直线与椭圆位置关系的非常规判定法及参数方程

1、直线与椭圆位置关系的非常规判定法及参数方程一：判定直线与椭圆位置关系的常规方法：是把直线方程代入椭圆方程，得到关于的一元二次方程，然后用判别式法求解之；其运算往往比较复杂.本文介绍两种判定直线和椭圆位置关系的非常规方法,并简要介绍这两种方法的应用。定理1: 设、分别是椭圆的左、右焦点，点P是直角坐标平面中的任意一点，则（1）点P在椭圆上.（2）点P在椭圆外.（3）点P在椭圆内.证明:(1)由椭圆的定义直接可得这个结论. (2)1)当点P在椭圆外时:如图,连结 交椭圆于点M,则>即成立.即:点P在椭圆外(3)1)当点P在椭圆内时:如图,连结并延长交椭圆于点M,则<即成立.即:点P在椭

2、圆内(2)2)当时:若点P在椭圆上,则有得矛盾若点P在椭圆内,则有得矛盾点P在椭圆外. 即点P在椭圆外.(3)2)同理可得点P在椭圆内.定理2：设直线上的动点P到椭圆两焦点、的距离和的最小值为,则（1）直线和椭圆C相切；（2）直线和椭圆C相离；（3）直线和椭圆C相交；证明: (1)直线和椭圆C相切直线和椭圆C有且仅有一个公共点直线上有且仅有一个点在椭圆上,而其它点全在椭圆外的最小值为 (2) 直线和椭圆C相离直线上的所有点都在椭圆C的外部恒成立(3) 直线和椭圆C相交 直线上至少存在一点P在椭圆C的内部直线上至少存在一点P使成立 注:容易验证对于焦点在轴上的椭圆,上述结论也成立.定理3：已知：

3、直线 椭圆 ，则（1）；（2）；（3）。证明：作坐标变换： 则在新坐标系中椭圆C变成曲线的方程为：（已化为单位圆），直线l变成直线的方程为，易见坐标变换前后直线和曲线的位置关系（公共点的个数）保持不变；在中，由于圆心到直线的距离 和椭圆C相交和单位圆相交同理：和椭圆C相切和椭圆C相离 下面介绍上述定理的初步应用例1：若直线和焦点在X轴上的椭圆恒有公共点，则实数 的取值范围为 例2已知:椭圆C以两坐标轴为对称轴，焦点在x轴上，且与两直线均相切，求：椭圆C的方程。解：设椭圆的方程为： 椭圆和直线相切 由定理3可知：又椭圆和直线相切 由 解得 椭圆的方程为：评注:用定理3判定直线 和椭圆的位置关系，

4、通常可以避免一些繁杂的运算.二：椭圆参数方程    问题：如图以原点为圆心，分别以a、b（a>b>0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作ANOx，垂足为N，过点B作BNAN，垂足为M，求当半径OA绕O旋转时点M的轨迹的参数方程。    解：参数。            说明：<1> 对上述方程（1）消参即        <2>由以

5、上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。初步应用：例3：椭圆 上求一点P，使它到两焦点F1，F2的连线互相垂直。例4. 的距离最小并求出距离的最小值（或最大值）？    解：                 例5. 如图，已知曲线，点A在曲线上移动，点C（6，4），以AC为对角线作矩形ABCD，使ABx轴，ADy轴，求矩形ABCD的面积最小时点A坐标。解：设，    则，