半无线长杆中卸载边界传播特性

1、翟文宇2014年5月9日从前面的章节可知，除了在卸载扰动是强间断或塑性加载扰动是强间断的情况外，一般情况下弹塑性边界并非应力扰动、应变扰动或指点速度扰动本身的传播轨迹。弹塑性边界虽然不是力学扰动本身的传播，但它的位置也随时间变化，这就是所谓的弹塑性边界的传播。l边界传播速度l局部线性化法弹塑性边界的传播速度 一般是随着弹塑性波相互作用过程的进行而不断地变化着的，可以前进，可以后退。从加载卸载的角度看，弹塑性边界有从弹性区发展到塑性区的加载边界，也有从塑性区卸载到弹性区的卸载边界。对于半无限长杆，弹塑性加载波是简单波，因此加载边界容易确定，困难主要在于卸载边界的确定。接下来我们用特征线法来分析一

2、下半无限长杆中弱间断卸载边界的一般传播特性，讨论一下传播速度 到底主要取决于哪些因素。CC如图所示，考察弱间断卸载边界 （或者其反演 ）上任意一点 及其邻近点，它们通过卸载区中的 点以特征线相联系，其中 是卸载区中左行特征线而 是卸载区中右行特征线。在塑性加载区一侧，经 点的左行特征线 与经 点的右行特征线 交于N点。( )Xf t()tg X111(, )MX t222(, )MXt(, )M X t1MM2MM1M1M N2M2M N由沿特征线 的相容条件：和沿特征线 的相容条件：消去 ，并考虑到在半无限长杆的情况下 和 之间应满足简单波关系式：则可以得到：1MM000011()()()(

3、)(1)mmC v MMC vMM2MM000022()()()()(2)mmC v MMC vMM()v Mmvm00(3)dvC 12()()000011(, )(1)(1)(4)22mmXXCCX tddCC由特征线 和 表达式：来求 和 对时间的偏导数，考虑到 和 是相互独立的，及 ，可得于是根据公式（4）可得1MM2MM11012202:(5):MMXXCtg XMMXXCtg X1X2XXt1/gC 01000220011(6)11CXXCgCttCCXXCgCttC0000002200121211111111(7)222211mmmmCdCdCCdCCdXXCCtCdXtCdXt

4、CdXCdXCC当 时，可得弱间断卸载边界 上任意一点处 与 之间的关系如下：另一方面，在塑性简单波区中，沿右行特征线 有：而由特征线 的表达式有：211,MM MMtg X1MtmX0000111(8)11112mCCdCCtdXCCCC2NM222(9)mNMdXtdXt2NM222222222(10)11mmXXC g XtdXXXdCCC gg XtdCdCttddXtg XtCddX 将式（10）带回式（9），并令 ，则可得 上任一点 处 与 间的如下关系： 和 均为已知，因而式（8）和式（11）消去 后，就得到 上任意点 处卸载边界传播速度 与该点处和 三者间的关系如下：21MMt

5、g X1MtmX1111mddXtCC0CCmddXtg X1MCtt222200222201(12)1CCCCCtCCCCtC2202201311CCttttCCtCttt可以解出 得在现在所讨论的情况下， 表示由塑性区进入弹性区的卸载边界。只要 和 不同时为零，则必定异号。于是由式（12）可知：这说明半无限长杆中卸载边界传播速度 之值必在弹性波速值 和塑性波速值 之间。Ctg Xtt0CCCC0CC对于解正问题，有一种有效的近似方法，叫做局部线性化法。其基本思想为：把上述结果用于杆端 ，由于杆端处的载荷条件 已作为边界条件给出，其对t的各阶偏导数均属已知，因而由卸载开始时 和 对t的各阶偏导数中不同时为零的阶数最低者，即可按照下式确定卸载边界的初始传播速度 ，也即 平面上 在 点的初始斜率。0X 0,t00211111111nnnnnnntCCtCCCCCCCC iCft,X t( )Xf t0M只要把 初始段 取得足够短，就可以近似看做直线由 所确定，而 上的应力值和质点速度值可根据塑性加载区的已知解来确定，于是 段得解。而一旦已知 的初始一小段，就可根据前述共轭关系式依次逐段确定其余部分。于