(4)a26ab12b9b24a(5)2a3(6)4a2x4a2b2y2xyxz2yzy(8)a22ab22b2ab1(9)y(y2)(m1)(m1)(10)(ac)(ac)b(b2a)(11)a2(bc)b2(ac)c2(ab)2abc(12)ac33abc(13)xyizy2+2yz-z2(14)a2-b2-c2-2bc-2a+1四、十字相乘法

5、.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式x2(pq)xpq(xp)(xq)进行分解。特点：(1)二次项系数是1;(2)常数项是两个数的乘积；(3)一次项系数是常数项的两因数的和。口诀：首尾分解，求和凑中，交叉相乘。思考：十字相乘有什么基本规律?例.已知0vaw5,且a为整数，若2x23xa能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.解析:例5、分解因式:x25x62例6、分解因式：x7x6练习5、分解因式x214x24(2)a22.15a36(3)x4x练习6、分解因式x2x2(2)y22y15x210x24(二)二次项系数不为1的二次三项式，既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d尸

6、acx2+(ad+bc)x+bd,简记口诀：首尾分解，交叉相乘,(ax+b)(Cx+d)的形式。求和凑中。ax2条件：(1)(2)(3)分解结果：bxCbax2例7、分解因式:分析：a1a2C1C2aQbx3x2Ci解：3x2练习7、分解因式:azaC=(a1x11x101C2a2C1Ci)(a2xC2)(-6)+11x10=(x(1)5x2(-5)=-112)(3x7x65)(2)3x27x(三)二次项系数为2(3)10x217x3(4)6y211y101的齐次多项式例8、分解因式：a2分析：将b看成常数,8ab128b2把原多项式看成关于11X.8b的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。例

7、 9、2x2 7xy 6y21 -2y2 -3y(-3y)+(-4y尸-7y解：原式=(x 2y)(2x 3y)2练习9、分解因式：(1) 15x综合练习10、( 1) 8x6 7x3(3) (x y)2 3(x y) 10(5) x2y2 5x2y 6x2(7) x2 4xy 4y2 2x 4y(9) 4x2 4xy 6x 3y y2练习13、分解因式(1) (x2(2) (x2(3) (a2xy y2)2 4xy(x2 y2) 3x 2)(4x2 8x 3) 901)2 (a2 5)2 4(a2 3)21-16b8b+(-16b尸-8b解：a28ab128b2=a28b(16b)a8b(1

8、6b)=(a8b)(a16b)练习8、分解因式(1)x23xy2y2(2)m26mn8n2(3)a2ab6b2(四)二次项系数不为1的齐次多项式.224例10、xy3xy2把xy看作一个整体1-11-2(-1)+(-2)=-3解：原式=(xy1)(xy2)2227xy4y(2)ax6ax81(2)12x211xy15y22(4)(ab)24a4b32.2(6)m4mn4n3m6n23(8)5(ab)223(a2b2)10(ab)210(10)12(xy)211(x2y2)2(xy)2思考：分解因式：abcx2(a2b2c2)xabc五、换元法。例13、分解因式(1)2005x2(200521)

9、x2005一一一2(x1)(x2)(x3)(x6)x解：(1)设2005=a，贝U原式=ax2(a21)xa=(ax1)(xa)=(2005x1)(x2005)(2)型如abcde的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式二(x27x6)(x25x6)x2设x25x6A,则x27x6A2x，原式二(A2x)Ax2=A22Axx2=(Ax)2=(x26x6)2例14、分解因式(1)2x4x36x2x2观察：此多项式的牛I点一一是关于x的降哥排列，每一项的次数依次少1,并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式

10、=x2(2x2x614)=x22(x2:)(x1)6xxxx设x1t,则x2t22xx.原式=x22(t22)t6=x22t2t102221=x2t5t2=x22x-5x-2xx2122=x2x5xx2=2x5x2x2x1xx=(x1)2(2x1)(x2)(2)x44x3x24x1解：原式二x2(x24x142)=x2x2-24x11xxxx设x1y,贝Ux24y22xx222.原式=x2(y24y3)=x2(y1)(y3)2x 1 x 3x 12,112=x(x1)(x-3)=xxx练习14、(1)6x47x336x27x6(2)x42x3x212(xx2)六、添项、拆项、配方法。例15、分

11、解因式(1) x3解法1 拆项。原式=x3 1 3x23= (x 1)(x2 x=(x 1)(x2 x 1=(x 1)(x2 4x 4) =(x 1)(x 2)23x2 41) 3(x 1)(x 1)3x 3)=(xx(x1)(x 2)2解法2添项。原式=x3 3x2 4x 4x 4, 2= x(x 3x 4) (4x 421)(x 4) 4(x 1)= (x 1)( x 4x 4(2) x9 x6 x3 3解：原式=(x9 1) (x6 1) (x3 1)=(x31)(x6x31) (x3 1)(x31)=(x31)(x6x31 x31 1)=(x 1)(x2 x 1)(x62x3 3)(x

12、3 1)配方法：因式分解 a2-b2+4a+2b+3原式 =(a2+4a+4) - (b2-2b+1)=(a+2)2 - (b-1)2=(a+b+1)(a 七+3)用配方法把-2工-2分解因式分解因式2牙2-8牙一6练习15、分解因式(1)x3 9x 8(3) x4 7x21444(5) x y (x y)4224(2)(x1)(x1) (x 1)422(4)xx2ax1axA4+xA2+2ax+1-aA2 = xA4+2xA2+1-xA2+2ax-aA2=(xA2+1)A2-(x-a)A2 =(xA2+1+x-a)(xA2+1-x+a)(6) 2a2b22a2c22b2c2 a4 b4c4-

13、(aA2-bA2)A2-2cA2(aA2-bA2)+CA4=(aA2-bA2CA2)A2(7) x4 + 4 原式=x4 + 4x2 + 4 - 4x2= (x2+2)2 - (2x)2= (x2+2x+2)(x2 -2x+2)(8) x4- 23x2y2+y4(9) ( m2 - 1)( n2 - 1)+4 mn证明：设一元二次方程ax2 +bx + c = OH/0)的两根是中x2购一一6 + 飞/3-ctc -b h 小:结论：在分解二次三项式公,+拄+口金。)的因式分解时，可先用公式求出方程内+bx+c=0的两根事,天然后写成京+fcr+c=犬一苦(r一与)当二匕-4砒之0时,ax1+

14、&r+c?在实数范围内可*以分解因式;当A=/-4qc(0时1次?+for+c在实数范围内不能分解因式七、待定系数法。首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。例16、分解因式x2xy6y2x13y6分析：原式的前3项x2xy6y2可以分为(x3y)(x2y),则原多项式必定可分为(x3ym)(x2yn)解：设x2xy6y2x13y6=(x3ym)(x2yn)222-2.(x3ym)(x2yn)=xxy6y(mn)x(3n2m)ymn2-2242xxy6yx13y6=xxy6y(mn)x(3n2m)ymn对比左右两边相同项的系数可得3n 2m 1

15、3 ,解得mn 6.原式=(x3y2)(x2y3)分解因式x4x3-5x2-6x-4如果已知道这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。解：设x4x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd从而a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4所以解得贝Ux4i3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)例17、(1)当m为何值时，多项式x2y2mx5y6能分解因式，并分解此多项式。(2)如果x3ax2bx8有两个因式为x1和x2,求ab的值。(1)分析：前两项可以分解为 (x

16、解：设 x2 y2 mx 5y 6 = (x222贝Uxymx 5y 6 = xy)(x y),故此多项式分解的形式必为y a)(x y b)2y(a b)x (b a)y ab(x y a)(x y b)比较对应的系数可得:ab6当m1时，原多项式可以分解；当m1时，原式=(xy2)(xy3)；当m1时，原式=(xy2)(xy3)(2)分析：x3ax2bx8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如xc的一次二项式。解：设x3ax2bx8=(x1)(x2)(xc)则x3ax2bx8=x3(3c)x2(23c)x2ca3ca7b23c解得b14,练习17、a b=21(

17、1)分解因式 x2 3xy 10 y2 x 9y 分解因式x2 3xy 2y2 5x 7 y (3)已知：x2 2xy 3y2 6x 14y (4) k 为何值时，x2 2xy ky2 3x2c8c426p能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式。5y2能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。8、求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2,x3,Xn，则多项式可因式分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn)(一般情况下是试根法，并且一般试-3,-2,-1,0,1,2,3这些数是不是方程的根)例8、分解因式2x4+7x3-2x2-13x+61解：令f(x)=

18、2x4+7x3-2x2-13x+6=0通过综合除法可知，f(x)=0根为，-3,-2,1,2贝U2x+7x-2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9:主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。例10、分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列解:a2(b-c)+b2(c-a)+c2(ab)=a2(b-c)-a(b2期2)+bc(bc)=(b-c)a2-a(b+c)+bc=(b-c)(a-b)(a-c)10双十字相乘法十字相乘法是利用x2(ab)xab(xa)(xb)这个公式

19、，写成两排形式，把二次项系数的约数和常数项的约数进行十字交叉相乘，它们的和凑成一次项系数，那每一排即位多项式的一个因式，因为呈十字交叉相乘，故称为十字相乘法。运用双十字乘法对Ax2BxyCy2DxEyF型的多项式分解因式的步骤：1、用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；2、在这个十字相乘图右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字的右端，使这两个因数在第二个十字中交叉之积之和，等于原式中含y的一次项的系数E,同是还必须与第一个十字中左列的两个因数交叉相乘，使其交叉之积之和等于原式中含x的一次项的系数Do一、用双十字相乘法分解多项式我们先看一下两个多项式相乘的计算过程：计算(2x

20、3y5)(3xy1)。2x3y5)3xy126x9xy15x22xy3y5y2x3y52_一2.一一一6x7xy3y13x8y5，-一-、，=，、-2_一2一一一(2x3y5)(3xy1)6x7xy3y13x8y5从计算过程可以发现，乘积中的二次项6x27xy3y2只和乘式中的一次项有关，而与常数项无关；乘积中的一次项13x8y,只和乘式中的一次项及常数项有关系；乘积中的常数项，只和乘式中I根据因式分解与整式乘法是相反变形的关系，我们来寻求多项式2x 3y3x x y9xy 2xy 7 xy1、先用十字相乘法分解6x2 7xy 3y2。5y 3y 8y6x27xy3y213x8y5的分解因式的

21、方法是：2、再将常数项一5的两个因数写在第二个十字的右边3、由于第2列与第3列交叉相乘之积的和等于8y。再看第1列与第3列交叉相乘之积的和等于13x,那么原式就可以分解成(2x3y5)(3xy1)。综上可知，双十字相乘法的理论根据是多项式的乘法，在使用双十字相乘法时，应注意它带有试验性质，很可能需要经过多次试验才能得到正确答案。例1、分解因式20x29xy18y218x33y14。4X615=9,-3X(-7)+2X6=33,-28+10=-18, 20x2 9xy 18y2 18x 33y 14 (4x 3y2)(5x 6y 7)3x-：x -2评注：在使用双十字相乘法时，不必标出 x, y

22、,只需写出x,y的系数就可以了。即第1列是x的系数的两个因数；第2列是y的系数的两个因数；第3列是常数项的两个因数。例2、分解因式15x220xyx8y23X(2)+5X1=6+5=1,.15x220xyx8y2=(3x4y1)(5x2)。例3、分解因式9x216y218x40y1603X(2)+3X8=6+24=18,8-2.9x216y218x40y16=(3x4y8)(3x4y2)。例4、分解因式6x25xy6y222xz23yz20z。220z2 (2x 3y 4z)(3x 2y 5z)。V2X5+3X(4)=1012=2,6x25xy6y22xz23yz评注：注意本题中的第3列是20

23、z2的两个因式，不要丢掉z。3-2例5、分解因式6x213xy2y216xy60解法1:6x213xy2y216xy6(x2y3)(6xy2)解法2:6x213xy2y216x66x2(13y16)x(2y26)6x2(13y16)x(y2)(2y3)(x2y3)(6xy2)解法3:6x213xy2y216x2-34-3=1(x2y)(6xy)(16xy)6(x2ym)(6xyn)(2y3)(y2)=6x213xy2y2(6mn)x(m2n)ymn12y18y21613y6mnm2n161解之，得mn66x213xy2y216xy6(x2y3)(6xy2)。评注：解法1是使用双十字相乘法分解因

24、式；解法因式；解法3则使用了待定系数法。2将原多项式化成关于x的二次三项式分解练一练：用多种方法分解下式:2x2xyy3y2。(5)答案：(xy1)(2x6x27xy3y213xx28xy15y22x4yy2)。8y2xy28y22x14y32xy23y3xy4x212xy9y22x3y(6)2x227xy22y5x35y3知识总结归纳因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算,在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。1 .因式分解的对象是多项式；2 .因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3 .分解因式，必须进行到

25、每一个因式都不能再分解为止；4 .公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5 .结果如有相同因式，应写成哥的形式；6 .题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7 .因式分解的一般步骤是：(1)通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；(2)若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法；下面我们一起来回顾本章所学的内容。1.通过基本思路达到分解多项式的目的例1.分解因式x5x4x

26、3x2(x 1)(x x 1)(x x 1)2.通过变形达到分解的目的例1.分解因式x3 3x2 4X1分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x5 x4 x3和 x2 x 1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把 成三项式，提取公因式后再进行分解。x5 x4, x3 x2, x 1分别看成一组，此时的六项式变解一：原式(x5x4x3)(x2x1)x3(x2x1)(x2x1)32(x1)(xx1)22(x1)(xx1)(xx1)解二：原式=(x5x4)(x3x2)(x1)x4(x1)x2(x1)(x1)(x1)(x4x1)422(x1)(x2x1)x解

27、一：将3x2拆成2x2x2,则有原式x32x2(x24)x2(x2)(x2)(x2)2(x2)(xx2)2(x1)(x2)2解二：将常数4拆成13,则有原式x31(3x23)(x1)(x2x1)(x1)(3x3)2、(x1)(x4x4)2(x1)(x2)23.在证明题中的应用例：求证：多项式(x24)(x210x21)100的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。证明：(x24)(x210x21)100(x2)(x2)(x3)(x7)100(x2)(x7)(x2)(x3)10022(x25x14)(x25x

28、6)100(y 4)2设yx25x,则原式(y14)(y6)100y28y16无论y取何值都有(y4)20(x24)(x210x21)100的值一定是非负数4.因式分解中的转化思想例：分解因式：(a2bc)3(ab)3(bc)3分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b,b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。解：设a+b=A,b+c=B,a+2b+c=A+B原式(AB)3A3B332_2_33_3A3AB3ABBAB3A2B3AB23AB(AB)3(ab)(bc)(a2bc)说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。中考点拨例1.在ABC中，三边a

29、,b,c满足a16b2c26abi0bc0求证：ac2b证明：a216b2c26abI0bc0a26ab9b2c210bc25b20即(a3b)2(c5b)20(a8bc)(a2bc)0abca8bc,即a8bc0于是有a2bc0即ac2b说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。11例2.已知：x12,则x(7 x)(3 x)(4 x2) 100说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于 的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。2.将a2 (a 1)2 (a2 a)2分解因式，并用分解结果计算62 72 422。二3xx解：X31

30、3(x1)(x211)xxx(x ；)(x 1)22 12说明：利用x2 J- (x -)2 x2 x1 .若x为任意整数，求证：(7解：(7x)(3x)(4x2)(x7)(x2)(x3)(x,2, 、， 2(x5x14)(x5x22(x2 5x) 8(x2 5x)22(x2 5x 4)2 02 12等式化繁为易。题型展示x)(3 x)(4 x2)的值不大于100。1002) 1006) 10016100,即要求它们的差小于零，把它们解：a2(a1)2(a2a)2a2a22a1(a2a)22(a2a)1(a2a)2(a2a1)26272422(3661)24321849说明：利用因式分解简化有

31、理数的计算。实战模拟1 .分解因式：(1)3x510x48x33x210x8（2）（a23a3)(a23a1)5（3）x22xy3y23x5y2（4）x37x62 .已知：xy6,xy1,求：x3y3的值。3 .矩形的周长是28cm,两边x,y使x3x2yxy2y30,求矩形的面积。4 .求证：n35n是6的倍数。（其中n为整数）5 .已知：a、b、c是非零实数，且a2b2c21,a（-）b（-）c（-）3,求a+b+c的值。bccaab6 .已知：a、b、c为三角形的三边，比较a2b2c2和4a2b2因式分解练习题精选一、填空：（30分）21、若x22（m3）x16是完全平方式，则m的值等于。一222、xxm（xn）贝Um=n=3、2x3y2与12x6y的公因式是4、若xmyn=(xy2)(xy2)(x2y4),则m=,n=.2_35.5、在多项式3y?5y15y中，可以用平方差公式